2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学高一（下）期中数学试（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z=i（1+i），则的虚部为（）A.1 B.-1 C.i D.-i2.已知向量满足，则与的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°3.已知α，β，γ是三个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B.若a⊥α，b⊥α，则a∥b

C.若a∥α，b⊂α，则a∥b D.若a∥α，a∥β，则α∥β4.在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，c=1，b=2，A=60°，则△ABC的外接圆半径是（）A.4 B.3 C.2 D.15.如图，平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，则=（）

A. B. C. D.6.记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知a=2b-2ccosA，则角C为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a,b,c,若，，则b+c的取值范围是（）A.（0，2] B. C. D.（3，6]8.已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，PA=2AC，三棱锥P-ABC的体积为，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）A.12π B.16π C.20π D.36π二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有（）A.AD⊥面ABB1A1

B.A1B∥D1C

C.AD1与B1C是异面直线

D.A1C与平面ABCD夹角正弦为

10.下列说法中不正确的有（）A.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

B.若，，则

C.若b2+c2＞a2，则△ABC不一定是锐角三角形

D.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2b2=a2+c2，则下列选项正确的是（）A.sin2B=2sinAsinCcosB B.

C.2cos2B=cos2A+cos2C D.sin（A-B）sinC=sin（B-C）sinA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设，为单位向量，且，则=

.13.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是______．14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包括边界），O为BC的中点，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a2+2a-3+（a-1）i,a∈R.

（1）若z是纯虚数，求a的值；

（2）若z+2i在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围.16.(本小题15分)

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P为BC的中点.

（1）证明：A1B∥平面APC1；

（2）求点B到平面APC1的距离.17.(本小题15分)

已知向量=（1，0），=（1，2），=+2.

（Ⅰ）若（λ+）∥，求实数λ的值；

（Ⅱ）若（+）⊥（μ+），求实数μ的值.18.(本小题17分)

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=3，点P为DD1的中点.

（1）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；

（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角的正弦值；

（3）在直线BB1上是否存在点Q使得PQ⊥平面ACP，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,，a=4.

（1）求B的大小；

（2）设∠ABC的角平分线BE交AC于点E.

①求△ABC面积的取值范围

②求线段BE长的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】．

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】a=-3

（-1，1）

16.【答案】证明：连接A1C交AC1于点O，连接PO，

因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，

所以侧面ACC1A1为矩形，所以O为A1C的中点．

又因为点P为BC的中点，

故PO∥A1B．

因为PO⊂平面APC1，A1B⊄平面APC1，

所以A1B∥平面APC1

17.【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

18.【答案】证明：因为在矩形ABCD中，AB=AD=1，

因此底面ABCD为正方形，因此AC⊥BD，

又因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，

AC