2025-2026学年宁夏吴忠市利通区秦宁中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年宁夏吴忠市利通区秦宁中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共9小题，共46分。1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=10，S5=30，则数列{an}的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知，则P（AB）=（）A. B. C. D.3.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+1，则a4=（）A.11 B.23 C.35 D.474.函数y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程y=2x+1，则等于（）A.-4 B.-2 C.2 D.45.某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不第一个演讲的方法数为（）A.13 B.14 C.15 D.186.已知函数f（x）=xcosx-sinx，则的值为（）A. B.- C.-1 D.-π7.函数y=x3-2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A.（0，3） B.（0，） C.（0，+∞） D.（-∞，3）8.我国南宋数学家杨辉1261年所的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为（）

A.2060 B.2038 C.4084 D.41089.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1•a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是（）A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列

C.S8=510 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。10.下列说法正确的是（）A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法

B.4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果

C.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法

D.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法11.关于的二项展开式，下列说法正确的有（）A.展开式各项系数的和为256 B.展开式中奇数项的二项式系数和为8

C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x2项的系数为54三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f（x）=3x+lnx在点P（x0，y0）处的切线斜率为4，则x0=

.13.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1=1，且an=，则解下5个环所需的最少移动次数为______．14.已知函数f（x）=lnx-ax+1，若a=1，则f（x）的零点个数为

；若f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的面积的最大值．16.(本小题15分)

两个数列{an}，{bn}，a1=b1=1，已知数列{an}为等比数列且a4=8，数列{bn}的前n项和为Sn，又满足_____在①（n≥2）；②b3=5：③bn-bn-1=2（n≥2）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列{bn}唯一确定，并解答下列问题.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）记cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.(本小题15分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率e=，直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点.

​​​​​​​

（1）求椭圆C的方程；

（2）若l不过O点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（3）若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=2lnx-ax.

（1）若a=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若a＞0，f（x）≤eax-x2恒成立，求a的取值范围.19.(本小题17分)

如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图2）．

（Ⅰ）求证：A1O⊥CE；

（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；

（Ⅲ）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】1

13.【答案】16

14.【答案】10＜a＜1

15.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．

整理得：（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，

利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，

即：，

由于：0＜A＜π，

解得：A=．

（2）由于，

所以：a2=b2+c2-2bccosA，

整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，

所以：=3．

16.【答案】选①或③，，bn=2n-1

17.【答案】解：（1）因为椭圆C的左右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），

所以c=1，又，所以a2=2，b2=c2=1，

所以椭圆C的方程为．

（2）证明：设直线l：y=kx+m,（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

所以Δ=

=＞0，可得1+2k2＞m2，

由韦达定理得，

所以，

所以线段AB的中点M的坐标为，即，

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为，

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

（3）由（2）可知，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

其中，

又直线l：y=kx+m,（k≠0）上有点A（x1，y1），B（x2，y2），

所以

=，

若OA⊥OB，则，即，

所以，此时，

则原点O到AB的距离为，

又

=，

所以

=

=，

不妨设，

因为k2＞0，所以，

所以，

由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知，f（t）在上单调递增，在上单调递减，

又,

所以△AOB面积的取值范围．

18.【答案】（1）x-y-2=0

（2）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减

（3）

19.【答案】解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD中，

∵BC∥AD，，∠A=60°，E为AD中点，

∴△ABE为等边三角形．

如图2，∵O为BE的中点，

∴A1O⊥BE．

又∵平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，

所以A1O⊥平面BCDE，所以A1O⊥CE；

（Ⅱ）如图2，连结OC，由已知得CB=CE，又O为BE的中点，

∴OC⊥BE．

由（Ⅰ）知A1O⊥平面BCDE，

∴A1O⊥BE，A1O⊥OC，

∴OA1，OB，OC两两垂直．

以O为原点，OB，OC，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）．

∵BC=2，易知．

∴，

∴．

设平面A1CE的一个法向量为n=（x，y，z），

由得即

取z=1，得．

设直线A1B与平面A1CE所成角为