武汉华中师大一附中2026年高二下学期期末数学模拟卷含答案

-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3A．3 B．4 C．72 D．2．从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（）A．18125 B．310 C．9253．已知P(A)=0.6，A．0.08 B．0.16 C．0.24 D．0.324．现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为（）A．9310 B．374 C．3945．已知函数f（x）=12axA．a∈（﹣∞，﹣1）B．a∈[1，+∞） C．a∈（﹣∞，0] D．a∈（﹣∞，-16．对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩X～N（88，42），乙学校成绩Y～N（86，22），丙学校成绩Z～N（85，52），丁学校成绩M～N（83，32）．80分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是（）（附：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）＝2，则不等式f(x)＞eA．（0，1） B．（1，+∞） C．（ln4，+∞） D．（0，ln4）8．若1aA．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有（）A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，…，2xn+30的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为r，则r越大其线性相关程度越强10．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A．P(A)=35 B．P(B|A)=25 C．11．已知函数f(x)=lnxA．f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣ay﹣1＝0 B．函数的单调递增区间为（0，e） C．若f（x）在（1，2e）的最大值为1e，则a＝1D．若方程f（x）＝﹣1有两个不同的解，则-三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．在(2+yx)(x+y)5的展开式中，含x213．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）的值为．14．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频x（单位：步/s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：cm）909599m115（1）若步频和步长近似为线性相关关系，当m＝101时，i=15x附：回归直线方程ŷ=b（2）记êi=yi-ŷi=yi-16．（本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝9，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2bn﹣1．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．17．（本小题满分15分）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．18．（本小题满分17分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动．在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为13和23，乙传给甲和丙的概率分别为14和34，丙传给甲和乙的概率分别为（3）记第i次传球时，乙接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝pi，P（Yi＝1）＝pi，E，设前n次传球后，乙接到球的总次数为Y，且E(Y)≤n附：χα0.0100.0050.001xα6.6357.87910.82819．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ex﹣alnx﹣a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在极小值点x0，且f（x0）≥0，求实数a的取值范围；（3）若函数t（x）＝f（x）﹣ex+x有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3a2A．3 B．4 C．72 D．【解析】设等比数列{an}的首项为a1，则S2．从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（D）A．18125 B．310 C．925【解析】从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，令事件A表示：所选3人中恰有2名男生，所以P(A)=C3．已知P(A)=0.6，P(BA．0.08 B．0.16 C．0.24 D．0.32【解析】已知P(A)=0.6，P(B4．现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为（B）A．9310 B．374 C．394【解析】设事件A为“李明选到有思路的题”，则事件A为“李明选到没有思路的题”，事件B为“李明答对该题”，P（A）=23，P(A)=13，P（B|A）＝0.8=45，P（B|5．已知函数f（x）=12ax2﹣2ax+lnx，则f（x）在（2，4）上不单调的一个充分不必要条件是（A．a∈（﹣∞，﹣1）B．a∈[1，+∞）C．a∈（﹣∞，0] D．a∈（﹣∞，-1【解析】由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ax﹣2a+1x=ax2-2ax+1x，令g（x）＝ax6．对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩X～N（88，42），乙学校成绩Y～N（86，22），丙学校成绩Z～N（85，52），丁学校成绩M～N（83，32）．80分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是（B）（附：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解析】∵甲学校成绩X～N（88，42），乙学校成绩Y～N（86，22），丙学校成绩Z～N（85，52），T学校成绩M～N（83，32），80分以上为优秀分，∴甲学校优秀率为：12P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=12×0.9545，乙学校优秀率为：12P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=12×0.9973，丙学校优秀率为：7．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）＝2，则不等式f(x)＞ex2A．（0，1） B．（1，+∞） C．（ln4，+∞） D．（0，ln4）【解析】由题意得f'(x)-12f(x)＞0对∀x∈R都成立，令g(x)=f(x)ex2，则g'(x)=(8．若1a=πA．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解析】∵1a=π1πb=313c=e(其中e为自然对数的底数），同时取对数得ln1a=lnπ1πb∵lnπ3-ln3π=elnπ3-eln3π=e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有（ABC）A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，…，2xn+30的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为r，则r越大其线性相关程度越强【解析】对于A：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，故A正确；对于B：决定系数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确；对于C：样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，…，+2xn+30的方差为22×4＝16，故标准差为4，故C正确；对于D：样本相关系数r的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故D错误．10．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ACD）A．P(A)=35 B．P(B|A)=25 C．【解析】甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，对于A：由等可能事件概率计算公式得P（A）=35，故A正确；对于B：P（AB）=35×35=925，∴P（B|A）=P(AB)P(A)=9253511．已知函数f(x)=lnxax，下列说法正确的是（A．f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣ay﹣1＝0 B．函数的单调递增区间为（0，e） C．若f（x）在（1，2e）的最大值为1e，则a＝1D．若方程f（x）＝﹣1有两个不同的解，则-【解析】对于A：函数f(x)=lnxax定义域为（0，+∞），且f'(x)=1-lnxax2，故f'(1)=1a，又f（1）＝0，则点（1，f（1））处的切线为y﹣0=1a（x﹣1），即x﹣ay﹣1＝0，A正确；对于B：令f'(x)=1-lnxax2=0，即1﹣lnx＝0，解得x＝e，当a＞0时：当0＜x＜e时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，e）上单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，即f（x）在（e，+∞）上单调递减；当a＜0时：当0＜x＜e时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，e）上单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，即f（x）在（e，+∞）上单调递增，B错误；对于C：因为x∈（1，2e），当a＜0时，f（x）在（0，e）上单调递减，f（x）在（e，+2e）上单调递增，则f(e)=1ae，若f（x）在（1，2e）的最大值为1e，即1ae=1e，则a＝1；当a＞0时：f（x）在（0，e）上单调递增，f（x）在（e，+2e）上单调递减，f（1）＝0，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．在(2+yx)(x+y)5的展开式中，含x2y【解析】(2+yx)(x+y)5=2(x+y)5+又（x+y）5中含x3y2的项为C53x3C22y2=10x3y2，则13．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）的值为．7【解析】ξ可取0，2，3．P(ξ=0)=3ξ023P191359所以E(ξ)=0×114．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为．（0，e]【解析】不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令t＝x+1，则t＞1，所以不等式等价于t1﹣aet﹣alnt≥0对t＞1恒成立，变形可得不等式tet≥talnta对t＞1恒成立，令f（t）＝tet，t＞1，则不等式等价于f（t）≥f（lnta）对t＞1恒成立，f'（t）＝（t+1）et，当t＞1时，f'（t）＞0，故f（t）单调递增，所以不等式转化为t≥lnta对t＞1恒成立，即a≤tlnt对t＞1恒成立，令g(t)=t四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频x（单位：步/s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：cm）909599m115（1）若步频和步长近似为线性相关关系，当m＝101时，i=15x附：回归直线方程ŷ=b（2）记êi=yi-ŷi=yi-【解析】（1）根据题意，可得x=15i=15xi=0.3，y=1（2）根据题意可知，99-ŷ=99-(600×0.3+â)=-1.8，解得a＝﹣79.2，因为16．（本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝9，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2bn﹣1．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．【解析】（1）等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，设公差为d，则a1+d=3a1+4d=9，解得a1＝1，d＝2，则an＝2n﹣1，由Sn＝2bn﹣1，n＝1时，b1＝2b1﹣1⇒b1＝1，n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），∴bn＝2bn﹣1（2）数列{cn}中，cn=an⋅bn=(2n-1)⋅217．（本小题满分15分）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．【解析】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则P(A)=1-C22C5（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件C表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，所以P(C)=26=13，P(C)=46=23，18．（本小题满分17分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动．在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为13和23，乙传给甲和丙的概率分别为14和34，丙传给甲和乙的概率分别为（3）记第i次传球时，乙接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝pi，P（Yi＝1）＝pi，E，设前n次传球后，乙接到球的总次数为Y，且E(Y)≤n附：χα0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828【解析