4完整版本.5-简单的三角恒等变换-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§4.5简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))．2．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(2)公式变形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·eq\f(π,2)(k∈Z)时的特殊情形．2．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．3．思考求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切公式．提示(1)sin

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；(2)cos

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；(3)tan

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)设α∈(π，2π)，则eq\r(\f(1－cosπ＋α,2))＝sin

eq\f(α,2).(×)(3)设eq\f(5π,2)<θ<3π，且|cosθ|＝eq\f(1,5)，那么sin

eq\f(θ,2)的值为eq\f(\r(15),5).(×)(4)在非直角三角形中有tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanBtanC．(√)题组二教材改编2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．－eq\f(\r(2),10)B.eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10)D.eq\f(7\r(2),10)答案C解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案eq\f(\r(2),2)解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).4．tan10°＋tan50°＋eq\r(3)tan10°tan50°＝.答案eq\r(3)解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq\f(tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan10°tan50°，∴原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan10°tan50°＋eq\r(3)tan10°tan50°＝eq\r(3).5．(tan10°－eq\r(3))sin40°的值为．答案－1解析(tan10°－eq\r(3))·sin40°＝eq\f(sin10°－\r(3)cos10°,cos10°)·sin40°＝eq\f(2sin10°－60°,cos10°)·sin40°＝eq\f(－2sin50°,cos10°)·sin40°＝－eq\f(2sin40°·cos40°,cos10°)＝－eq\f(sin80°,cos10°)＝－1.题组三易错自纠6．(2019·衡水中学调研)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，sinα＝－eq\f(4,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．－7 B．－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7) D．7答案B解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，sinα＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq\f(1,7).7．(多选)下面各式中，正确的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin

eq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)cos

eq\f(π,4)B．cos

eq\f(5π,12)＝eq\f(\r(2),2)sin

eq\f(π,3)－cos

eq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝cos

eq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4)D．cos

eq\f(π,12)＝cos

eq\f(π,3)－cos

eq\f(π,4)答案ABC解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin

eq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)＋cos

eq\f(π,4)sin

eq\f(π,3)＝sin

eq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)cos

eq\f(π,4)，∴A正确；∵cos

eq\f(5π,12)＝－cos

eq\f(7π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sin

eq\f(π,3)－cos

eq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)，∴B正确；∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝coseq\f(π,4)cos

eq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4)，∴C正确；∵cos

eq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠cos

eq\f(π,3)－cos

eq\f(π,4)，∴D不正确．故选ABC.8．化简：eq\f(cos40°,cos25°·\r(1－sin40°))＝.答案eq\r(2)解析原式＝eq\f(cos40°,cos25°\r(1－cos50°))＝eq\f(cos40°,cos25°·\r(2)sin25°)＝eq\f(sin50°,\f(\r(2),2)sin50°)＝eq\r(2).9．化简：eq\f(2sinπ－α＋sin2α,cos2\f(α,2))＝.答案4sinα解析eq\f(2sinπ－α＋sin2α,cos2\f(α,2))＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f(1,2)1＋cosα)＝eq\f(4sinα1＋cosα,1＋cosα)＝4sinα.10．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，则tan2θ＝.答案－eq\f(24,7)解析方法一sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，得sinθ－cosθ＝eq\f(1,5)，平方得2sinθcosθ＝eq\f(24,25)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可求得sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，∴tanθ＝eq\f(4,3)，tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－eq\f(24,7).方法二∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(1,7)＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)，∴tanθ＝eq\f(4,3).故tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－eq\f(24,7).第1课时和角、差角和倍角公式和差倍角公式的简单应用1．若sin(π－α)＝eq\f(1,3)，且eq\f(π,2)≤α≤π，则sin2α的值为()A．－eq\f(4\r(2),9)B．－eq\f(2\r(2),9)C.eq\f(2\r(2),9)D.eq\f(4\r(2),9)答案A解析因为sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)，eq\f(π,2)≤α≤π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))＝－eq\f(4\r(2),9).2．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为()A．－eq\f(2,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2)D．－eq\f(11,2)答案A解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，又tan(π－β)＝eq\f(1,2)，∴tanβ＝－eq\f(1,2)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝－eq\f(2,11).3．计算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为．答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).4．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cosx的最小值为．答案－4解析∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－eq\f(3,4)∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，则cosα的值为．答案eq\f(\r(2),10)解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π.∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(3,5).∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos

eq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sin

eq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).(2)(2019·山东模拟)若cos(75°－α)＝eq\f(1,3)，则cos(30°＋2α)＝.答案eq\f(7,9)解析∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝eq\f(1,3)，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×eq\f(1,9)＝eq\f(7,9).命题点2三角函数式的变换例2(1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.答案eq\f(1,6)解析方法一cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))))＝eq\f(1,2)(1－sin2α)＝eq\f(1,6).方法二coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)cosα－eq\f(\r(2),2)sinα，所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)(cosα－sinα)2＝eq\f(1,2)(1－2sinαcosα)＝eq\f(1,2)(1－sin2α)＝eq\f(1,6).(2)求值：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan5°)－tan5°))＝.答案eq\f(\r(3),2)解析原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)－sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos5°,sin5°)－\f(sin5°,cos5°)))＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°－10°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).命题点3公式的综合应用例3(1)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为．答案2解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(2)若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝.答案±eq\f(\r(2),4)解析由eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(2,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4).(3)若eq\f(3π,2)<α<2π，则eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α))可化简为．答案－cos

eq\f(α,2)解析eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)×2cos2α))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)|cosα|)，因为eq\f(3,2)π<α<2π，所以|cosα|＝cosα.所以原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)＝eq\r(cos2\f(α,2)).又因为eq\f(3,4)π<eq\f(α,2)<π，所以原式＝－cos

eq\f(α,2).思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．跟踪训练(1)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，则sinβ＝.答案eq\f(\r(3),2)解析由已知可得sinα＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2).(2)计算：eq\f(cos10°－\r(3)cos－100°,\r(1－sin10°))＝.(用数字作答)答案eq\r(2)解析eq\f(cos10°－\r(3)cos－100°,\r(1－sin10°))＝eq\f(cos10°＋\r(3)cos80°,\r(1－cos80°))＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,\r(2)·sin40°)＝eq\f(2sin10°＋30°,\r(2)·sin40°)＝eq\r(2).(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin2α＝eq\f(24,25)，0<α<eq\f(π,2)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为．答案eq\f(7,5)解析∵sin2α＝eq\f(24,25)，0<α<eq\f(π,2)，∴sinαcosα＝eq\f(12,25)，sinα>0，cosα>0.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(49,25)，∴sinα＋cosα＝eq\f(7,5).∴eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosα＋\f(\r(2),2)sinα))＝cosα＋sinα＝eq\f(7,5).(4)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝.答案eq\f(\r(2),2)解析由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，则C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).1．已知α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sin2α等于()A．－eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(3\r(10),10)C．－eq\f(3,5)D.eq\f(3,5)答案C解析因为α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(\r(10),10)，cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＝－eq\f(3,5).2．(2019·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝eq\f(1,5)，则sin(2θ－50°)的值为()A．－eq\f(23,25)B.eq\f(23,25)C.eq\f(4\r(6),25)D.eq\f(2,5)答案A解析sin(2θ－50°)＝sin[(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin2(θ＋20°)－1＝－eq\f(23,25).3.eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)答案B解析原式＝eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝eq\r(3).4．(2020·沧州七校联考)若sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是()A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(11\r(5),25)D.eq\r(5)答案B解析∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(3,5)，又θ是第二象限角，∴cosθ＝－eq\f(4,5).又∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝cosφ＝－eq\f(2\r(5),5)，φ为第三象限角，∴sinφ＝－eq\f(\r(5),5).∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq\f(\r(5),5).5．化简cos250°－sin220°－sin30°sin50°等于()A.eq\f(1,2)cos10° B．－eq\f(1,2)cos10°C.eq\f(1,2)sin10° D．－eq\f(1,2)sin10°答案D解析原式＝eq\f(1＋cos100°,2)－eq\f(1－cos40°,2)－eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,2)cos100°＝－eq\f(1,2)sin10°.6．设a＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)，c＝eq\f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b答案D解析a＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)＝eq\f(\r(2),2)sin56°－eq\f(\r(2),2)cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝eq\f(\f(cos239°－sin239°,cos239°),\f(sin239°＋cos239°,cos239°))＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°，∵sin13°>sin12°>sin11°，∴a>c>b.7．(多选)下列四个选项中，化简正确的是()A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝eq\f(1,2)答案BCD解析对于A方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，A错误．方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).对于D，原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝eq\f(1,2).8.eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cos212°－2)＝.答案－4eq\r(3)解析原式＝eq\f(\r(3)×\f(sin12°,cos12°)－3,sin12°4cos212°－2)＝eq\f(\r(3)sin12°－3cos12°,2sin12°cos12°2cos212°－1)＝eq\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),sin24°cos24°)＝eq\f(2\r(3)sin12°－60°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).9．设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为．答案eq\f(17\r(2),50)解析∵α为锐角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)>0，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,4)－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sin

eq\f(π,4)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1))＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1))＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).10．已知sinα＋cosβ＝eq\f(1,3)，sinβ－cosα＝eq\f(1,2)，则sin(α－β)＝.答案－eq\f(59,72)解析∵sinα＋cosβ＝eq\f(1,3)，sinβ－cosα＝eq\f(1,2)，∴(sinα＋cosβ)2＝eq\f(1,9)，(sinβ－cosα)2＝eq\f(1,4)，即sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝eq\f(1,9)，①sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝eq\f(1,4).②①＋②得2＋2sin(α－β)＝eq\f(13,36)，∴sin(α－β)＝－eq\f(59,72).11．若sinθ＝eq\f(4,5)且eq\f(5π,2)<θ<3π，求cos

eq\f(θ,2)，tan

eq\f(θ,2)的值．解∵sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(5π,2)<θ<3π，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).∵cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1，∴cos2eq\f(θ,2)＝eq\f(1＋cosθ,2)，又∵eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,2)，∴cos

eq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\r(\f(1－\f(3,5),2))＝－eq\f(\r(5),5)，tan

eq\f(θ,2)＝eq\f(sin

\f(θ,2),cos

\f(θ,2))＝eq\f(sinθ,2cos2\f(θ,2))＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(\f(4,5),1－\f(3,5))＝2.12．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，且0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3,4)π，求cos(α＋β)的值．解因为0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3,4)π.所以eq\f(3,4)π<eq\f(3,4)π＋α<π，－eq\f(π,2)<eq\f(π,4)－β<0.又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋α))＝－eq\f(12,13)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋β))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝－eq\f(33,65).13．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),5)B.eq\f(2\r(3),5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)答案D解析由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，可得eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)，所以eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4\r(3),5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).14．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝.答案eq\f(7\r(2),10)解析依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(3,5).又β是第三象限角，所以cosβ＝－eq\f(4,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝－sinβcos

eq\f(π,4)－cosβsin

eq\f(π,4)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).15．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1,4)，则sin4θ＋cos4θ的值为．答案eq\f(5,8)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ－\f(\r(2),2)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\f(1,2)(cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f(1,4).所以cos2θ＝eq\f(1,2).故sin4θ＋cos4θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos2θ,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋cos2θ,2)))2＝eq\f(1,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(5,8).16．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解(1)因为tanα＝eq\f(4,3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq\f(2,11).第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简1．化简：eq\f(sin2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝________.答案2eq\r(2)cosα解析原式＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝2eq\r(2)cosα.2．当π<α<2π时，化简：eq\f(1＋sinα＋cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(α,2)－cos

\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________.答案cosα解析原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin

\f(α,2)cos

\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(α,2)－cos

\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2)))＝eq\f(2cos

\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)＋sin

\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(α,2)－cos

\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2))))＝eq\f(cos

\f(α,2)－cosα,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))).∵π<α<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π.∴cos

eq\f(α,2)<0.∴原式＝eq\f(－cos

\f(α,2)cosα,－cos

\f(α,2))＝cosα.3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝________.答案eq\f(1,2)解析方法一(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1,2)(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－eq\f(1,2)＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－eq\f(1,2)＝sin2β＋cos2β－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).方法二(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－cos2βeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2α＋\f(1,2)cos2α))＝eq\f(1＋cos2β,2)－eq\f(1,2)cos2β＝eq\f(1,2).4．化简：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)．解原式＝eq\f(sin2α＋β－2sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(sin[α＋α＋β]－2sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(sinαcosα＋β＋cosαsinα＋β－2sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(cosαsinα＋β－sinαcosα＋β,sinα)＝eq\f(sin[α＋β－α],sinα)＝eq\f(sinβ,sinα).思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．三角函数的求值命题点1给角求值例1(1)cos

eq\f(π,9)·cos

eq\f(2π,9)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,9)))＝________.答案－eq\f(1,8)解析cos

eq\f(π,9)·cos

eq\f(2π,9)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,9)))＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－eq\f(sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,2)sin40°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,4)sin80°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin20°,sin20°)＝－eq\f(1,8).(2)eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝________.答案eq\f(1,4)解析eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin30°－10°)＝eq\f(1,4).命题点2给值求值例2(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝________.答案eq\f(4－3\r(3),10)解析由题意可得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1,10)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin2θ＝－eq\f(4,5)，即sin2θ＝eq\f(4,5).因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)>0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<θ<eq\f(π,4)，2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝eq\f(3,5)，由两角差的正弦公式，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sin2θcos

eq\f(π,3)－cos2θsin

eq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(3,5)，eq\f(17,12)π<x<eq\f(7,4)π，则eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝________.答案－eq\f(28,75)解析∵eq\f(17π,12)<x<eq\f(7π,4)，∴eq\f(5π,3)<eq\f(π,4)＋x<2π.又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(4,5)，∴cosx＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))cos

eq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin

eq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10).∴sinx＝－eq\f(7\r(2),10)，tanx＝7.∴eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))2,1－7)＝－eq\f(28,75).命题点3给值求角例3已知α，β为锐角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3,14)eq\r(3)，则cos2α＝________，2α－β＝________.答案eq\f(1,7)eq\f(π,3)解析因为cosα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).又α，β为锐角，sinβ＝eq\f(3,14)eq\r(3)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α－β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<eq\f(π,2)，又β为锐角，所以－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(π,2)，又sin(2α－β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq\f(π,3).思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．跟踪训练(1)cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,4)D．1＋eq\f(\r(3),4)答案C解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).(2)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),sin2α＋cos2α＋1)＝________.答案eq\f(\r(26),8)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋cosα>0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq\f(2,\r(13))，sinα＝eq\f(3,\r(13))，∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),sin2α＋cos2α＋1)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,sinα＋cosα2＋cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),4cosα)＝eq\f(\r(26),8).(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，则2α－β的值为________．答案－eq\f(3π,4)解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，∴0<α<eq\f(π,2).又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).1．计算：eq\f(1－cos210°,cos80°\r(1－cos20°))等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(2),2)答案A解析eq\f(1－cos210°,cos80°\r(1－cos20°))＝eq\f(sin210°,sin10°\r(1－1－2sin210°))＝eq\f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq\f(\r(2),2).2．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))等于()A．－eq\f(7,8)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D.eq\f(7,8)答案A解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－2α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－2α))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2))＝－eq\f(7,8).3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，则sin2x等于()A.eq\f(18,25) B.eq\f(7,25)C．－eq\f(7,25) D．－eq\f(16,25)答案C解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝cos

eq\f(π,4)cosx＋sin

eq\f(π,4)sinx＝eq\f(\r(2),2)(cosx＋sinx)＝eq\f(3,5)，所以sinx＋cosx＝eq\f(3\r(2),5)，所以1＋2sinxcosx＝eq\f(18,25)，即sin2x＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25).4．(2020·福州模拟)4cos50°－tan40°等于()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)－1答案C解析4cos50°－tan40°＝eq\f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin100°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin60°＋40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2×\f(\r(3),2)cos40°＋2×\f(1,2)sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\r(3).故选C.5．若eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(1,2)，则sin2α的值为()A．－eq\f(7,8) B.eq\f(7,8)C．－eq\f(4,7) D.eq\f(4,7)答案B解析eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,sinαcos

\f(π,4)＋cosαsin

\f(π,4))＝eq\r(2)(cosα－sinα)＝eq\f(1,2)，即cosα－sinα＝eq\f(\r(2),4)，等式两边分别平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝eq\f(1,8)，解得sin2α＝eq\f(7,8).6．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，则()A．3α－β＝eq\f(π,2) B．2α－β＝eq\f(π,2)C．3α＋β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)答案B解析因为tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，所以eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，又α，β均为锐角，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，所以α－β＝eq\f(π,2)－α，即2α－β＝eq\f(π,2)，故选B.7．(多选)函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间可以是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ－\f(π,4)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)答案AB解析f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，∴函数f(x)＝sinxcosx的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)，∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确．故选AB.8．(多选)下列说法不正确的是()A．存在x0∈R，使得1－cos3x0＝log2eq\f(1,10)B．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期为πC．函数y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a