中考数学难点突破专项练习题

中考数学难点突破专项练习题前言：直面中考数学难点，专项突破是关键中考数学，作为检验初中阶段数学学习成果的重要标尺，其命题既注重基础，也不乏对学生思维能力、综合应用能力的考查。所谓“难点”，往往是那些综合性强、知识点交叉多、需要灵活运用数学思想方法才能解决的问题。许多同学在面对这些“拦路虎”时，常常感到无从下手，导致失分严重。专项练习，正是突破这些难点的有效途径。通过集中攻克某一类型的问题，同学们可以深化对相关知识点的理解，熟悉常见的解题思路与技巧，进而提升解题的熟练度和准确率。本套练习题精选中考数学中的核心难点，旨在帮助同学们通过针对性训练，逐一击破，扫清障碍，为中考数学取得优异成绩奠定坚实基础。专项一：函数综合题——数形结合，动态分析函数是贯穿初中数学的一条主线，也是中考的重中之重，其综合题更是难点所在，常涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，以及与方程、几何图形的结合。练习题1：已知二次函数的图像经过点A(-1,0)、B(3,0)，且顶点C到x轴的距离为2。(1)求该二次函数的解析式；(2)点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。当线段PE的长度最大时，求点P的坐标。思路点拨：(1)已知二次函数与x轴的两个交点A、B，可设交点式y=a(x+1)(x-3)。顶点C到x轴距离为2，说明顶点的纵坐标为2或-2。根据对称轴x=(-1+3)/2=1，可求出顶点坐标，代入即可求得a的值，注意分类讨论。(2)首先需求出直线BC的解析式。设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示出点P和点E的纵坐标，进而得到PE的长度关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值及此时m的值，即可确定点P坐标。注意P点在x轴上方这一限制条件。参考答案与提示：(1)顶点C的坐标为(1,2)或(1,-2)。当顶点为(1,2)时，代入y=a(x+1)(x-3)得：2=a(1+1)(1-3)，解得a=-1/2。解析式为y=-1/2(x+1)(x-3)=-1/2x²+x+3/2。当顶点为(1,-2)时，同理可得a=1/2。解析式为y=1/2x²-x-3/2。(2)以第一问中其中一个解析式为例（如y=-1/2x²+x+3/2），先求直线BC解析式。B(3,0)，C(1,2)。设直线BC：y=kx+b，代入得：0=3k+b，2=k+b。解得k=-1，b=3。所以直线BC：y=-x+3。设P(m,-1/2m²+m+3/2)，则E(m,-m+3)。PE=(-1/2m²+m+3/2)-(-m+3)=-1/2m²+2m-3/2。这是一个开口向下的二次函数，对称轴m=2。当m=2时，PE有最大值。此时P点坐标为(2,5/2)。（注意：若选择另一个抛物线解析式，需先判断其x轴上方是否有动点P）练习题2：如图，已知反比例函数y=k/x(k≠0)的图像与一次函数y=mx+b(m≠0)的图像交于A(1,n)、B(-2,-1)两点。(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P是x轴上一动点，当△ABP的面积为3时，求点P的坐标。思路点拨：(1)反比例函数图像过点B(-2,-1)，可直接代入求出k，进而得到反比例函数解析式。再将点A(1,n)代入反比例函数求出n，得到点A坐标。最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出m、b。(2)求△ABP的面积，以AB为底或以AP、BP为底均可，但考虑到P在x轴上，以AB为底时，高是点P到直线AB的距离，计算相对复杂。另一种方法是，设直线AB与x轴交于点C，将△ABP的面积表示为△ACP与△BCP面积之和或差（取决于P点位置），这样计算会更简便。先求出点C坐标，设P(t,0)，则PC的长度为|t-c|（c为点C横坐标），根据面积公式列方程求解。参考答案与提示：(1)将B(-2,-1)代入y=k/x，得k=(-2)×(-1)=2。反比例函数：y=2/x。将A(1,n)代入y=2/x，得n=2。A(1,2)。将A(1,2)、B(-2,-1)代入y=mx+b：m+b=2-2m+b=-1解得m=1，b=1。一次函数：y=x+1。(2)直线AB：y=x+1与x轴交于点C(-1,0)。设P(t,0)，则PC=|t-(-1)|=|t+1|。S△ABP=S△ACP+S△BCP=1/2×PC×|y_A|+1/2×PC×|y_B|(因为A、B在x轴同侧)=1/2×|t+1|×(2+1)=3/2|t+1|。令3/2|t+1|=3，解得|t+1|=2，t=1或t=-3。所以P点坐标为(1,0)或(-3,0)。专项二：几何综合题——模型构建，辅助线添加几何综合题往往涉及三角形、四边形、圆等多个图形，需要运用全等、相似、勾股定理、圆的性质等多种知识点，辅助线的添加是解决问题的关键。练习题3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上一点（不与A、B重合），连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE、BE。(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若AD=2，BD=4，求DE的长。思路点拨：(1)要证△ACD≌△BCE，已知CD=CE（旋转性质），AC=BC（已知）。只需再证夹角相等，即∠ACD=∠BCE。因为∠ACB=90°，∠DCE=90°（旋转90°），所以∠ACB=∠DCE，等式两边同时减去∠DCB，即可得到∠ACD=∠BCE。(2)由(1)的全等可得BE=AD=2，∠CBE=∠A。在Rt△ABC中，AC=BC，所以∠A=∠ABC=45°，故∠CBE=45°，从而∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°。在Rt△DBE中，BD=4，BE=2，利用勾股定理可求DE。参考答案与提示：(1)证明：∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°。∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE。∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE。在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)。(2)∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE=2，∠CBE=∠A。∵在Rt△ABC中，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°。∴∠CBE=45°。∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°。在Rt△DBE中，BD=4，BE=2，∴DE=√(BD²+BE²)=√(4²+2²)=√20=2√5。练习题4：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E。(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AB=10，AD=8，求DE的长。思路点拨：(1)要证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠BAC。连接OC，因为CD是切线，所以OC⊥CD。又AD⊥CD，所以AD∥OC，从而∠DAC=∠OCA。又因为OA=OC（半径），所以∠OCA=∠BAC，等量代换即可得证。(2)求DE的长，可先求AE的长，再用AD-AE。连接BE，因为AB是直径，所以∠AEB=90°。又AD⊥CD，四边形CDEB是否为矩形？或可通过证明△ADC∽△ACB来求AC，再在Rt△ADC中求DC，进而通过勾股定理或相似求AE。参考答案与提示：(1)证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD。∵AD⊥CD，∴AD∥OC。∴∠DAC=∠OCA。∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC。∴∠DAC=∠BAC，即AC平分∠DAB。(2)连接BE，BC。∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠AEB=90°。∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠DAC=∠BAC（已证），∴△ADC∽△ACB。∴AD/AC=AC/AB，即AC²=AD·AB。AB=10，AD=8，∴AC²=8×10=80，AC=√80=4√5。在Rt△ADC中，DC=√(AC²-AD²)=√(80-64)=√16=4。∵∠D=∠DEB=∠DCE=90°（OC⊥CD，BE⊥AD，AD⊥CD），∴四边形CDEB是矩形。∴DE=BC，DC=BE=4。在Rt△ACB中，BC=√(AB²-AC²)=√(100-80)=√20=2√5。∴DE=2√5。专项三：动态几何与探究题——动静转化，分类讨论动态几何问题以其灵活性和探究性成为中考的热点和难点。这类问题常常涉及点、线、图形的运动，需要同学们在运动变化中把握不变的几何关系，运用分类讨论思想解决问题。练习题5：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ。(1)用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度；(2)当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？(3)在P、Q运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。思路点拨：(1)根据路程=速度×时间，AP=t，CQ=2t。PC=AC-AP=6-t。(2)△PCQ与△ACB相似，∠C是公共角，所以分两种情况：①PC/AC=CQ/CB；②PC/CB=CQ/AC。代入线段表达式，解方程即可。注意t的取值范围。(3)PQ的长度可在Rt△PCQ中用勾股定理表示为√(PC²+CQ²)=√[(6-t)²+(2t)²]。将其整理成关于t的二次函数形式，利用二次函数的性质求最小值。参考答案与提示：(1)由题意得：AP=tcm，CQ=2tcm。∵AC=6cm，∴PC=AC-AP=(6-t)cm。(2)∵∠C=∠C，∴△PCQ与△ACB相似有两种情况：①当PC/AC=CQ/CB时，(6-t)/6=2t/8，8(6-t)=12t，48-8t=12t，20t=48，t=2.4。②当PC/CB=CQ/AC时，(6-t)/8=2t/6，6(6-t)=16t，36-6t=16t，22t=36，t=18/11。∵0<t<4，∴t=2.4或t=18/11时，△PCQ与△ACB相似。(3)存在。在Rt△PCQ中，PQ=√(PC²+CQ²)=√[(6-t)²+(2t)²]=√(36-12t+t²+4t²)=√(5t²-12t+36)。设y=5t²-12t+36，这是一个开口向上的二次函数，对称轴t=-b/(2a)=12/(2×5)=6/5=1.2。∵0<t<4，∴当t=1.2时，y有最小值。y最小值=5×(1.2)²-12×1.2+36=5×1.44-14.4+36=7.2-14.4+36=28.8。∴PQ最小值=√28.8=√(144/5)=12√5/5cm。专项四：代数综合与应用题——建模思想，精准计算代数综合题常涉及方程、不等式、函数等知识点的结合，而应用题则考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，关键在于建立数学模型。练习题6：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？(3)在(2)的条件下，若A商品每件售价30元，B商品每件售价50元，商店将购进的A、B商品全部售出后，可获得的最大利润是多少元？思路点拨：(1)设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元。根据题意列出二元一次方程组：3