2025-2026学年山西省忻州市第一中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省忻州市第一中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下面给出三个随机变量：

①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；

②某森林树木的高度在（0，50]（单位：m）这一范围内变化，测得某一树木的高度X；

③某人射击2次，击中目标的环数之和X.

其中离散型随机变量有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.设随机变量X服从正态分布N（100，σ2），若P（X＜80）=0.1，则P（X＜120）=（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.93.若随机变量ξ的分布如下表：ξ-2-1123P0.20.12m0.25m则P（|ξ|＜2）的值为（）A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.854.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以4：1获胜的概率为（）A. B. C. D.5.如图，为了出黑板报，某班级为黑板A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（）ABCDA.24种 B.48种 C.72种 D.84种6.已知，且a1+a3+a5=0，则a等于（）A.8 B.0 C.4 D.-87.若函数f（x）=x2-ax+lnx在区间（1，e）上单调递增，则a的取值范围是（）A.[3，+∞） B.（-∞，3] C.[3，e2+1] D.[e2+1，3]8.已知随机变量X满足两点分布，且P（X=1）=a,则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（）A.不同的坐法有720种

B.若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种

C.若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种

D.若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种10.椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若，则（）A.C的短轴长为 B.C的焦距为2 C.△ABF2的周长为8 D.C的离心率为11.某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会.已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为.记顾客第n次抽奖的中奖概率为Pn，则（）A. B.某顾客消费200元，则其中奖概率为

C.Pn的最大值为 D.当n⩾2时，n越大，Pn越小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有

种.13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=3，BC=BB1=2，则异面直线AB与B1C所成角的余弦值为

.14.已知随机事件A，B互相独立，且满足，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2：1.

（1）求n的值；

（2）求展开式中含x4的项的二项式系数（用数字作答）.16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a2+a4=16，S5=25.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.17.(本小题15分)

研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒.某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如下2×2列联表.性别健康状况感冒不感冒男814女424（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；

（2）依表，依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，分析20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？

参考数据：参考公式，其中n=a+b+c+d.α0.150.100.050.0250.0100.050.01xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(本小题17分)

乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长.该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：年份t/年20212022202320242025年份代码x（x=t-2020）12345销量y/万把78101114（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：

（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列.

附：为回归直线方程，.19.(本小题17分)

为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为p0，闯过第二关的概率为p.某生产商将商品定价100元.成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%.

（1）若p0=0.8，p=0.5，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；

（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r（p）=0.2+0.4p+0.2p2，记生产商销售一件该商品的期望利润为f（p）（单位：元）.（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）

（i）求f（p）关于p的函数表达式；

（ii）证明：f（p）在[0，1]内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润f（p）最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AB

10.【答案】BC

11.【答案】AC

12.【答案】64

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】n=8

56

16.【答案】an=2n-1

17.【答案】分布列为：X123PE（X）=2

没有95%的把握认为20-30岁年轻人的