2025-2026学年四川省成都市青羊区树德中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省成都市青羊区树德中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若1，a1，a2，a3，7成等差数列；1，b1，b2，125成等比数列，则等于（）A.8 B. C. D.42.若f（x）=e-2x+1，则f（x）在处的切线方程为（）A.2x+y-2=0 B.2x-y=0 C.2x+y-e-1=0 D.2ex+y-2e=03.在（x+y）（x-2y）5的展开式中，x3y3的系数为（）A.120 B.80 C.40 D.-404.树德中学有甲乙等5名同学约好去看三场不同的世界杯比赛，每名同学可自由选择观看其中的一场比赛，且每场比赛都有同学观看，且甲乙去看同一场比赛，则不同选择的种数为（）A.30 B.36 C.72 D.1085.若函数f（x）=lnx+ax2-4在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C.（-2，+∞） D.[-2，+∞）6.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且∠F1PF2=2∠F1PA，点Q是线段PF2的中点，且F1，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2 C. D.7.已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）=e,且对任意的x满足f'（x）-f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（）A.（-∞，1） B.（-∞，0） C.（0，+∞） D.（1，+∞）8.如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（）

A.54 B.154 C.264 D.286二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，Q为抛物线上一个动点，且P（2，1），则（）A.|AB|的最小值为4 B.以AF为直径的圆与抛物线的准线相切

C. D.|PQ|+|QF|的最小值为310.已知事件A，B，且，，，则（）A. B.P（B）=P（A）

C. D.11.数列{an}，{bn}满足函数，其中，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，现令，则（）A.

B.cn为公差为的等差数列

C.{（-1）ncn}的前2026项和为1013

D.∀n≥2，n∈N*，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为______．13.甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为

.14.函数f（x）=ax2ex-2lnx-x+b（a＞0）有且仅有一个零点，则a2+b最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2.

（1）若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD.

（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.16.(本小题15分)

某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会.某考生小王决定参加考试，如果他参加考试通过的概率依次为0.4，0.6，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：

（1）小王在一年内领到证书的概率；

（2）小王在一年内参加考试次数X的分布列；

（3）假设每次考试需缴纳80元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费Y（单位：元）的分布列.17.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且满足.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=nlog2an+1，求数列的前n项和Tn；

（3）对于∀n∈N*，（-1）n•λ＜Tn恒成立，求实数λ的取值范围.18.(本小题17分)

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．

（1）求椭圆的方程；

（2）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为．

①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；

②求△APQ面积的最大值．19.(本小题17分)

已知函数.

（1）求f（x）在（0，+∞）上的极值；

（2）若x3f（x）＞asinx在（0，π）上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若存在正实数m使得函数h（x）=f（x）-m在（0，+∞）上有两个不同的零点x1，x2，证明：lnx1+lnx2＞2-lnm.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】．

14.【答案】．

15.【答案】证明：取PD的中点为S，则SF∥ED，，

而ED∥BC，ED=2BC，故SF∥BC，SF=BC，

故四边形SFBC为平行四边形，

故BF∥SC，而BF⊄平面PCD，SC⊂平面PCD，

所以BF∥平面PCD

16.【答案】0.952

X的分布列为：X123P0.40.360.24

Y的分布列为：Y80160240P0.40.360.24

17.【答案】an=2n（n∈N*）

Tn=

（-，）

18.【答案】（1）解：由题意，，解得.

∴椭圆的方程为；

（2）①证明：当直线PQ的斜率存在时，设PQ：y=kx+m，

与椭圆方程联立，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，

又A（-2，0），∴，，

由，得（x1+2）（x2+2）+4y1y2=（x1+2）（x2+2）+4（kx1+m）（kx2+m）

==0，

代入根与系数的关系并整理得：（m-2k）（m+k）=0，

得m=2k或m=-k，

当m=2k时，PQ：y=kx+2k，直线过定点（-2，0），不合题意；

当m=-k时，PQ：y=kx-k，直线过定点（1，0），符合题意．

当直线PQ的斜率存在时，P（1，），Q（1，-），满足直线AP、AQ的斜率之积为．

综上所述，直线PQ恒过定点（1，0）；

②解：由①知，直线PQ恒过定点（1，0），设为M，

故当△APQ面积最大时，PQ⊥AM，即PQ与x轴垂直时，△APQ面积最大，

此时|AQ|=3，|AM|=3，则△APQ面积的最大值为．

19.【答案】极小值为，无极大值

（-∞，1]

已知h（x）=f（x）-m有两个零点x1，x2，

则：，，

两边取对数，得x1-2lnx1=lnm，x2-2lnx2=lnm，

两式相减，得x1-x2=2（lnx1-lnx2）；两式相加，得x1+x2-2（lnx1+lnx2）=2lnm；要证lnx1+lnx2＞2-lnm，即证x1+x2-2lnm＞4-2lnm，即证x1+x2＞4，

令，则x1=tx2，

由x1-x2=2（lnx1-lnx2），得tx2-x2=2l