2025-2026学年重庆市巴蜀教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市巴蜀教育集团高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.函数f（x）=x（lnx+a）在x=e处的切线与x轴平行，则实数a=（）A.-2 B.-1 C.0 D.12.已知变量x与变量y正相关，样本数据（xi，yi）中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别是，，将成对数据按照平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（）A.大部分散点位于第一、四象限 B.大部分散点位于第二、三象限

C.大部分散点位于第一、三象限 D.大部分散点位于第二、四象限3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则实数t=（）A.1 B.2 C.3 D.64.随机变量X服从正态分布N（50，σ2），若P（X≤40）=0.3，则P（X≤60）=（）A.0.8 B.0.7 C.0.3 D.0.25.双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，A，B两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率e=（）A. B.2 C. D.6.若在[0，+∞）上单调递增，则实数a最大值是（）A.2 B.e-1 C.1 D.e-27.学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件A表示“用13步走完15级台阶”，事件B表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则P（B|A）=（）A. B. C. D.8.向量，其中x+y+z≤8，且x,y,z均为正整数，则满足条件的的个数是（）A.84 B.56 C.36 D.21二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.变量x与变量y有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（）x12345y24568A. B.变量x与变量y负相关

C.当x=6时，预测值 D.当x=5时，样本点对应的残差是-110.若的二项展开式中只有第7项的二项系数最大，则下列说法正确的是（）A.n=14 B.二项展开式中存在常数项

C.二项系数之和与各项系数之和不相等 D.二项展开式的第9项的系数最大11.随机变量，Y～B（6，p），若D（X）=D（Y），则下列说法正确的是（）A.E（Y）=2 B.E（2X+1）=5

C.D（3Y+1）=12 D.|E（3Y+1）-10|=E（X+1）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.等差数列{an}的前n项和是Sn，若a2+a3+a7=18，则S7=

.13.现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是

.14.抛物线E：y2=4x的焦点是F，不过原点的直线l与抛物线E相交于A，B两点，且，直线AF与抛物线E相交于C点，直线BF与抛物线E相交于D点，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀.

（1）请将2×2列联表补充完整；

（2）依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异.

（3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率.学校数学成绩合计优秀不优秀甲校10乙校15合计100参考数据：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

数列{an}满足a1=1，a2=6，且an+2=6an+1-9an.

（1）证明{an+1-3an}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式an；

（3）求数列{an}的前n项和Sn.17.(本小题15分)椭圆E：（a＞b＞0）的焦点分别为F1，F2，上顶点是P，△F1PF2是面积为的等边三角形.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过M（4，0）的直线l与椭圆E相交于A，B两点，|BM|=λ|AM|且|AM|＞|BM|，求实数λ的取值范围.18.(本小题15分)

函数f（x）=ex-ax,f（x）存在两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）（其中e是自然对数的底数）.

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：2＜x1+x2＜2lna.19.(本小题17分)

现有两个不透明的A，B箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中A箱子中装有2个红球，1个白球，B箱子中装有3个红球，3个白球.先从A箱子采取不放回的方式依次取球，当A箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从A箱子取球，并将A箱子剩余的球混入B箱子后再从B箱中采取不放回的方式依次取球，当B箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从B箱子取球，记X为停止从B箱子取球时，B箱子内剩余的白球个数.

（1）停止从A箱子取球时A箱子恰好剩一个球的概率；

（2）停止从B箱子取球时B箱子不剩红球的概率；

（3）求X的分布列.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】BD

11.【答案】BCD

12.【答案】42．

13.【答案】100．

14.【答案】．

15.【答案】列联表如下：校数学成绩合计优秀不优秀甲校104050乙校153550合计2575100

不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异

0.096

16.【答案】已知an+2=6an+1-9an，

可得an+2-3an+1=3（an+1-3an），

又a1=1，a2=6，则a2-3a1=6-3×1=3≠0，

因此为常数，

故{an+1-3an}是首项为3，公比为3的等比数列

17.【答案】解：（1）因为△F1PF2是面积为的等边三角形，所以，a=2c,又a2=b2+c2，解得，则椭圆E的标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为|BM|=λ|AM|且|AM|＞|BM|，所以，此时（4-x2，-y2）=λ（4-x1，-y1），所以，即，因为A，B两点均在椭圆上，所以，即，整理得，即，所以λx1+x2=λ+1，可得，所以，解得．则实数λ的取值范围为．

18.【答案】（e，+∞）

由x1，x2为f（x）两个不同的零点，则f（x1）=f（x2）=0，

即，，则，，

所以，化简得，

令，则x2=tx1，

因为x1＜x2，所以x2-x1＞0，所以，即t＞1，

因此，两边取对数得x1（t-1）=lnt，

所以，则，

所以，

要证2＜x1+x2，需证，

即（t+1）lnt＞2（t-1），令g（t）=（t+1）lnt-2（t-1），

则，

，所以g′（t）单调递增，

即g′（t）＞g′（1）=0，因此g（t）单调递增，

所以g（t）＞g（1）=0，即，所以2＜x1+x2；要证x1+x2＜2lna，需证x2＜2lna-x1，

由（1）知f（x）在x=lna处取极小值，且x1＜x2，

所以x2＞lna，则2lna-x1＞lna，

又f（x）在（lna，+∞）上单调递增，所以只需证明f（x2）＜f（2lna-x1），

因为f（x1）=f（x2）=0，只需证f（x1）＜f（2lna-x1），

令F（x）=f（x）-f（2lna-x）（x＜lna），

则，

所以F（x）在（-∞，lna）上单调递增，

则F（x）＜F（lna）=f（ln