北京市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷（一）人教版（含答案）

北京市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2025春•荣昌区期末）下列三个图中，一定能得出∠1与∠2相等的图形个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2．（2分）（2025春•厦门校级期中）能由如图平移得到的图形是（）A． B． C． D．3．（2分）（2025秋•兰州期中）下列计算正确的是（）A．±38=±2 C．(−5)2=−54．（2分）（2019春•博罗县期末）点P（3，5）到x轴和y轴的距离分别是（）A．3，5 B．3，﹣5 C．5，3 D．﹣5，35．（2分）（2025春•济南期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有（）A．②③ B．①② C．①③④ D．①②③④6．（2分）（2025秋•西安期中）如图，某小区有3棵古松树S1，S2，S3，为加强对古树的保护园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为S1（﹣2，3），S2（1，4），则第3棵古松树S3的位置用坐标表示为（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣1，1） D．（1，1）7．（2分）（2024春•沂源县期末）下列命题中，是假命题的是（）A．内错角相等 B．对顶角相等 C．互余的两个角不一定相等 D．两点之间，线段最短8．（2分）（2024秋•伊川县期末）如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互补且相等9．（2分）直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边，我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D处，则点C的对应点C的坐标为（）A．（3，1） B．（2，1） C．（1，3） D．（2，3）10．（2分）（2024春•荆州月考）在平面直角坐标系中，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B（﹣1，4）重合，则点A的坐标是（）A．（2，2） B．（﹣4，6） C．（﹣4，2） D．（2，6）二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•临川区校级月考）由2x﹣y﹣5＝0，用x的式子表示y可以得y＝．12．（2分）（2024春•市中区校级月考）已知x=2y=−1是二元一次方程ax+by＝2的解，则6a﹣3b+2018的值为13．（2分）（2023春•邕宁区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=x−y(当x≥y时)y−x(当x＜y时)，那么称点Q为点P的“关联点”．例如点（3，5）的“关联点”的坐标为（3，2）；如果点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣3，4），则点P的坐标为14．（2分）（2025秋•无锡期中）若a，b满足a+2+|b−1|=0，则a+b＝15．（2分）（2025秋•林芝市期末）将一副三角板如图放置，若∠AOD＝17°，则∠BOC的大小为．16．（2分）（2025春•牡丹区期末）如图，直线a、c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝°时，有a∥b．17．（2分）（2024春•大连月考）如图，∠1＝125°，AO⊥OB于点O，点C、O、D在一条直线上，则∠2＝．18．（2分）（2025秋•揭阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，1）在第一三象限角平分线上，过点A1作y轴的平行线，交第二四象限角平分线于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交第一、三象限角平分线于点A2，交第二、四象限角平分线于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯规律，则第2025个正方形的边长为．三．解答题（共10小题，满分64分）19．（8分）（2024秋•南宁校级期中）计算：−320．（12分）（2025春•湟中区校级期中）计算：（1）25+（2）−1（3）（x+1）2﹣25＝0；（4）2（x+1）3+16＝0；（5）3x+2y=14x=y+3（6）2x−y=4x+3y=−521．（4分）（2025春•海淀区校级期中）已知：∠AOB及∠AOB内部一点P．（1）①过点P作直线PD⊥OB于点D；②过点P作直线PC∥OA交OB于点C；（2）比较线段PC与线段PD的大小：PCPD，理由是．22．（6分）如图所示，已知BD⊥AF，CE⊥AF，∠C＝∠D．试说明：∠A＝∠F．23．（6分）（2025秋•濉溪县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，其中点A（﹣1，1）．（1）将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′．请画出三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′的三个顶点的坐标．（2）若P（x，y）是三角形ABC中的任意一点，请写出经过（1）平移后，得到的对应点P′的坐标．24．（4分）（2024秋•长春校级期末）已知a﹣1的立方根是2，2b+1的平方根是±3，c是13的整数部分．（1）求a、b、c的值．（2）求a+b+c的平方根．25．（6分）小明画了一个图（如图），你能分别根据下面的基本事实或定理，说明他画的图是错误的吗？（1）平行线的有关基本事实和定理；（2）三角形内角和定理．26．（6分）（2025秋•长沙期中）当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某制造厂采用了A，B两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂．（1）求每台A，B型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂．（2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？27．（6分）（2024秋•大同期末）（1）计算：(−1)（2）阅读下列解题过程，完成相应任务．解方程组：2x−y=4①8x−3y=20②解：由①，得y＝2x﹣4，③…第一步把③代入②，得8x﹣3（2x﹣4）＝20，去括号，得8x﹣6x﹣12＝20，…第二步解得x＝16．…第三步将x＝16代入③，得y＝28．…第四步所以原方程组的解为x=16y=28任务一：这种求解二元一次方程组的方法叫做；A．代入消元法B．加减消元法任务二：第步开始出现错误，错误的原因是；任务三：直接写出该方程组的正确解：．28．（6分）（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠A+∠1＝180°．（1）求证：AE∥BD；（2）若∠E＝80°，∠ABD的角平分线BF与∠CDE的角平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，∠1＝116°，求∠F的度数．四．解答题（共3小题）29．（2025•滨州）（1）计算：（﹣3）0−3（2）解不等式：x﹣3（x﹣2）≥4．30．（2024春•阳信县期末）已知方程组ax−by=−4bx+ay=−8和方程组2x+5y=−63x−5y=16的解相同，求5a+31．如图1，把一张标准纸一次又一次对折，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、……．当标准纸的短边长为a时．（1）“16开”纸的短边长为（用含a的代数式表示）．（2）如图2，把这张标准纸对折得到的“16开”纸，按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则：①“16开”纸的长边长是（用含a的代数式表示）；②标准纸的长边与短边的比值是．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2025春•荣昌区期末）下列三个图中，一定能得出∠1与∠2相等的图形个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】根据对顶角、邻补角的定义以及同角的余角相等逐个图形进行判断即可．【解答】解：如图，图1中的∠1与∠2既不是对顶角，也不是邻补角，因此∠1与∠2不一定相等；图2中，由标注可知，∠AOD＝∠BOD＝90°＝∠COE，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2；图3中，∠1与∠2是对顶角，因此∠1＝∠2；综上所述，图2，图3中的∠1＝∠2，共2个，故选：B．【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是正确解答的关键．2．（2分）（2025春•厦门校级期中）能由如图平移得到的图形是（）A． B． C． D．【考点】平移的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】直接根据图形平移的性质解答即可．【解答】解：由图可知，平移得到的图形是D．故选：D．【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．3．（2分）（2025秋•兰州期中）下列计算正确的是（）A．±38=±2 C．(−5)2=−5【考点】二次根式的性质与化简；立方根．【专题】实数；二次根式；运算能力．【答案】A【分析】先分别算出各个选项的算术平方根以及立方根，再与等号右边的值进行比较，即可作答．【解答】解：A、±3B、4=2≠±2C、(−5)2D、3−27故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．4．（2分）（2019春•博罗县期末）点P（3，5）到x轴和y轴的距离分别是（）A．3，5 B．3，﹣5 C．5，3 D．﹣5，3【考点】点的坐标．【专题】平面直角坐标系；几何直观．【答案】C【分析】根据点P（3，5）在第一象限，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．【解答】解：因为点P（3，5）在第一象限，所以到x轴的距离是纵坐标的长度5，到y轴的距离是横坐标的长度3．故选：C．【点评】本题考查了象限内点的坐标的特征，记住各象限内点的特征是解决的关键．5．（2分）（2025春•济南期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有（）A．②③ B．①② C．①③④ D．①②③④【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，逐一判断，即可．【解答】解：延长FG交AB于点K，由题意得，△PMN是等腰直角三角形，在△EFG中，∠GEF＝60°，∠EFG＝30°，∠EGF＝90°，∠MPN＝90°，∴∠EGF＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确，符合题意；∵∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②错误，不符合题意；∵AB∥CD，∴∠BKN＝∠PNM＝45°，∴∠AEG＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝75°，故③正确，符合题意；∵△PMN是等腰直角三角形，∴∠PMN＝45°，∴∠AEG＝∠PMN，故④正确，符合题意；综上所述，正确的个数为：①③④．故选：C．【点评】本题考查三角形的内角和，平行线的性质，解题的关键是延长FG交AB于点K．6．（2分）（2025秋•西安期中）如图，某小区有3棵古松树S1，S2，S3，为加强对古树的保护园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为S1（﹣2，3），S2（1，4），则第3棵古松树S3的位置用坐标表示为（）A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣1，1） D．（1，1）【考点】坐标确定位置．【专题】平面直角坐标系；几何直观．【答案】C【分析】根据S1（﹣2，3），S2（1，4）确定出坐标轴的位置即可得出第3棵古松树S3的位置用坐标．【解答】解：如图所示：故第3棵古松树S3的位置用坐标表示为：（﹣1，1）．故选：C．【点评】本题考查平面直角坐标系的相关知识，掌握用坐标确定位置的方法是解题的关键．7．（2分）（2024春•沂源县期末）下列命题中，是假命题的是（）A．内错角相等 B．对顶角相等 C．互余的两个角不一定相等 D．两点之间，线段最短【考点】命题与定理；线段的性质：两点之间线段最短；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】根据内错角、对顶角、余角及线段之间的关系即可求解．【解答】解：A．内错角不一定相等，故是假命题，符合题意；B．对顶角相等，故是真命题，不符合题意；C．互余的两个角不一定相等，故是真命题，不符合题意；D..两点之间，线段最短，故是真命题，不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知内错角、对顶角、余角及线段之间的关系．8．（2分）（2024秋•伊川县期末）如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互补且相等【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】分两种情况画图分析，然后利用平行线的性质，即可解答．【解答】解：分两种情况：如图：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2；如图：∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；综上所述：如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是相等或互补，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．9．（2分）直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边，我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D处，则点C的对应点C的坐标为（）A．（3，1） B．（2，1） C．（1，3） D．（2，3）【考点】坐标与图形性质．【专题】平面直角坐标系；矩形菱形正方形；几何直观．【答案】D【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO=12AB＝1，根据勾股定理得到OD′【解答】解：∵AD′＝AD＝2，AO=12∴OD′=AD∵C′D′＝CD＝AB＝4，C′D′∥AB，∴C′（2，3），故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．10．（2分）（2024春•荆州月考）在平面直角坐标系中，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B（﹣1，4）重合，则点A的坐标是（）A．（2，2） B．（﹣4，6） C．（﹣4，2） D．（2，6）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】A【分析】根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可．【解答】解：将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B（﹣1，4）重合，∴点A的坐标为：（﹣1+3，4﹣2），即：（2，2）；故选：A．【点评】本题考查点的平移，正确记忆平移到额性质是解题关键．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•临川区校级月考）由2x﹣y﹣5＝0，用x的式子表示y可以得y＝2x﹣5．【考点】解二元一次方程；等式的性质．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】2x﹣5．【分析】根据等式的性质解答即可．【解答】解：2x﹣y﹣5＝0，方程两边同时加y，得2x﹣5＝y，即y＝2x﹣5．故答案为：2x﹣5．【点评】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．12．（2分）（2024春•市中区校级月考）已知x=2y=−1是二元一次方程ax+by＝2的解，则6a﹣3b+2018的值为2024【考点】二元一次方程的解．【专题】方程与不等式；运算能力．【答案】2024．【分析】把x、y代入二元一次方程求出a、b的关系，再整体代入代数式即可求解．【解答】解：∵x=2y=−1是二元一次方程ax+by∴将x=2y=−1代入ax+by＝2得：2a﹣b∴6a﹣3b+2028＝3（2a﹣b）+2018＝3×2+2018＝2024．故答案为：2024．【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握解元一次方程的步骤是关键．13．（2分）（2023春•邕宁区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=x−y(当x≥y时)y−x(当x＜y时)，那么称点Q为点P的“关联点”．例如点（3，5）的“关联点”的坐标为（3，2）；如果点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣3，4），则点P的坐标为【考点】点的坐标．【专题】新定义；平面直角坐标系；运算能力；推理能力．【答案】（﹣3，1）或（﹣3，﹣7）．【分析】根据关联点的定义，可得答案．【解答】解：∵点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣3，4），∴y′＝y﹣x＝4或x﹣y＝4，即y﹣（﹣3）＝4或（﹣3）﹣y＝4，解得y＝1或y＝﹣7，∴点P的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣7）．故答案为：（﹣3，1）或（﹣3，﹣7）．【点评】本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．14．（2分）（2025秋•无锡期中）若a，b满足a+2+|b−1|=0，则a+b＝﹣1【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【专题】计算题；实数；运算能力．【答案】﹣1．【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵a+2+|b−1|=0∴a+2＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．15．（2分）（2025秋•林芝市期末）将一副三角板如图放置，若∠AOD＝17°，则∠BOC的大小为163°．【考点】余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】163°．【分析】根据角的和差关系求解即可．【解答】解：∵一副三角板，∴∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∵∠AOD＝17°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝73°，∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝163°，故答案为：163°．【点评】本题主要考查三角板的角度计算，熟练掌握角的和差关系是解此类题的关键．16．（2分）（2025春•牡丹区期末）如图，直线a、c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝70°时，有a∥b．【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】70．【分析】由平行线的判定得出当∠1＝∠2＝70°，a∥b．【解答】解：当a∥b，∴∠2＝∠1＝70°，∴∠2＝70°时，∠2＝∠1，∴a∥c，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，则两直线平行是解题的关键．17．（2分）（2024春•大连月考）如图，∠1＝125°，AO⊥OB于点O，点C、O、D在一条直线上，则∠2＝35°．【考点】垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】35°．【分析】先利用平角定义可得∠AOD＝55°，再根据垂直定义可得∠AOB＝90°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵∠1＝125°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝55°，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠2＝∠AOB﹣∠AOD＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．18．（2分）（2025秋•揭阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，1）在第一三象限角平分线上，过点A1作y轴的平行线，交第二四象限角平分线于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交第一、三象限角平分线于点A2，交第二、四象限角平分线于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯规律，则第2025个正方形的边长为2×32024．【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型；推理能力．【答案】2×32024．【分析】根据题意得到A1、B1的坐标，从而得到第一个正方形的边长，即可推出A2、B2的坐标，同理得到正方形的边长，依次为2，6，18，…，得到规律为2×3n﹣1，即可得到答案．【解答】解：∵点A1（1，1）在第一三象限角平分线上，过点A1作y轴的平行线，交第二、四象限角平分线于点B1，∴A1B1＝2，∴第一个正方形的边长为2，∴A1D1＝2，∴A2（3，3），B2（3，﹣3），∴A2B2＝6，∴第二个正方形的边长为6，∴A2D2＝6，∴A3（9，9），B3（9，﹣9），∴A3B3＝18，∴第三个正方形的边长为18，∴A4（27，27），B4（27，﹣27），…可得：An（3n﹣1，3n﹣1），Bn（3n﹣1，﹣3n﹣1），∴第2025个正方形的边长为2×32024．故答案为：2×32024．【点评】本题考查了一次函数图象上的点的特征，规律型问题，学会探究规律的方法是解题的关键．三．解答题（共10小题，满分64分）19．（8分）（2024秋•南宁校级期中）计算：−3【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数；运算能力．【答案】﹣8．【分析】先算乘方，再化简绝对值计算括号里面的，最后加减．【解答】解：原式＝﹣9+5﹣2×2＝﹣9+5﹣4＝﹣8．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．20．（12分）（2025春•湟中区校级期中）计算：（1）25+（2）−1（3）（x+1）2﹣25＝0；（4）2（x+1）3+16＝0；（5）3x+2y=14x=y+3（6）2x−y=4x+3y=−5【考点】解二元一次方程组；平方根；立方根；实数的运算．【专题】方程与不等式；运算能力．【答案】（1）﹣1；（2）0；（3）x＝4或x＝﹣6；（4）x＝﹣3；（5）x=4y=1；（6）x=1【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可；（2）先计算有理数的乘方，立方根，再进行加减运算即可；（3）利用平方根解方程即可；（4）利用立方根解方程即可；（5）代入消元法解方程组即可；（6）加减消元法解方程组即可．【解答】解：（1）原式＝5+（﹣3）﹣3＝﹣1；（2）原式=−1+(−8)×＝﹣1+（﹣1）+2＝0；（3）（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝25，x+1＝±5，x＝4或x＝﹣6；（4）2（x+1）3+16＝0，2（x+1）3＝﹣16，（x+1）3＝﹣8，x+1＝﹣2，x＝﹣3；（5）3x+2y=14①x=y+3②把②代入①得3（y+3）+2y＝14，解得：y＝1，把y＝1代入②得x＝4，所以方程组的解是x=4y=1（6）2x−y=4①x+3y=−5②①×3得6x﹣3y＝12③，②+③得7x＝7，解得：x＝1，把x＝1代入①得y＝﹣2，所以方程组的解是x=1y=−2【点评】本题考查了平方根，立方根，实数的运算，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．21．（4分）（2025春•海淀区校级期中）已知：∠AOB及∠AOB内部一点P．（1）①过点P作直线PD⊥OB于点D；②过点P作直线PC∥OA交OB于点C；（2）比较线段PC与线段PD的大小：PC＞PD，理由是垂线段最短．【考点】作图—复杂作图；垂线；垂线段最短．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）①如图，直线PD即为所求；②如图，直线PC即为所求；（2）＞；垂线段最短．【分析】（1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可；（2）利用垂线段最短即可解答．【解答】解：（1）①过点P作直线PD⊥OB于点D，如图，直线PD即为所求；②如图，直线PC即为所求；（2）根据垂线段最短可知，PC＞PD，故答案为：＞；垂线段最短．【点评】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题的关键．22．（6分）如图所示，已知BD⊥AF，CE⊥AF，∠C＝∠D．试说明：∠A＝∠F．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见解答过程．【分析】根据平行线的判定与性质进行解答，即可得出答案．【解答】解：∵BD⊥AF，CE⊥AF（已知），∴∠AGB＝∠AHC＝90°（垂直定义）．∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠C＝∠D（已知），∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换）．∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行解答是解决本题的关键．23．（6分）（2025秋•濉溪县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，其中点A（﹣1，1）．（1）将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′．请画出三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′的三个顶点的坐标．（2）若P（x，y）是三角形ABC中的任意一点，请写出经过（1）平移后，得到的对应点P′的坐标．【考点】作图﹣平移变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（3，4），B′（0，1），C′（2，0）；（2）点P′的坐标（x+4，y+3）．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）利用平移变换的性质判断即可．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（3，4），B′（0，1），C′（2，0）；（2）点P′的坐标为（x+4，y+3）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．24．（4分）（2024秋•长春校级期末）已知a﹣1的立方根是2，2b+1的平方根是±3，c是13的整数部分．（1）求a、b、c的值．（2）求a+b+c的平方根．【考点】估算无理数的大小；平方根．【专题】实数；数感．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得a，b，c的值；（2）由（1）可知a＝9，b＝4，c＝3，根据平方根的定义，即可求解．【解答】解：（1）由条件可知a﹣1＝8，2b+1＝9，∴a＝9，b＝4，∵c是13的整数部分，∴c＝3；（2）由（1）可知a＝9，b＝4，c＝3，∴a+b+c＝16，∴a+b+c的平方根是±4．【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．熟练掌握以上知识点是关键．25．（6分）小明画了一个图（如图），你能分别根据下面的基本事实或定理，说明他画的图是错误的吗？（1）平行线的有关基本事实和定理；（2）三角形内角和定理．【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；推理能力．【答案】（1）答案见解答过程；（2）答案见解答过程．【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得出PA∥PB，这与PA，PB交于点P相矛盾，故此可得出结论；（2）根据垂直的定义得∠APB+∠PBA＝180°，这与三角形的内角和定理∠APB+∠PBA+∠P＝180°相矛盾，据此可得出结论．【解答】解：（1）∵PA⊥直线l，PB⊥直线l，∴PA∥PB，这与PA，PB交于点P相矛盾，∴小明的画图是错误的；（1）∵PA⊥直线l，PB⊥直线l，∴∠PAB＝∠PBA＝90°，∴∠PAB+∠PBA＝180°，这与三角形的内角和定理∠PAB+∠PBA+∠P＝180°相矛盾，∴小明的画图是错误的．【点评】此题主要考查了平行线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和三角形的内角和定理是解决问题的关键．26．（6分）（2025秋•长沙期中）当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某制造厂采用了A，B两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂．（1）求每台A，B型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂．（2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）每台A型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，每台B型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂；（2）该工厂同一时间内至少需要部署18台A型机器人．【分析】（1）设每台A型机器人每小时完成x个电子设备的表面喷涂，每台B型机器人每小时完成y个电子设备的表面喷涂，根据“1台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该工厂同一时间内需要部署m台A型机器人，则部署（30﹣m）台B型机器人，根据要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每台A型机器人每小时完成x个电子设备的表面喷涂，每台B型机器人每小时完成y个电子设备的表面喷涂，根据题意得：x+2y=522x+3y=88解得：x=20y=16答：每台A型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，每台B型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂；（2）设该工厂同一时间内需要部署m台A型机器人，则部署（30﹣m）台B型机器人，根据题意得：20m+16（30﹣m）≥550，解得：m≥35又∵m为正整数，∴m的最小值为18．答：该工厂同一时间内至少需要部署18台A型机器人．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．27．（6分）（2024秋•大同期末）（1）计算：(−1)（2）阅读下列解题过程，完成相应任务．解方程组：2x−y=4①8x−3y=20②解：由①，得y＝2x﹣4，③…第一步把③代入②，得8x﹣3（2x﹣4）＝20，去括号，得8x﹣6x﹣12＝20，…第二步解得x＝16．…第三步将x＝16代入③，得y＝28．…第四步所以原方程组的解为x=16y=28任务一：这种求解二元一次方程组的方法叫做A；A．代入消元法B．加减消元法任务二：第二步开始出现错误，错误的原因是括号前面是负号，去括号时没有变号；任务三：直接写出该方程组的正确解：x=4y=4【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；绝对值；有理数的加减混合运算；有理数的除法；整式的加减；零指数幂．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）﹣1（2）任务一：A；任务二：二；括号前面是负号，去括号时没有变号；任务三：x=4y=4【分析】（1）根据整数指数幂的计算方法计算即可；（2）根据解二元一次方程组的方法解答即可．【解答】解：（1）(−1＝﹣1×9+8÷1＝﹣9+8＝﹣1；（2）任务一：根据可得是代入消元法，故选：A；任务二：根据过程发现第二步出现错误，去括号时没有变号，故答案为：二；括号前面是负号，去括号时没有变号；任务三：由①，得y＝2x﹣4，③把③代入②去括号得8x﹣6x+12＝20，解得x＝4．将x＝4代入③解得y＝4．所以x=4y=4故答案为：x=4y=4【点评】本题考查了整数指数幂及解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握计算方法．28．（6分）（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠A+∠1＝180°．（1）求证：AE∥BD；（2）若∠E＝80°，∠ABD的角平分线BF与∠CDE的角平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，∠1＝116°，求∠F的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）见详解；（2）40°．【分析】（1）先由平行线的性质，得出∠A+∠2＝180°，再进行角的等量代换，得∠2＝∠1，即可作答；（2）过点F作直线l∥CD，得∠1＝∠ABD＝116°，结合角平分线的定义，得∠6＝58°，∠4＝18°，再通过角的差运算，即可作答．【解答】（1）解：如图：∵AB∥CD，∴∠A+∠2＝180°，∵∠A+∠1＝180°，∴∠2＝∠1，∴AE∥BD；（2）解：如图：过点F作直线l∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥l，∴∠1＝∠ABD＝116°，∵BF平分∠ABD，∴∠6=∠ABF=1∵AE∥BD，∴∠EDB＝180°﹣∠E＝100°，∵∠CDB＝180°﹣116°