贵州省部分高中学校联考2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

高一数学素养训练一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.AB+CD-AD=A.BC B.BD C.CB D.DB2.已知复数z=5-i1+i(i为虚数单位),则zA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°,C=75°,b=23,则a=A.43 B.33 C.32 D.224.如图1,这是水平放置的△ABC的直观图,其中A'O'=B'O'=C'O'=1,则在△ABC中,下列结论正确的是图1A.BC=4B.AB>BCC.AB⊥ACD.△ABC的面积为45.已知向量a=(1,2),b=(-1,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),则λ=A.2 B.1 C. D.6.如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中,A,B1,C,D1四个顶点恰好是正三棱锥A-B1CD1的顶点,则正三棱锥A-B1CD1的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为图2A.1∶2 B.1∶3C.1∶2 D.1∶37.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若向量m=(c-acosB,cosA),n=(1,b-2a),且m⊥n,则△ABC的形状一定是A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形8.在△ABC中,CA=a,CB=b,BD=12(BA+BC),CB=2BE,若AB·DE=0,则∠ACBA.(0,π6] B.(0,π3] C.(π6,π3] D.(二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列说法不正确的是A.共线向量一定是在同一条直线上的向量B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.若a·b<0,则a与b的夹角为钝角D.若|a|=|b|,则“a=b”是“<a,b>=0”的充要条件10.下列命题正确的是A.正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形B.经过圆台侧面一点,有无数条母线C.侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=4,A=π6,A.若b=6,则△ABC有两解B.△ABC的面积有最大值8+43C.△ABC的周长有最大值12D.若△ABC是钝角三角形,则BC边上的高AD的取值范围为(0,43)三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知复数z=1-3i,则|z|=▲.

13.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠BAC=90°,AB=1,AC=2,AP=3,若A,B,C,P都在球O的球面上,则球O的表面积为▲.

14.在△ABC中,D在边AB上,CD平分∠ACB,若AC=3,BC=2,CD=625,则AB=▲四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)如图3,在平行四边形ABCD中,DE=3EC.设AB=a,AD=b.(1)用a,b表示BD,AE;(2)若AF=3a+4b,证明:A,E,F三点共线.图316.(本小题满分15分)如图4,一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体,下面部分是一个正四棱锥,该几何体所有棱长均为2米.(1)求该漏斗的表面积和体积;(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A'爬到点P,求它爬过的最短路径的长.图417.(本小题满分15分)如图5,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅锤平面内,在点A测得∠MAB=60°,∠NAB=30°,在点B测得∠ABM=75°,∠MBN=45°,AB=12km.图5(1)求BM的长;(2)求MN2的值.18.(本小题满分17分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+c)(sinC-sinA)=b(sinC-sinB).(1)求角A;(2)若BM=3MC,b=3,c=2,求AM的长;(3)若△ABC为锐角三角形,且a=2,求b2+319.(本小题满分17分)如图6,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量OP在坐标系中的坐标.已知点A(2,0),B(0,2),P(1,2),E为线段BP的中点,F是直线OP与直线AE的交点.(1)求cos<OE,OP>的值.(2)求向量OF的坐标.(3)设OM=xe1+ye2,点M在线段AE上,是否存在实数λ,使得不等式x2+y2-λ(x+y)≤4恒成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.图6

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CACBADDA【解析】1.AB+CD-AD=(AB-AD)+CD=DB+CD=CB.故选C.2.z=5-i1+i=(5-i)(1-i)(1+i)(3.因为A=60°,C=75°,所以B=180°-60°-75°=45°.由正弦定理asinA=bsinB,得a=bsinAsinB=4.将水平放置的△ABC的直观图还原,可知AO=2A'O'=2,OB=OC=B'O'=C'O'=1,AO⊥BC,BC=2,故A错误;由勾股定理得AB=AC=12+22=5,则AB>BC,故B正确;因为AB2+AC2≠BC2,所以C错误;△ABC的面积为12BC·AO=2,故D5.2a+b=(2,4)+(-1,-2)=(1,2),因为c∥(2a+b),所以λ=2.故选A.6.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则该正方体的体积是a3,正三棱锥A-B1CD1的体积为a3-4×13×12a3=13a3,因此正三棱锥A-B1CD1的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为1∶3.7.因为m⊥n,所以c-acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入上式,化简得sinBcosA=sinAcosA,即(sinB-sinA)cosA=0,故cosA=0或sinB-sinA=0.当cosA=0时,0<A<π,所以A=π2,此时△ABC是直角三角形;当sinB-sinA=0时,sinB=sinA,又0<A<π,0<B<π,所以A=B或B=π-A(舍去),此时△ABC为等腰三角形.综上,△ABC的形状一定是等腰或直角三角形.故选D8.因为BD=12(BA+BC),所以D是AC的中点.又CB=2BE,所以B是CE上靠近E的三等分点,所以DE=DC+CE=-12a+32b.又AB=CB-CA=b-a,AB·所以(-12a+32b)·(b-a)=0,化简得3b2+a2=4a·又cos∠ACB=a·b|a||b|=3b2+a24所以∠ACB∈(0,π6].故选A二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ABCACABD【解析】9.对于A,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故A错误;对于B,向量不能比较大小,故B错误;对于C,当a·b<0时,a与b的夹角为π或钝角,故C错误;对于D,因为|a|=|b|,所以a,b是相等向量能推出a,b的方向相同,且a,b的方向相同能推出a,b是相等向量,故D正确.故选ABC.10.对于A,由正三棱锥的定义与性质知,正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形,故A正确;对于B,经过圆台侧面一点,有且仅有一条母线,故B错误;对于C,三棱柱的侧面是矩形,说明它是直棱柱,这些矩形又全等,底面就是正三角形,所以此三棱柱为正三棱柱,故C正确;对于D,如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体,故D错误.故选AC.11.对于A,由正弦定理得bsinA=6sinπ6=3,所以bsinA<a<b,则△ABC有两解,故A正确对于B,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b=8sin所以bc=64sinBsinC=64sinBsin(5π6-B)=32sinBcosB+323sin=16sin2B-163cos2B+163=32sin(2B-π3)+163又B∈(0,5π6),所以2B-π3∈(-π3,4π3),所以sin(2B-π3)所以bc=32sin(2B-π3)+163∈(0,32+163],所以S△ABC=12bcsinA=14bc∈(0,8+43],所以△ABC的面积有最大值8+43,故对于C,由选项B得△ABC的周长为a+b+c=4+8sinB+8sinC=4+4(6+2)sin(B+π12),又B∈(0,5π6),所以B+π12∈(π12,11π12),所以sin(B+π故△ABC的周长有最大值4+4(6+2).故C错误.对于D,因为a=4,A=π6,所以对于BC边上的高AD,角B或角C为钝角的情况是等价的,不妨令角C为钝角因为S△ABC=12a·AD=12bcsinA,所以由选项B有AD=14bcsinA=18bc=4sin(2B-π3)+23,由△ABC为钝角三角形,C=5π6-B>π2,得0<B<π3,所以2B-π3∈(-π3,π3),sin(2B-π3)∈(-32,32),所以AD∈(0,43),所以若△ABC是钝角三角形,三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)题号121314答案108π13【解析】12.|z|=12+(-13.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠BAC=90°,则AB,AC,AP两两垂直,三棱锥P-ABC与以AB,AC,AP为棱的长方体有相同的外接球,因此球O的半径R=12AB2+AC2+PA214.因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD.令∠ACD=∠BCD=α,则∠BCA=2α,12AC·CD·sinα+12CB·CD·sinα=12CA·CB·sin2α,则cosα=22,α=π4,即∠ACB=90°,故四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.解:(1)由平行四边形ABCD,得BD=AD-AB=-a+b.2分又DE=3EC,所以DE=34AB,4所以AE=AD+DE=AD+34AB=34a+b.(2)由(1)得AE=34a+b.又AF=3a+4b=4(34a+b),10所以AE=4AF.12分又AE,AF有公共点A,所以A,E,F三点共线.13分16.解:(1)由题意,该漏斗的表面积S=5×22+4×34×22=20+43(平方米).3分易知漏斗锥体部分的高h=2米,5分所以该漏斗的体积V=2×2×2+13×2×2×2=8+423(立方米).(2)将漏斗表面展开,如图所示,由两点间距离最短可得线段A'P为蚂蚁爬行最短路径.9分过点P作PQ⊥A'A,交A'A的延长线于点Q,连接A'P,则AQ=AP·cos30°=3米,PQ=AP·sin30°=1米.12分在Rt△A'PQ中,A'P=A'Q2+PQ2=(2+3)2所以蚂蚁爬过的最短路径的长为6+2(米).15分17.解:(1)由题意,在△ABM中,AB=12km,∠MAB=60°,∠ABM=75°,则∠AMB=180°-∠MAB-∠ABM=180°-60°-75°=45°.2分在△ABM中,由正弦定理得ABsin∠AMB=BMsin所以12sin45°=BMsin60°,则BM=66km(2)在△ABN中,∠BNA=180°-∠NAB-∠ABN=180°-30°-(75°+45°)=30°,8分所以△ABN为等腰三角形,所以BN=AB=12km.在△MBN中,由余弦定理得MN2=BM2+BN2-2BM·BN·cos∠MBN,13分即MN2=(66)2+122-2×66×12×cos45°=360-1443,所以MN2=360-1443.15分18.解:(1)由已知及正弦定理得(a+c)(c-a)=b(c-b),整理得b2+c2-a2=bc.2分由余弦定理得cosA=b2+c2-a22因为0<A<π,所以A=π3.5分(2)由BM=3MC,得AM-AB=3(AC-AM),即AM=14AB+34AC则AM2=(14AB+34AC)2=116AB2+=116c2+616bccosπ3+916b2=416+1816+81故|AM|=1034,即AM的长为1034.10(3)由△ABC为锐角三角形,得0<C<π2,且0<2π3解得π6<C<π2.11因为b2+3c2bc=bc+3cb,设由正弦定理知,t=bc=sinBsinC=sin(2π3-C)由π6<C<π2,得tanC>33,故t∈(1设f(t)=t+3t,t∈(12,2),15易知函数f(t)在(12,3]上单调递减,在(3,2)上单调递增,f(t)min=f(3)=23,f(t)max=max{f(12),f(2)}=m