2021年广东省深圳市高考一模数学试卷

2021年广东省深圳市高考一模数学试卷（2021·广东深圳市·模拟）已知集合A=xx>2，B=0,1,2,3,4，则 A．3,4 B．2,3,4 C．0,1 D．0,1,2（2021·广东深圳市·模拟）已知复数z=i1+i，则∣z∣= A．22 B．2 C．12 D．（2021·广东深圳市·模拟）小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为   A．6 B．12 C．24 D．48（2021·广东深圳市·模拟）设α,β,γ为三个不同的平面，若α⊥β，则“γ∥β”是“α⊥γ”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件（2021·广东深圳市·模拟）已知随机变量ξ∼Nμ,甲：Pξ<a−1乙：Pξ>a丙：Pξ≤a丁：Pa<ξ<a+1如果只有一个假命题，则该命题为   A．甲 B．乙 C．丙 D．丁（2021·广东深圳市·模拟）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如下图）估计该地接种年龄的中位数为   A．40 B．39 C．38 D．37（2021·广东深圳市·模拟）在数列an中，a1=3，am+n=am A．10 B．9 C．8 D．7（2021·广东深圳市·模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⋅BP的最大值为 A．18 B．24 C．36 D．48（2021·广东深圳市·模拟）设F1，F2分别是双曲线C：x2m+n− A．m=2 B．当n=0时，C的离心率是2 C．F1到渐近线的距离随着n D．当n=1时，C的实轴长是虚轴长的两倍（2021·广东深圳市·模拟）已知函数fx=cos A．fx的最大值为3 B．fx的最小正周期为π C．fx的图象关于直线x= D．fx在区间−（2021·广东深圳市·模拟）已知函数fx=3x+ A．f1−m<fn−1 C．flogmn<flog（2021·广东深圳市·模拟）在空间直角坐标系O−xyz中，棱长为1的正四面体ABCD的顶点A，B分别为y轴和z轴上的动点（可与坐标原点O重合），记正四面体ABCD在平面xOy上的正投影图形为S，则下列说法正确的有   A．若CD∥平面xOy B．若点A与坐标原点O重合，则S的面积为24 C．若OA=OB=OC，则S的面积不可能为12 D．点D到坐标原点O的距离不可能为32（2021·广东深圳市·模拟）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线y=x相切，则满足上述条件的二次函数可以为fx=（2021·广东深圳市·模拟）设F为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，过F作倾斜角为60∘的直线交C于A，B两点，若AF−（2021·广东深圳市·模拟）冈珀茨模型（y=k⋅abt）是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k0⋅e1.4e−0.125t（当t=0时，表示2020年初的种群数量），若（2021·广东深圳市·模拟）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知△ABC内接于单位圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为Aʹ，Bʹ，Cʹ．若∠ACB=30∘，则△AʹBʹCʹ的面积最大值为（2021·广东深圳市·模拟）设数列an的前n项和Sn，满足Sn+1(1)证明：数列1S(2)求an（2021·广东深圳市·模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB−(1)求A．(2)若b=34c，且BC边上的高为2（2021·广东深圳市·模拟）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．(1)求甲同学通过测试的概率．(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．（2021·广东深圳市·模拟）如图，在四棱锥S−ABCD中，SA=SB=SC=SD=13，AC⊥CD，AB=6，BD=8．(1)求证：平面SAD⊥(2)求二面角A−SB−D的余弦值．（2021·广东深圳市·模拟）设O是坐标原点，以F1，F2为焦点的椭圆C：x2a2+y(1)求C的方程．(2)P是C外的一点，过P的直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率之积为m−1≤m≤−12（2021·广东深圳市·模拟）已知函数fx=aln(1)讨论函数fx(2)若函数gx=e2fx−2

答案1.【答案】D【解析】因为A=x所以∁R因此∁R【知识点】交、并、补集运算2.【答案】A【解析】复数z=i所以复数∣z∣=1故选A．【知识点】复数的乘除运算3.【答案】B【解析】因为小明的父母都与他相邻，所以将小明和父母看作一个人，则3个人全排列有A3小明父母都与他相邻，则小明在3个人中间，所以父母2人全排列有A2所以共有6×2=12种，B正确．【知识点】条件排列模型4.【答案】A【解析】当α⊥β时，若γ∥β，则反之当α⊥γ时，γ∥即“γ∥β”是“故选：A．【知识点】空间的垂直关系、空间的平行关系、充分条件与必要条件5.【答案】D【解析】注意观察乙：Pξ>a=0.5与丙：是相同的命题，即乙和丙同真或同假，又因为只有一个假命题，所以乙和丙均为真命题，即Pξ>a=0.5和所以a=μ，正态分布性质，Px>μ所以命题甲：Pξ<μ−1命题丁：Pμ<ξ<μ+1作出正态分布大致图：由图易得：Pξ<μ−1Pμ<ξ<μ+1故甲为真，丁为假．【知识点】正态分布6.【答案】C【解析】由频率分布直主图可知，组距为6，则区间18,24频率为0.078，区间24,30频率为0.138，区间30,36频率为0.204，区间36,42频率为0.24，因为0.078+0.138+0.204+0.24=0.66>0.5，0.078+0.138+0.204=0.42<0.5，所以中位数估计值在区间36,42上，为：36+6×0.5−0.42【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征7.【答案】B【解析】因为am+n所以令m=1，得an+1所以an+1−a所以an+1−an=3，即数列an是以又因为a1Sn3k+3kk−12=135，k=−10或所以k=9．【知识点】等差数列的前n项和8.【答案】C【解析】建立坐标系，以A为原点，AD为x轴，因为△ABE，△BEC，△ECD都是等边三角形，所以A0,0，B2,23，C设DP与x轴正方向的夹角为θ，则P8+3cosθ,3故AC⋅当π3即θ=π6时，AC⋅【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、平面向量数量积的坐标运算9.【答案】A；C【知识点】双曲线的简单几何性质10.【答案】B；C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质11.【答案】B；D【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质12.【答案】A；B；D【解析】（1）考查选项A：若CD∥①当点B与坐标原点O重合时，S为正方形；②当点A与坐标原点O重合时，S为三角形，故选项A正确；（2）考查选项B：若点A与坐标原点O重合，即AB在z轴上，易知CD∥平面xOy不难知道其面积为12（3）考查选项C：当OA=OB=OC，且点O在正四面体ABCD外部时，则点D恰好为以OA，OB，OC为棱的正方体的一个顶点，因为AB=1，所以OA=2所以S是边长为22的正方形，其面积为1（不难知道当OA=OB=OC，且点O在正四面体ABCD内部时，S为三角形，且其面积为512（4）考查选项D：设AB的中点为M，则OM=12，且易知OD≤OM+MD=1+32所以点D到坐标原点O的距离小于32综上所述，应选A，B，D．【知识点】三视图13.【答案】x2【解析】设二次函数为y=ax函数的图象关于y轴对称，则其对称轴为x=0，即−b2a=0故二次函数：y=ax因为二次函数图象与y=x相切，联立二者有y=ax2+c,相切只有一个交点，即∗只有一个零点，故Δ=−12−4ac=1−4ac=0⇒ac=故二次函数y=axfx当a=1时，fx【知识点】二次函数的性质与图像14.【答案】8【解析】因为F为抛物线C：y2=2px焦点，则因为直线倾斜角为60∘则tan60∘=设直线方程为y=3联立y=3x−p12x2−20px+3所以x1=3将x1，x2分别代入y=3x−p所以A32p,因为AF−所以p=3，所以A92,3所以AB=【知识点】抛物线中的弦长与面积15.【答案】6【解析】t=0时，y=kt=m时，y=ke1.4e−0.125m−0.125m<−0.7，m>700又因为m∈N所以m取6．【知识点】函数模型的综合应用16.【答案】12【解析】不妨设BC=a，AC=b，若∠ACB=30∘，则由正弦定理可得ABsin所以由余弦定理得1=a所以a2+b2≤4+23，显然易知∠AʹCBʹ=90∘，且AʹC=3所以x2所以△AʹBʹCʹ的面积S=3显然可取等号，即△ABC的面积最大值为12故应填12【知识点】余弦定理、正弦定理17.【答案】(1)由Sn+1=S1Sn+1−故数列1Sn是首项为1，公差为(2)由（1）知1S则Sn当n=1时，a1当n>1且n∈N∗时，故an的通项公式为a【知识点】根据n项和式和n项积式求通项、辅助数列法18.【答案】(1)因为sinB−所以2absin由余弦定理，得c2所以2absin所以2asin由正弦定理，得asin所以2sin又因为B∈0,π，即所以sinA=因为角A为锐角，所以A=π(2)因为BC边上的高为23所以△ABC的面积S=1又△ABC的面积S=1所以bc4=3又因为b=3所以c2=16a，且在△ABC中，由余弦定理，得cosA=解得：a=7，所以S=3a=73，即△ABC【知识点】余弦定理、正弦定理19.【答案】(1)甲同学两分球投篮命中的概率为510甲同学三分球投篮命中的概率为110设甲同学累计得分为X，则PX≥4所以甲同学通过测试的概率为0.3．(2)同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，则PY=4PY=5设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则PABPB由条件概率公式可得，PA∣B【知识点】事件的关系与运算20.【答案】(1)如图所示，取AD的中点M，连接SM，MC．因为SA=SD，所以SM⊥AD．因为AC⊥CD，所以△ACD是直角三角形，所以CM=1所以AM=CM=DM．因为SA=SC，所以Rt△SAM≌所以∠CMS=∠AMS=π因为AM∩CM=M，所以SM⊥平面又因为SM⊂平面所以平面SAD⊥(2)方法一：由（1）可知，SM⊥平面所以∠BMS=∠AMS=π又因为SA=SB，所以Rt△SAM≌所以BM=AM，所以A，B，C，D四点共圆，所以AB⊥BD．因为AB=6，BD=8，所以AD=10，所以AM=5，又因为SA=13，所以SM=12．以B为坐标原点，BD为x轴，BA为y轴，过点B平行于SM的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B0,0,0，D8,0,0，A0,6,0则有BS=4,3,12，BA=分别设平面ABS和平面DBS的法向量为m=x1则BA⋅m=0,则平面ABS的一个法向量为m=同理，平面DBS的一个法向量为n=cosm设二面角A−SB−D的平面角为θ，则cosθ=−方法二：以M为坐标原点，过点M平行于DB的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，MS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B4,3,0，D−4,3,0，A4,−3,0则有BS=−4,−3,12，BA=分别设平面ABS和平面DBS的法向量为m=x1则BA⋅即−6y则平面ABS的一个法向量为m=同理，平面DBS的一个法向量为n=cosm设二面角A−SB−D的平面角为θ，cosθ=−方法三：如图所示，过点A，D分别作SB的垂线，并交SB于点E，F．在等腰△SAB中，由AB得62−BE在Rt△EAB中，由AE同理，BF=3213，则EF=BF−BE=14由AD=−可得AD2则102解得cosEA易知二面角A−SB−D的平面角就是EA与FD的夹角，设二面角A−SB−D的平面角为θ，则cosθ=−【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题21.【答案】(1)由题意，2a=22所以a=2又因为以∣F1F即b=c，又因为b2所以b=c=1，所以C的方程为x2(2)方法一：由题意，l1，l2的斜率存在且不为零，设过点Px0,联立y−y消去y，并整理得1+2k因为l与C相切，所以Δ=16k化简并整理，得y0整理成关于k的一元二次方程得x02−2设l1，l2的斜率分别为k1易知k1，k2为方程所以k1所以y0所以x0所以∣PO∣=x易知当x0=0时，有又因为−1≤m≤−1所以2≤u≤即u的取值范围为2,方法二：由题意，l1，l2的斜率存在且不为零，设点l1：y=kx+b，l2：显然k≠mk，即联立y=kx+b,x消去y，并整理得1+2k因为l1与C所以Δ=4kb即b2同理由l2与C相切可得，n联立y=kx+b,y=mk所以x0所以y0又因为b2=2k所以y0所以y0所以x0所以∣PO∣=x易知当x0=0时，有又因为−1≤m≤−1所以2≤u≤即u的取值范围为2,【知识点】椭圆中的动态参数问题22.【答案】(1)易知fx的定义域为0,+∞且fʹx=2①若a≤0，当x∈0,1时，fʹ当x∈1,+∞时，fʹ所以fx在0,1在1,+∞上单调递减；②若0<a<1，易知当x∈0,a时，fʹ当x∈a,1时，fʹ当x∈1,+∞时，fʹ所以fx在0,a和1,+∞在a,1上单调递增；③若a=1，则fʹx所以fx在0,+∞④若a>1，易知当x∈0,1时，fʹ当x∈1,a时，fʹ当x∈a,+∞时，fʹ所以fx在0,1和a,+∞在1,a上单调递增．综上所述，当a≤0时，fx在0,1在1,+∞上单调递减；当0<a<1