黑龙江省哈尔滨市第三中学2026年高三学年第四次模拟考试数学+答案

高三数学第1页，共8页哈三中2026年高三学年第四次模拟考试注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题,共58分）一、选择题（共58分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）002000202.已知复数z=cosisin，则z2的虚部为A.B._C.D.高三数学第2页，共8页3.在的展开式中，常数项为A.40B._40C.4D._44.若随机变量X~B(9,p)，已知E(X)=3，则D(2X)为A.lB.2C.4D.85.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为,则该正四棱台的体积为%,某市污水处理厂6.为实现国家“十四五%,某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量Y(mg/L)与时间t(h)的关系为Y=Y0e__kt，其中Y0为初始污染物数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的40则可得到前4小时共能过滤掉污染物的7.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=2a3，则为224A._B.C._D.ΔABC面积的最大值为3A.3B.C.D.32高三数学第3页，共8页(二)多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知正实数x,y满足：x+2y=1，下列说法正确的是10．已知函数f(x)=x3-3x2+ax-a+1，a∈R，下列说法正确的是A.f(x)至少有一个零点，至多有三个零点B.存在实数a使得f(x)有且只有一个极值点D.若f(x)有三个零点x1,x2,x3，则f(x)在三个零点处切线斜率的倒数和为011．已知双曲线x2-y2=1与直线l:y=kx+m(k≠±1)有唯一公共点P，下列说法正确的是A．若P(2,1)，则直线l的方程为xB．若PF1C．直线l必经过ΔPF1F2的内心D．过点P且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0)、B(0,y)两点，则点Q(x,y)的轨迹方程为x2-y2=4(y≠0)第Ⅱ卷（非选择题,共92分）二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有种.高三数学第4页，共8页的前n项和为Sn，已知Sn数，若对任意的*,λe2n_1≥(anan+1+n)2恒成立，则实数λ的取值范围是三、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知函数f(x)=cos4x+23sinxcosx_sin4x.(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程；(2)若函数g(x)=f(x)+m的最大值为1，求使g(x)>0成立的x的取值范围.高三数学第5页，共8页如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD是矩形，PD丄平面ABCD，点M是棱PD上的动点，点N是棱AB中点，CD=2，(1)求证：MN丄AC；(2)若PB//平面MAC，求直线MN与平面MBC所成角的正弦值.已知函数f(x)=sinx.(1)设F，讨论函数F(x)在(0,π)上的单调性；(2)判断函数G=2f,x在上的零点个数.高三数学第6页，共8页1817分）2=4上有一个动点M(x,m)，射线OM交圆x2+y2=1于点N(n,y)，设点P(x,y)，其轨迹为曲线E.(1)求动点P(x,y)的轨迹E的方程；(2)如图2，过圆x2+y2=4上的动点Q(x0,y0)作曲线E斜率为k1,k2的两条切线，切点为分别为A,B，且与圆x2+y2=4分别交于C,D两点.(i)当k1.k时，求x.y的值；(ii)求ΔQOC面积的最大值.高三数学第7页，共8页1917分）对于变量x和变量y，设获得的成对数据为(x1,y1)，(x2,y2)(xn,yn)，其中xiyi.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据：xy4047566166727478对表1中数据作变换u，v=y-70得到了如下表2：序号123456789Σu-5-4-3-2-101234-5v-30-23-14-9-4248-37uv92424043964429设样本相关系数为r，当0.8≤r<0.9时，表明两个变量的线性相关程度较强，当r≥0.9时，表明两个变量的线性相关程度很强.参考公式：r高三数学第8页，共8页(1)证明：xiyi_n(2)分别求表1中的两个变量x,y、表2中的两个变量u,v的样本相关系数r1、r2，并推断相关关系的类型(即正相关或负相关)和相关程度；(3)设y关于x的经验回归方程为=x+，反之，x关于y的经验回归方程为与l在直角坐标系中的位置关系(计算结果精确到0.01)；(ii)对于实验中经过随机抽样获得的n对数据(xi,yi)，i=1,2,,n，得到经验回归方程=x+和=y+，在线性相关程度较强的条件下，判断y=x+与y对应的两条直线是否相交?若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由.哈三中2026年高三学年第四次模拟考试数学答案一、选择题1-5.CABDC6-8.BAA9.AB10.ACD11.BCD二、填空题三、解答题最大值为1，:m=_18g=2sin，即sin.........................9分33:xk∈Z............................13分分16.（1）连接DN，△DAN∽△ABC，:AC丄DN1分分PD丄平面ABCD，ACC平面ABCD:PD丄AC 3分PDDN=D，PD、DNC平面PND.:AC丄平面PND 5分MNC平面PND:MN丄AC 6（2）连接BD与AC交于O，O为BD中点.当M为PD中点时，OM∥PB，OMC平面MAC，PB丈平面MAC，:PB∥平面MAC，8分以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，.....................10分设平面MBC的法向量为=(x,y,z)，设MN与平面MBC所成角为θ,:直线MN与平面MBC所成角的正弦值为.........................15分令φ(x)=_xsinx，.........................2分:F(x)在(0,π)上单调递减.............................5分=2cosx_xsinxx，G,=_3sinx_xcosx分当x时，H,(x)>0，H(x)单调递增，HH2)，使H(x2)=0，...................12分(x)单调递增，:彐x使G(x3)=0:G(x)在上有唯一零点...............15分:x2+4yy2=1.......................3分（2i）设直线方程为：y_y0=k(x_x0)联立得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0.....................5分x-4)k2-2x0y0k+y-1=0:x9分222-m（ii）设O到直线CQ的距离222-mCQ....................11分当且仅当t=3时，即k时，等号成立，:S△QOC的最大值为2......................17分xiyi-n.....................3分....................4分......................5分...................6分 Σui_u)vi_v410.5821i1ui_uvi_v282.5s2094.1330.2094.1 :相关类型为线性正相关，相关程度很强9分=y_x=66.3_0.4976x145≈_5.85，:=0.50x_5.85，=x_y=145_1.9603x66:=1.96y+15.0312分所