第20章《勾股定理》单元检测卷（含答案）-人教版2026年数学八年级（下）

人教版2026年八年级（下）第20章《勾股定理》单元检测卷

满分120分时间120分钟

一、选择题（共30分）

1.在下列四组数中，是勾股数的是（）

A.2,1,y/5B.6,8,12C.7,40,41D.5,12,13

2.△力BC在网格中的位置如图所示,若每个小方格的边长均为1cm,则4B的长为（）

C.4cmD.4.2cm

3.如图，在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作_L。4笠4B=3.以。为圆心，08长为半径作弧，交

)

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

4.如图，在△ABC中，。为BC上一点，BD=8,CD=6,AC=AD,记4B长为x,4c长为y,当x、y变化时，下

列代数式的值不变的是（）

X2

x2-y2C.x2-yD・齐

5.如图，四边形力8CD中，ABLBC,ADLCD,分别以四边形为8。。的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积

，若S]+S3=15,S2+S4=35,则AC的值是()

A.5B.5V2C.5>/3D.5>[5

6.如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇力B生长在它的中央，高山水面部分8C为1尺.如

果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部8恰好碰到岸边的夕.则这根芦苇的长度是（）

A.II尺R.12尺C.13尺D.14尺

7.下列说法中正确的是（）

A.已知a,瓦c是三角形的三边长，则a?+b2=c2

B.在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方

C.Rt△力BC中，a,b,c分别是NA、乙8、zC的对边，若乙4=90°,则a2+/=

D.中，a,b,c分别是乙4、乙B、乙C的对边，若乙C=90°,则/+4=

8.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称

之为“商高定理”；三国时代的赵爽对倜髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，乂给出了另外一个证明，古代印

度、希措、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

9.如图，在长方形48co中，AB=4,AD=10.将此长方形沿EF所在的直线折叠，使点。与点4重合，则4E的

771

A.3B.-C.-D.5

25

10.设ZMON=20。，A为OM上一点。4=4V5,。为ON上一点，0D=8百，。为4M上任一点，B是0。上任一点,

那么折线48co的长48+BC+最小值是（）

A.12B.8V3C.8D.12V3

二、填空题（共18分）

11.在RtaABC中，4A=90。，如果AC=3,BC=4,那么48=

12.等边三角形的边长为5,那么它的面积是.

13.如图，在数轴上点A所表示的数为a,贝必的值为—.

14.为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动.这次植树活动中，小洛所在班

级一共值树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是2m,则小洛所在班级植树围成

的区域（△ABC）的面积为n?.

15.如图，在ABC中，乙4c8=90。，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧,

两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点O.若CD=6,8。=10,则48的长为.

16.在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,0）,点。的坐标为（m-3,4-2m）,则AP最小值为.

三、解答题（共72分）

17.（8分）如图，在△力BC中，CD1AB,垂足为点D.若/D=1,CD=2,BC=2V5,判断△ABC的形状，井

说明理由.

ADB

18.(8分)如图所示的一块地，LADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.

19.（8分）已知实数小b,c满足（a-b）2+VFK+|c-3al=0.

（1）求实数4，6C的值.

（2）以①b,C为边能否构成直角三角形？请说明理由.

20.（8分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未

起，踏板一尺离地.送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千。4静止的时候，踏板离地垂

直高一尺04c=1尺），将它水平向前准进两步（EB=10尺），此时踏板垂直升高离地五尺（BD=5E）,求秋千绳索

（。4或08）的长度.

21.(8分)如图，和△OCE都是等腰直角三角形，^ACB=^DCE=90%CA=CB,CD=CE,连接/E,BD.

(I)证明：AACE三ABCD；

(2)若&4=CB=6,AD=2V2,R^CAD=45°,求CE的长.

22.（10分）如图，已知△力BC中，AC=4,AB=6,BC=2V13,请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图：（保

留作图痕迹，不写作法）

（I）如图1,分别在边4B,上找一点f和点凡使△为等腰三角形旦2/E=90。.

（2）在（1）的条件下，求EF的长度.

23.（10分）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古

书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”

（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

【探索求证】

（1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理；

（2）如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面

积关系满足a+S2=S3的有个;

b

【拼图发现】

（3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为Q,宽为b的长方

形纸片拼成如图所示正方形.若大正方形的面积为32,小正方形的面积为8,求每个小长方形纸片的对角线长.

24.(12分)如图，已知在△ABC中，AC=6cm,8c=8cm,AB=10cm,动点P从点C出发，沿着△ABC的三条

边逆M针走一圈回到C点，速度为2cni/s,设运动时间为匕秒.

(1)求力B边上的高;

(2)t为何值时，△4CP为等腰三角形？

(3)另有一点Q,从点C开始，按顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一

点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△4BC的周长分成相等的两部分？

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案DACBACDBCA

二、解答题

11.V7

12.个百

4

13.-闻

14.24

15.8V5

16.延

5

二、解答题

17.解：△48C是直角三角形.

理由：

CD1AB,

••・LCDA=乙CDB=90°,

在内△ACO中，由勾股定理得：

AC=>JAD2+CD2=Vl2+22=5

在RtABCD中，由勾股定理得：

J（2V5）

:.AB=AD+BD=5,

在△ABC中，

AC2+8c2=(V5)+(2V5)=:25,

AB2=52=25,

AC24-BC2=AB2,

••.△ABC是直角三角形.

18.解：连接AC,

C

A，-------------

:Z.ADC=90°,AD=4m,CD=3m,

AC=yjAD2+CD2=5m.

由AB=13m,BC=12m可得AC?+BC2=52+122=169,/152=169,

/.AC2-bBC2=AB2,

・••△ABC是直角三角形，

S.A8c=30,SMCD=6,

30-6=24(m2).

故这块地的面积为24m2.

19.(I)解：V(a-V7)2+VF^5+|C-3A/2|=0,(a-V7)20,VF^5>0,|c-3V2|>0

,\a-V7=0,b-5=0,c-3V2=0,

a=、17,b=5,c=3V2；

(2)解：以〃，b,c为边能构成直角三角形，理由如下：

*.*Q=77,b=5,c=3V2

.\a2=(V7)2=7,b2=52=25,c2=(3V2)2=18»

/.a24-c2=b2,

・••以a,Ac为边能构成直角三角形.

20.解：设。;4=OB=x,

EC=BD=5,AC=1

.-.AE=5-1=4

OE=OA—AE=x-4

在RtzxOEB中，由勾股定理得

(x-4)2+1()2=x2

解得x=14.5

因此，秋千绳索的长度为14.5尺.

21.(1)证明：•••/.ACB=Z.DCE=90°,

•••乙DCE+Z.ACD=Z.ACB+Z.ACD,

•••Z-ACE=乙BCD,

vCA=CB,CE=CD,

A/1CF=△BCD(SAS)；

(2)解：过点D作D414C交于”，

A

/

E

•••Z-CAD=45°,

Z.HAD=乙HDA=45°,

:.AH=DH,

:.AD=y/AH2+DH2=y/2AH=2&,

:，AH=DH=2,

CH=AC-AH=6-2=4,

ACD=VCH2+DW2=V42+22=2A/5,

ACE=2V5.

22.(1)解.：如图所示，以点A为恻心，AC的长为半径画弧，交BC于点F,作线段BF的垂直平分线交A8于点E,

连接EF,4凡点E和点尸即为所求;

在△力8c中，AC=4,AB=6,BC=2A/13,

，心+45=BC2

：,Z.BAC=90°,则+4。=90。

•:EB=EF,AF=AC,

:.乙EFB=LB,/.AFC=LC,

又•••4E+4C=90°

•••4EFB+ZC=90°,

：.^AFE=90°：

(2)解：由(1)得4尸=AC=4,EB=EF,Z-AFE=90°,

设E8=EF=x,则AE=AB-EB=6—x,

在尸中，由勾股定理得4E2=A/2+E/Z2,

.,.(6—x)2=42+%2,

解得“1

J

.•・斯="

3

23.(I)证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

口吗(Q+b)(a+b)=^abx2+1c2,

化简得:a2+b2=c2i

(2)三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有3个;

设直角三角形两直角边中，较短的边长为a,较长的边长为b,直角三角形的斜边的边长为c；

根据题意得：a2+b2=c2,

如图4

22

Si=Q2,S2=b,S3=c

/.Si+S2=S3；

2

SI=1C)S2=*2,S3=^7TC,

y-na2+-nb2=-n(a2+b2')=-nc2,

888、8

，Si4-S2=S3；

・.•更。2+且坟=3（。2+庐）=更。2,

4444

ASi+S2=S3；

・•・三个图形中面积关系满足Si+S2=53的有3个;

故答案为：3；

(3)解：•・•大正方形的面积为32,小正方形的面积为8,

(a+b)2=32,(a—b)2=8,

/.(a+b)2+(a—b)2=a24-2ab+b2+a2-2ab+b2=2(a2+b2)=40,

:.a2+b2=20,

,每个小长方形纸片的对角线长=V每+炉=V20=2V5.

24.(1)解：•・•已知在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,

・,・心+BC2=36+64=100,心=I。。，

工心+叱=ABZ,

•••△43C是直角三角形，

图1

过C作CD1HB于D,

・・・*CXBC=*3X8,

.\ACxBC=ABxCD,

.「入ACX8C

,.CD=---------=£=4.8(cm)

AB

则AB边上的高是4.8cm；

(2)解：①当点。在BC上，如图2,

图2

当CA=CP时,

'：AC=6cm

/.CP=6cm,

•••动点P从点C出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到。点，速度为2cm/s,设运动时间为t秒.

则t=6♦2=3(s),

②当点?在4B上，如图3,C4=CP时，过C作CD14B于。，

A

在Rt△AOC中，AD=>JAC2-CD2=V62-4.82=3.6(