人教版高中数学必修第二册 向量在物理中的应用举例【原卷+答案】

06

6.4平面向量的应用

6.4.1平面几何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的应用举例

A级必备知识基础练

1.［探究点一（角度4）］在RtZXABC中,乙48。=90。/8=8出0=6,。为人。中点,则cosNB/）C=（）

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A•备B4C.OD4

2」探究点二（角度1）］

体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若

两只胳膊的夹角为60。,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重,〃（单位:kg）约为（）（参考

数据:取重力加速度大小g=10m/s）遮=1.732）

A.64B.62C.76D.60

3」探究点一（角度3）］已知点G是△ABC的重心J5=2前+〃能若4=120。,而•元二2则|而|

的最小值是（）

A-TB4

4.［探究点二（角度2）］一条河宽为80（）m,一船从4处出发垂直航行到达河正对岸的8处,船速为2m/s,

水速为1.2m/s,则船到达B处所需时间为s.

5.［探究点二（角度1）］用两条成120。角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具，如图所示,已知灯具受到

的重力为10N,则每根绳子的拉力大小为N.

6.［探究点一（角度3）］如图分别是四边形ABC。的边ADBC的中点/8=1,CO=2,N4BC=75。,/

BC£>=45。,则线段）的长是.

D

E

A

B

7.［探究点一（角度2）］如图所示，在等腰直角三角形4cB中,NAC8=90o,CA=C8,。为8c的中点乃是

A8上的一点，且.求证:AQ_LCE.

8.［探究点二（角度2）］某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶，感觉到风从正南方向吹来，而当其速

度变为40km/h时，他乂感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.

B级关键能力提升练

9.0是平面ABC内的一定点，尸是平面ABC内的一动点.若（而-PC）-（OB+0C）=（PC-PAHOA+

反）=0,则。为△八8。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

10.（多选题）已知aA4c所在平面内有三点O,N,P,则卜列说法正确的是（）

A.若|0川二|OB|=|OC|,则点。是△ABC的外心

B.若+NB+祝=0,则点N是△A8C的重心

C.若福•丽=丽•正=正•刀,则点P是XABC的垂心

D•若(1+热晒。，且需•爵=纲3。为直角三角形

11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8

km,则河水的流速是km/h.

12.在四边形A6c。中，苞正二(1,2),前二(-4,2),则向量而5与前豹夹角为，四边形A8c。的

面积为.

13.已知△A8C是等腰直角三角形,N8=90。,。是BC边的中点出E_LAD垂足为E延长BE交AC于点

E连接OF,求证:NAOB=NH)C.

14」北师大版教材例题］如图,已知口A8CO的两条对角线相交于点M.求证:ACf。互相平分.

15.一架飞机从A地按北偏东35。的方向飞行800km到达3地接到受伤人员，然后又从ZH也按南偏东

55。的方向K行800km送往C地医院，求这架飞机6行的路程及两次位移的和.

C级学科素养创新练

16」北师大版教材例题］已知是△48C的三条高.求证:4O,8E,C户相交于一点.

64平面向量的应用

6.4.1平面几何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的应用举例

B如图建立平面直角坐标系,

则8(0,0)4(0,8),C(6,0),D(3,4),

二D5=(-3,-4),DC=(3,-4).

又。为丽，瓦的夹角，

DBDC_-9+16_7

/.cosZB£)C=

\DB\\DC\-5x5-25'

2.B设两只胳膊的拉力分别为FI,F2,-H.|FI|=|F2|=360N,<FI,F2>=60°,

2222

.,.|F)+F2|=J(F1+F2)=/忏+欧+2吊尸2=V360+360+360=36(h/3-624(N),

g=624,262.

故选B.

3.C•・•点G是△ABC的重心,•••刀=((近+AC).VA=120°,^-AC=-2,：-AB-

於二|而||而|cos1200=・2.设I通|二x,|而|二)，,二・|而II尼1=4,即x)=4.|E|二g|而+

222!

福=gj(荏+硝2=1JAB2+AC+2ABAC=^x+y-4.・.・«+)石2冷，=8(当且仅当尸)，时

取等号),・・・|福W即而I的最小值为|.故选C.

500根据题意，设船速为vi,水速为V2,作出如图所示的示意图，则M|=2m/sJV2|=1.2m/s,

2222

因为v实炼=vi+v2,且v实除」_V2,所以|v*fif-l=J|v1|-|v2|=V2-1.2=1(m/s),

所以所需时间/=蜉=500⑸.

5.10设重力为G,每根绳的拉力分别为FiE,则由题意得FiE与-G都成60。角，且|FI|=|F2|.・・・

|FI|=|F2|=|G|=10N,・・・每根绳子的拉力都为10N.

如图，而=EA+AB+~BF,EF=~ED+DC-^CF.

E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，

：.2EF=（EA+~ED）+（AB4-DC）+（BF+CF）=AB4-DC.

,/ZAfiC=75°,ZBCD=45°,/,<ABtDC>=60\

IEFI=^（AS+DC）2

2

=jJAB+DC2+2|AB||DC|cos<AB,DC>

Jl2+22+2xlx2xi=y.

：・EF的长为*

7.证明而♦CE=（AC+CD）（CA+AE）

=（m+2而>每+|河

=（AC+逆）.（CA+|C5-^C4）

=（4C+1CB）.（1C2+|CB）

=^\CA\2+^\CB\2.

因为CA=C8,所以W|C2|24I而『二0,故AD±CE.

Jo

8.解设vi表示20km/h的速度，在无风时,此人感觉到的风速为实际的风速为v,那么此人所感

觉到的风速为V+(-V|)=V-Vi.

如图，令AB二-V],

彳？=-2w,实际风速为V.

vD/4+A5=DB,

•••DB=y-v\.

这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.

■:DA+AC=瓦,DC=v-2vi.

这就是当车的速度为40km/h时，骑车人感觉到的风速.

由题意，得ZDCA=45°,DB±AH,AB=I3a

・•・/XDCA为等腰三甬形QA=DC,/DAC=ZDCA=45°,

：.DA=DC=y/2BC.A|v|=20V2km/h.

・•・实际风速的大小是20V2km/h,为东南风.

9.B因为（而一PC）-（OB+0C）=0^']（OB-OC）-（OB+页）=0,所以而？_沅2=。,所以

|而|二|而|.同理可得|6?|二|瓦|,即|瓦5|二|而|二|沆所以。为△ABC的外心.

10.ABC对于A,因为|37|二|赤|二|泥|,所以点。到△A8C的三个顶点的距离相等，所以。为2

A5C的外心，故A正确；

对于B,设D为8c的中点，由+而+配=0,得2而二-赤，即前二2而,所以点N在中线A。

上.

同理可知点N在△ABC的另外两条中线上，所以N是AABC的重心，故B正确；

对于C,由同•丽=丽•~PC^（PA-•丽二0,即石？•丽二0,所以刀1而，即C4_LPA.同理

J_PC,所以点P是△/WC的圭心，故C正确；

对于D,由（器+奇）瓦=0,得角A的平分线垂直于BC,所以48=AC,由糯.==a得-osZ

MC耳所以NBACW，所以△ABC为等边三角形，故D错误.故选ABC.

2V3如图，用VI表示河水的流速,七表示船的速度，则V=V|+V2为船的实际航行速度.

由图知,|瓦?|=4,|话|=8,则NAQB=60。.又MI=2,・・・M|=|v2Man60°=273.

即河水的流速是2百km/h.

12弓5由尼•FD=lx（-4）+2x2=0知正1前,故向量公与前的夹角为

又・・"石|二旧+22=75,1前1=[(-4)2+22=2V5,

，四边形A8CO的面积S=1\AC\\BD\=^x6x2后二5.

13.

证明如图，以8为原点,8C所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

设A(0,2),C(2,0),

则£)(1,0),近=(2,-2).

设刀=2前，则丽=BA+^F=(0,2)+(2A,-2A)=(2A,2-2A).又万5=(-1,2),由题设成1万5,所以丽•

通=0,所以-27+2(2-24)=0,所以2=|.所以前=信所以而=而一而=(1,|

又反二(1,。),所以=^eosZF^gg=f,

又NADB,NFDCW(0,兀),所以ZADI3=ZFDC.

14.证明设箱=嬴，丽=)而，则丽=.t前=工而+x而，丽=而+丽=JB+yBD=

AB+y(AD-AB)=(\-y)AB+y^AD.

于是得到箱关于基底｛布，而｝的两个分解式.

匕;；"解方程组，得

因为分解是唯一的，所以

(九—y.

所以点M是AC和BD的中点，即对角线4C和8。在交点M处互相平分.

15.解

见图，没荏表示飞机从A地按北偏东35c的方向飞行800knij?表示飞机从6地