数列复习知识点大全

数列复习知识点大全

《数列》复习

L数列的通项（求数列通项公式的常用方法：）

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数”的变化而变

化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数〃在变化过程中

的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

（3）利用，与％的关系求为:

（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商

求积法

2.等差数列｛，｝中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；

（2）4二m）d.

（3）｛W#也成等差数列；两等差数列对应项和（差）组成的新

数列仍成等差数列.

⑷°|+叫+…+%Qz+%d+…+%，％.|+%.产……仍成等差数

列.

n(/r-l)d二/d、

(5)S.=-^—t二叫+^-d&=3八(％一寸

/耙,强=/®琮=©7)

=P+q二4+4

(6)若旭+乃P+g,则4+生=4+4；若*>,则％=2

。『二/4.同「二0)="k..0,

S,.g，SjMP打)n”..-0>+g)；s../s.+S.+mnd

（7）等差中项：若。,儿占成等差数列，则/二三叫做"小的等

差中项。

（8）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项

法、通项法、和式法、图像法。

（9）若等差数列的项数为"GIN）则$・$…/$，.“；

若等差数列的项数为"小'）,则•心，且

5n

s・s・心——

9

3.等比数列数冲:

（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数

列的首项、公比与等比数列的单调性。

(2)4=W'=a/

（3）｛卬｝、曲3成等比数列；依卜也｝成等比数列=>S也｝,

。/5成等比数列.

(4)a%-S..S“-Sx•…(5^0)成等比数列.

①当q=—1且k为偶数时，$，5“-5，，*-5独不是等比数歹1」.

②当qW—1或k为奇数时，$*，$-$，SM-$独仍成等比数列

叫(0=1)叫(”i)

S

("I)・卢/+4("D

(5)［一夕"g"g

(6)0+0=6+〃■也；

5=P+qnb：=b『bqSi=S.+q・S.=S.WS.

（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前〃项积的最大值

是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列

中，前勿项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

（8）并非任何两数总有等比中项.仅当实数。,人同号时，实数

。力存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有

一对G=.也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如

果有，必有一对（同号时）。

（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中

项法、通项法、和式法

4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是

等差数列又是等比数列。

a力各项均为正数的等比数列，则｛log,.｝为等於数列，反之若也｝为等第数列.W1

c”为等比数列。利用这点可以从其中之一的性质类比推导另一数

列的性质。

5.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式

③1.2.3+1）I2+22+3、…+/一看而1.1X北+1）

1+3+5++（2/1—1）=1+3+5+--+（2/i+1）=（勿+1）［

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将

“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等

的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选

用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前〃和公

式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项

与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其

和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相

减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）

（这也是等比数列前，和公式的推导方法之一）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形

式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂

项形式有：（6）分类讨论法（7）奇偶求和法

—1—L1

①n(〃+1)nh+1②+knn^k,

iJi_____!____1

③双〃-1)(〃+2)一3m/!+1)m+ix〃+2)l

6.等差数列力的最值问题

⑴等差数列的前"项和为兀,在dP。时,有最大值.d>0时有

最小值。如何确定使兀取最大（小）值时的“值，有两种方法：

一是由兀》利用二次函数的性质求”的值.

0

二是（1）当4>0,d<0时，满足的项数m使得'取最大

i%£0

值.（2）当“<0,d>0时，满足;的项数m使得，取最小值c在

解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

7.等比数列的前“项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为

“，年增长率为一则每年的产量成等比数列，公比为1一.其中第

〃年产量为“小,一，且过〃年后总产量为：

1-（1+，）

⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行

存。元，利息为「，每月利息按复利计算，则每月的〃元过，个月后

便成为华♦小元.因此，第二年年初可取款：

a(l+/Ml•(1♦，严|

/i(l+r)1-+a(\+r)"+♦r)10♦…+“(1♦r)_I•(I♦r)

⑶分期付款应用题：贷款为a元；口个月将贷款全部付清；r

为年利率，每月归还x元.

附通项公式求法:

1.型(累加法：)

肛二(肛_02)+(。1—+…+(02—01)

+4二/(〃一|)+/0>-2)+・・・+/(1)+4

例1.已知数列｛肛｝满足4二1,(n£N+),求气

［解］明=生一。2+。加1—…—01+。1=2=+262+・・.+241

1-2"

=1-2=21—1

—（neN（）

2.4型(累乘法：)

44I%

。.二•a»-2ai•。1二隼《。).火(2).

…x("l)

2n

例2、已知数列｛，｝满足4二3,*-［石生，求，。

—

解：由已知得4H1,分别令n=l,2,3,….(n-1),代入

匕•3•%••・•••生一1黄-2x—3Xn-1

上式得n-l个等式累乘，即q/可和=234…〃

所以4%又因为“=3也满足该式，所以"=3%

3.J=pO.+q型(p、q为常数)

方法：(待定系数法)

(1)明+P-l=P-1,再根据等比数列的相关知识求生.

(2)可川一明=双"•一aJ再用累加法求气或解方程

—q

(3)先用累加法求〃.再求生.

例3,已知｛肛｝的首项4=a（a为常数），.=2%+1（n£N（,

n22）,求生.

［解］设凡一人二2（"z一入）,则X=-l

・+1=2（*+1）

・・・｛，■+］｝为公比为2的等比数列.

Aa<+1=（a+1）•2-

・••以二（a+1）•2-1-1

4.-=p/+/（〃）型（p为常数）

074/⑺

方法：变形得广产，

则｛〃”｝可用累加法求出，由此求孙.

例4.已知｛/｝满足4=2,（=2%+2。求肛.

a,Ia

［解］声二寸+1.・・｛方n｝为等差数列.

—❷+“一［=〃

V=2J（二n•V

5.形如4M=—."血（巾为常数,且-0,八0）的递推公

式,

1,

可令%'则可转化为/产川・+g型;

例6.已知a«*,=a-*2(n£N+),求生.

2x

［解］x=E.,•玉=4=0

J1

・•・4=%+C

22

aa

V!=l,2=3f.,・代入，得02

.•』工｝为首项为1,d=;的等差数列.

1-+12

A^=T.\(nEN.)

6.一二网/（。>0,。・>0）

对数变换法：例：已知数列满足q=10，。・=1°。*（心2）,求

7.“已知邑，求明”型

方法：。•二S.—S..（〃N2）,4=S]

（注意4是否符合）

3

例6.设5•为｛&｝的前n项和，S・=5(。*一1),求见

(n£N.)

3

［解］VS-=2(。-1)(nENJ

3

，当n=l时,a\=2(%—1)

当n22时,

.二.----ir-l

33

=2-2(%—1)

...•%二3"(n£N+)

9.“已知/，可叫$■的关系，求凡型(方法：构造与转化的

方法.)

例8.已知｛生｝的前n项和为£,且。・+2$・(2.1—07一%)=0

(n>2),4=2,求%

［解］依题意，得2—Si+2s,•幻二0

=2

1

・・・尤=2+2(n-1)=2n

1]

0•二2n,=2(n-I)

J_]

=-2X2nX2(n-l)

]

=2w(l-n)(〃32)

«(“D

...J会产52)

前n项和0

例：试化简下列和式：

S.=142x+3x2+—+nx*-1(x#O)

n(n+1)

解：①若x=l,则Sn=1+2+3+…+n=2

②若xWl,则，=l+2x+3/+…+/u”

匹=x+lx2+短+・・・+nr•

两式相减得:

(|7电=1+"“・・+广1_而

l-x

・・・"(IT)]一

练习题:

1.数列草，6,10•…的一个通项公式

是

()

H(W4-1)

A.n2-(w-1)B.nC.~T~D.

w(n-l)

2

2.已知数列上）满足（V**0~+（fSZ2）且q=l,则

I

A.2B.4C.

J

4D.2

3.等差数列的首项4=1,如果与外必成等比数列，那么

公差d等于（）

A.2B.-2C.2或

0D.±2

4.数列的前〃项和$・=2/+5”.2,则此数列一定

是（）

A.递增数列B.等差数列C.等比数列D.常数列

5.凸五边形各内角度数成等差数列，则其中必有一个内角等

于（）

A・10年B.120'C.90'D.72・

6.在。和可"力两数之间插入〃个数，使它们与。「组成等差

数列，则该数列公差为（）

A.nB.n♦1C.nilD.n\2

7.设等比数列W的前〃项和$・二”.c,则c等

于（）

A.0B.1C.

2D.3

8.一个等比数列的前〃项和为48,前2〃项和为60,那么前加

项和为()

A.84B.75C.

68D.63

9.设｛a｝是等差数列,一是前n项的和,且S5<S6,S6=S7

>S8,则下列结论错误的是()

A.d<0B.ak0C.S9>S5D.S6,，均为S0的最大值

10.｛牝｝是一个等差数列且4+%，。=17,…+勾=7乙

若”「13,则k等

于

()

A.16B.18C.

20D.22

11.等比数列前n项和为Sn,有人算得S尸8,S2=20,S3=36,S尸65,

后来发现有一个数算错了，错误的

是

()

A.S.B.S2C.

S3D.S4

12.若相异三数a(b-c),b(c-a),c(a-b)组成以q为公比的等

比数列，则q满足的方程是()

A.qJq+i=oB、q4+q2-l=0C、

q2+q+l=0D、q"+q2+l=0

3

13.如果数列｛aj的前n项和S产2a一3,那么这个数列的

通项公式是()

2

A.a„=2(n+n+l)B.an=3-2"C.

an=3n+lD.an=2•3"

14.若两个等差数列(an).｛b"前n项和人和L满足

7n4-lfn

B*4〃+27(neN*),则％的值是

734

A.4B.2C.3D.

78

71()

15.已知等差数列前n项和为S„,若S12>0,S13<0,则此数列中

绝对值最小的项是()

A.第5项B.第6项C.第7项D.

第8项

16.已知｛an｝是等比数列，a尸2,q=3,又第m项至第n项和

为720,则m的值为()

A.1B.2C.

3D.4

17.在各项均为正数的等比数列｛此｝中若四・aK,则

log3ai+log3a2+…+log3aio等于()

A.8B.10C.

12D.14

18.若关于x的方程x2-x+a=0和x?-x+b=O(aWb)的四个根可

组成首项为4的等差数列，则a+b的值是()

321J321

A.«B.24C.24D.72

2J_12

19、数列｛%｝满足％=1,一,且二,工T3(n22),则©

等于().

72

A、/口B、(5尸C、

2_2_

(3)nD、m

20、数列｛m｝的通项公式是a。(n£N*),若前n

项的和为10,则项数为()

A.11B.99C.

120D.121

21、一小球从100所的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来

高度的一半，当它第I。次落地时，小球共经过的路程

是

()

29哈299—C.29啜

A.B.64

2嘘

D.

二填空题

1、已知等差数列｛差中,&、为、.成等比数列,则

叼+%.%=.

41K6

2、设数列4｝满足“尸丁。2=亍4-1=5（--*血之3）,则

数列｛肛｝的通项公式为肛=.

3、贝.

4.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本

量”.设｛4｝是公比为q的等比数列，下列｛a｝的四组量中，

一定能成为该数列“基本量”的是第组.（写出所有符合

要求的组号）

QSi与％;嗝2与S3；配」与阳；铀与3.

这里n为大于1的整数,S”为｛4｝的前n项和.

5^在等差数列｛aj中，若a1o=0,则有等式a1+a2+a3+…+&尸

ai+a2+a3+**-+ai9-n（n<19,n£N*）成立.类比以上性质,相应地:在等

比数列中，若bE,则有等式成立.

0•为奇数）

■

6、数列瓜｝的通项公式为位二卜一D则数列的前2m

项的和S2m=.

三、解答题

1.已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数，其奇数项之

和为85,偶数项之和为170,试求这个数列的公比和项数.

2、已知数列W中，前〃项和2与孙的关系是

，=m2”1）4，试求通项公式气

3.陈老师购买安居工程集资房一套72m2,单价为1000元/旅，

国家一次性补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负

担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付

款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，

共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%（按复利计息），

那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元，可参考数据：

1.075-七1.921,1.075除2.065,1.075『2.221）.

4（2005年，北京模拟）猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃

了一半，还不过瘾，又多吃了一个.第二天早上又将剩下的桃子

吃掉一半，又多吃了一个.以后第天早上都吃前一天剩下的一半

后还要吃一个.到第十天早上想吃时，见只剩下一个桃子了.求

第一天共摘了多少个桃子？

31、（12分）段心4）正数排成口行11列

.II，"u，"U，…a।•

"北，022，00，…02.

°”，°驾，"4，…

0・i，a°，・・•a・

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且

111

所有的公比相等，已知.‘%一小?—正，求知…十°・的

值.

答案

一、选择题CBCAABBDCBCCDCCCBDAC

二、填空题

二」」.（1尸

1、1或162、6233、

3"-2”4.包④

5、bb2b3…壮二bib2b3…bi7-n(n<17,n£N*).6、

三解答题

1.解：设该等比数列｛&J的公比为q,项数为2n,则

Sa■"]+―+OU_|

£-=a2+4+%+…+出“=虱°1+%+°，+