与圆有关的计算（九大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习考点强化（含答案）

专题12与圆有关的计算（九大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点强

化讲与练

多边形与圆

（1）正多边形：各边相等,各角相笺的多边形叫做正多边形.

（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数二竺立匕4；正n边形外角和二迦；正n边形的

n

每个外角度数=迦.

n

（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的空心，外接圆的半径叫做正多

边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的空必鱼，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形

的边心距.

半径、边心距，边长之间的关系：

半代=边心财+（5边长）

（二）与圆有关的计算

（1）弧长和扇形面积的计算：

扇形的弧长1=瑞；扇形的面积5=嚅

（2）圆锥与侧面展开图

①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

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②计算公式：

[=鬻=2;ir,（r为底面半径）

S（K=nrl（1为母线长，r为底面半径）

（3）圆锥表面积

圆锥体表面积公式：S=nR2+nRlU为母线，R为底面半径）

备注：圆锥的表面积;扇形面积+底面圆面积

考点一遍过

考点1正多边形与圆

典例1:

1.如图，正六边形力BCD”内接于00,点M在脑上，则“ME的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【变式1】

2.如图，4c圆0内接正六边形的一边，点B在弧4c上，且8C是圆。内接正八边形的一边.此时48是圆。内接

正九边形的一边，则n的值是（）

A.12B.16C.20D.24

【变式2】

3.如图，。。是正六边形48。。£尸的内切圆，分别切8C、CO于点M、MP是优弧MPN上的一点，则

ZMPN的度数为

A

B

M

CE

N

D

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【变式3】

4.如图，正五边形/WCDE的边AS,AE与。0分别相切于点M,N,点P在MN上，连接尸M,PN,则乙MPN

的度数为.

典例2：

5.如图，4B是。。的直径，48=6,C是上半圆弧的中点，。是下半圆上一个动点，过点4作CO的

垂线，垂足为石，则点。从点4运动到点8的过程中，点E运动的路径长是（）

C.37rD.3缶

【变式1】

6.如图，O。的内接正六边形力BCDEF的边长为1,则坑）的长为（）

27r

。rTD.7T

【变式2】

7.如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动.若重物

上升5mm,则滑轮旋转的角度为。.

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8.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，AC,8。分别与。。相切于

点、C,D,延长力C,80交于点P.若乙P=135。，。。的半径为8cm,则图中e的长为

cm.（结果保留7T）

考点3扇形面积的计算

典例3：

9.如图，在矩形4BC0中，CD=2.^DBC=30°.若将BO绕点8旋转后，点。落在BC延长线上的点E

处，点。经过的路径近，则图中阴影部分的面积是（）

A.1TT-2V3B.i;r-V3C.^TT-2A/3D.^TT-4V3

【变式1】

10.如图，点A,B,C在0。上，若2BAC=45。,OB=2,则图中阴影部分的面积为（

【变式2】

11.如图，菱形力QUO的边长为6,/A=60°.90是以点A为圆心，//7长为半径的弧，是以点A为圆

心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为.（结果保留根号）

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B

【变式3】

12.如图，48为半圆。的直径，C为半圆0上一点，且加二阮，连接8C,以8为圆心，8C长为半径画弧

交48于点D,若AB=4,则阴影部分的面积为（结果保个留九）.

典例4：

13.如图所示，有一长为4cm,宽为3on的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点

4的位置变化为4TaT/12,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿心。与桌面成30。角，则点

A.lOncmB.S.STFCITIC.4.5ncmD.2.5ncm

【变式1】

14.如图，在Rta/IBCU」，/-ABC=90°,Z-BAC=40°,AC=6.将Rt△48C绕AC的中点。逆时针旋转,

点A,B,C的对应点分别为点。，E,F.当点£与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（）

葭

BR.尹C.27rD.87r

【变式2】

15.如图，在中，4c=90。，乙4=60。，BC=®将△ABC绕点B旋转到△人道的的位置，此时

C.,。，人在同一直线上，则点力经过的最短路径长为

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AG

4

【变式3】

16.如图，己知乙48c=90。，AB=8,BC=5,半径为2的O0从点A出发，沿4-8tC方向滚动到点C

时停止，圆心。运动的路程是

B

考点5旋转过程一一扫过面积

典例5：

17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△4BC的顶点坐标分别是

(1)画出△48C绕点。顺时针方向旋转90。后得到的△OEC,点。、E分别与点A、8对应:

(2)在(1)的条件下，求线段AC所扫过的图形的面积.(结果保留江)

【变式1】

18.在平面直角坐标系中,A4BC的三个顶点坐标分别为4(-2,1),5(-4,5),6(-5,2).

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(1)画出△ABC关于)，轴对称的△

(2)画出AABC关于原点O成中心对称的△G&Q.

(3)画出△4BC绕点A逆时针旋转90。后的△A3B3C3，并求出点C旋转到小的路径长为—▲_，线段4c扫

过的面积是—

【变式2】

19.如图，在平面直角坐标系％0y中，点4(3,3),8(4,0),C(0,-l)

(1)以点C为旋转中心，把△/8C逆时针旋转90。，画出旋转后的△ABC；

(2)在(1)的条件下，

①线段扫过的图形面积为:

②点B经过的路径长为_________.

【变式3】

20.在平面直角坐标系X。)，中,△4BC的三个顶点的坐标分别为4(1,2),B(5,5),C(5,2),将AABC绕点4顺

时针旋转90。得到△AB'C.

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（1）画出旋转后的△ABC；

（2）直接写出点B'的坐标;

（3）直接写出线段4B在变换到的过程中扫过的区域的面积.（结果保留兀）

考点6圆锥侧面积

典例6：

21.已知圆锥的底面积为97rcm2,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是（)

45

A.4.5ncm2BR--^-ncm2£C.45cm2D.15ncm2

【变式1】

22.如图，扇形。48是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为

)

D.icm

B.\[2cmC.号cm

【变式2】

23.在认识圆锥主题活动课上,芳芳用半径9cm,圆心角120。的扇形纸板,做了一个圆锥形的生口帽，如图

所示.在不考虑接缝的情况下,这个圆锥形生日帽的高是cm.

24.现有32%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm,小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上.表演

节目，她打算前去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆饰形纸帽（接缝处不

重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为

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4cm

圆锥中的最短路径

典例7：

25.如图圆锥的横截面△4BC,BC=4cm,AB=AC=6cm,一只蚂蚁从4点沿圆锥表面到母线4c去，则

蚂蚁行走的最短路线长为（）cm

A.V3D.3V3

【变式1】

26.如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，48为底面圆的直径，SB=6,AB=4,一只蚂蚊沿着圆锥的侧

面从A点爬到。点，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

B.3V3C.3V2D.6V3

【变式2】

27.如图1,一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后到点4,将圆锥沿母线0A剪开，其

侧面展开图如图2所示，若乙404=120。，。4=遮，则蚂蚁爬行的最短距离是.

图1图2

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【变式3】

28.如图足一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为5cm,母线OE(OF)长为5c7儿在母线

OF上的点A处有一块爆米花残渣，且凡4=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到/点，则此蚂蚁

爬行的最短距离为cm.

考点8扇形弧长与面积的实际应用

典例8：

29.如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由GAPPArchitects&UrbanDesigners修建于1996

年.它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米.

(1)求这个圆锥的侧面积.

(2)求此圆锥侧面扇形的圆心角.

(3)现在在圆锥的底面上4处有一位攀岩高手，他要挑战从4出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A

点，则他爬动的最短距离是米.

【变式1】

30.综合与实践

"转化''是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.为了让同学们探

究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：

问题情境：

如图1,一只蚂蚁从点4出发沿圆柱侧面爬行到点C,其最短路线正是侧面展开图中的线段4C,若圆柱的

高48为2cm.底面直径8c为8c/n.

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o

问题解决:

（1）判断最短路线的依据是;

（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和加）；

拓展迁移：

如图2,。为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是。M的中点，母线0M=8,底面圆半径为2,粗线

为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行叵到点P时所经过的路径的痕迹.

（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离.

【变式2】

31.粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具.图1,图2是某环形粒子加速器

的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，。。是粒子真空室，C、。是两个加速电极，高速

飞行的粒子/在力点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过◎时被加速，达到一定的速度在B点引出，

粒子注入和引出路径都与。。相切.已知：AB=16km,粒子注入路径与48夹角Q=53。，CO所对的圆心角

是60。.

（1）求粒子/在环形运动过程中，粒子/到48的最远距离；

（2）比较◎与A8的长度哪个更长；

（3）若粒子/被注入粒子加速器后，三次经过勿被加速后被引出粒子加速器，求粒子/在粒子加速器内飞

行距离.（相关数据：tan37。2》

【变式3】

32.在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形.

图1IS2

（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线。8长为6cm,开口圆的直径为6cm.当滤

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纸片重叠部分三层，且每层为J圆时，滤纸围成的圆铢形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗

管口处），请你用所学的数学知识说明；

（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm,开口圆的直径为7.2cm,现将同样大小的滤纸围成重叠

部分为三层的圆锥形，放入此漏斗白，且能紧贴漏斗内壁.问重叠部分每层的面积为多少？

考点9不规则图形面积

典例加

33.如图，是。。的直径，点。在。。上，41cB的平分线交。。于点。，过点。作力B的平行线交C4的

延长线于点E.

（2）若AE=\/5,求图中阴影部分的面积.

【变式1】

34.如图，在中，乙4c8=90。，点尸在48上，以4尸为直径的O0与边8c相切于点。，与边4C相

交于点E,且”=连接E。并延长交。。于点G,连接8G.

（2）若旌的长为求图中阴影部分的面积.

【变式2】

35.如图，CD是。。的直径，点B在。。上，点A为。C延长线上一点，过点。作OE||BC交A8的延长线于

点E,且4。=乙E.

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(1)求证：AE是。。的切线：

(2)若线段0E与。0的交点产是0E的中点，。。的半径为6,求阴影部分的面积.

【变式3】

36.如图，是。0的弦，48是直径，连接4C,AD,0D,其中AC=CD,平分/CO。，过点8作BE1

CD交CD的延长线于点E.

(1)求证：BE是O0的切线.

(2)若4B=12,求图中阴影部分的周长之和.

第13页

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】30

4.【答案】1447144度

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】90

8.【答案】解：如图，连接OC、OD,

•「AC,80分别与0。相切，

"OCP=乙0DP=90°,

•"COD=360°一乙OCP-Z.ODP-乙P=360°-90°-90°-135°=45°,

6的长为湍8=27r(cm)，

故答案为：27r.

9.【答案】C

10.【答案】C

1L【答案】9V3

12.【答案】7T

13.【答案】B

14.【答案】A

T5.【答案】竽gTT

16.【答案】13+7T/7T+13

17.【答案】(1)解：如图所示；

第14页

（2）解：•••△4BC绕点C顺时针方向旋转90。后得到的△DEC,

：./-ACD=90°.

又・・ZC=CD=Vl2+32=x/10»

,»_2

・♦・线段AC所扫过的图形的面积_904x（国）_105TT.

一360-4n-2

18•【答案】（1）解：如图，△4/1。为所作；

十

（2）解：如图,△2c2为所作;

第15页

（3）如图，△4/Q为所作•

20.【答案】（1）解：如图，△AB'C'即为所求;

第16页

（2）解：由图可知：8‘（4,一2）;

（3）解：由勾股定理，得：48=蜂2+42=5,

・•・线段48在变换到49的过程中扫过的区域的面积为：装x5?=零.

21.【答案】D

22.【答案】C

23.【答案】6V2

24.【答案】25.2°

25.【答案】D

26.【答案】B

27.【答案】3

28.【答案】V34

29.【答案】（1）解：这个圆锥的侧面积为“（=71X20x60=1200〃（平方米）；

（2）W：设此圆锥侧面扇形的圆心角为九，

底面周长为27rx20=7l绑oU

解得：n=120°

（3）60V3

30.【答案】（1）两点之间线段最短

（2）解：剪开后，AB2cm,BC=8n=An^cm）,

AC=yjAB24-BC2—02+（4TT）2=J4+167r2=2+47r2（cm）

••.最短路线i4c的长为2V1+47T2C77l:

（3）解：•・•圆锥的底面周长为27rx2=4TT,

设侧面展开图的圆心角度数为九。，

：,嘿宇=4兀，解得几=90,

loU

•••如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为90。的扇形，

第17页

线段PP'的长为蚂蚁爬行的最短距离,

.•.在Rt△MOM'中，MM'=>JOM2+OM'2=V82+82=8A/2,

•••点P为OM中点，

PP，是△OMM，的中位线，

1

:.PP，=/"=4加,

••・蚂蚁爬行的最短距离为4vL

31.【答案】（1）解：如图所示，过点。作OE_LAB于点E,延长E。交。。于点P,连接。力，OB,

•・・4/是。。的切线，

：.LFAO=90°,

Va=53°,

・・・4利。=90。-53。=37。，

是0。的弦，OE是弦心距，OELAB,AB=16km,

：-AE=BE=鼻B=8km,乙4E。=90°,

OE3

**•tanz.EAO=tan37°=南«彳，

•'•OEx-AE=,x8=6(km)»

••AO=\lAE2+OE2=V82+62=10(km),

•*.OP=OA=10km,

：,EP=OE+OP=6+10=16(/cm),

当粒子/到达点P时，离48的距离最远，最远距离为16km：

(2)解：49的长度更长，

理由：•・•◎所对的圆心角为60。，巨OA=OC=10km,

第18页

.,.CD的长度为：丝等P=々10.5(km),且4B=16km,

loUD

V10.5<16,

・・・48的长度更长;

(3)解：由(1)可得/4。8=180。一乙。48—4。84=180°—37°—37。=106。，0A=10km,

・•・圆的周长为:27rxi0=207(如办则绕行两次的周长为:2x207T=407r(fcm),的的长度为:

1。鬻1。=等(km)，题用的长度为：27rxi0-等=华^(km),

・・•粒子/三次经过8被加速后被引出，粒子/在加速器内飞行距离为：40万+艺=管(〃g).

32.【答案】(1)解：如图所示：

•・•表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形,

・••表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等.

由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧

面的关系.

将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为上圆，

则围成的网锥形的侧面积=(1-2X〃)S泣.=；S波纸圆.

・•・它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180度，

如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：nd=nx6=67r(c7n),

该侧面展开图的圆心角为67r+6x—=180°.

7T

由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等.

・•・该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁.

(2)解：如果抽象地将母线长为6cm,开口圆直径为7.2cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇

形弧长为7.2TTC/H,

圆心角为7.2兀+6x竺吠=216%

n

滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为216。，

乂•・•重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，

；・滤纸重叠部分每层面积=(25/1—x25/1)+2=5/t(cm2).

33.【答案】(1)证明：如图，连接8D,OD,AD

第19页

c

ED

•・N8是O。的直径,

：.Z.ADB=90°

•・•DC平分，4cB

：./,ACD=乙DCB

•••AD=DB

・・.△ADB为等腰直角三角形

0D1AB

•••ED||AB

0D±ED

・・・E。为。。的切线；

(2)解：如图所示，过点A作E0星线RF

,:FD||A0

AF1AB

*：0D1ED

・•・四边形AODF为矩形

又力。=DO

・•・矩形/10DF为正方形

设圆半径为R

31

••.乐二4止FD=OA=^AB,

3111

EF=DE-FD=-^AB--2AB=.48=2R

：.AE2=AF2EF2

2

・•・（⑹2=R2+（；R）

第20页

解得：R=2,负值舍去

□

:.ED=/8=3

11

・•・阴影面积=S梯形皿。-S质形力0D=2（4。+ED）xDO-『。。2

2

=T7（2+3）x2-T7rx2

=5一工.

34.【答案】（1）证明：如图，连接。。,

•••。。与BC相切于点D,

Z.ODB=90°,

v4ACB=90°,

Z.ACB=乙ODB,

ACIIOD,

:.Z.EOD=Z.AEO,

AE=陈，

Z.EOD=Z.AOE,

:.Z.AOE=Z.AEO,

:.AO=AE,

又•••40=OE,

.•・△40E是等边三角形，

•••Z-AE0=Z.AOE=Z.A=60°,

•••乙BOG=AAOE=60°,

•••乙DOB=180°-Z.DOE-Z-AOE=60°,

乙DOB=（GOB,

vOD=OG,OB=OB,

**•△ODB-△OGB>

乙OGB=乙ODB=90°,

OGJLBG,

第21页

•••8G是。。的切线.

(2)解：•••)£1的长为Z.DOE=60°,

60°XTTXOD_4

一丽—二/

0D=4,

.，-0G=4,

•••乙BOG=^AOE=乙DOE=60°,

BG=VSOG=4V3,

•*-SMG=%。x8G=品4x4百=8收s扇形G。产=＞，

8

-

阴影部分的面积为S^OGB-S扇形GOF