圆柱、圆锥、圆台及球表面积与体积【五大常考题型】（原卷版）-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

同柱、园锥、园台及球表面积与体积【五大常考题型】

题型归纳

题型一：圆柱表面积与体积

题型二：圆锥表面积与体积

题型三：圆台表面积与体积

题型四：球的体积有关计算

题型五：球的表面积有关计算

:题型专练

题型一：圆柱表面积与体积

1.若圆柱的底面半径与高均为3,则其侧面积为.

2.圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与

圆柱的高之比为（）

A.立B.&C.—D.y/\5

22

3.下图是某占代建筑的屋顶结构模型，其中48C。为矩形，力E=40m,泰,茄，前,涛为四段全等

的圆弧，其对应的圆半径为10m,圆心角为已知区域和QCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型

中瓦片覆盖区域的总面积为（）

4.晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图，圣母殿以其独特的木构技术、历

史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本〃现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中

四边形/4C。为矩形，"=20m,AE,DE,",。尸为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为6m,圆心

角%,已知区域48网和我是被瓦片覆盖的区域则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为.

1/9

5.已知圆台的高为4,上、下底面的半径分别为3和6,现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面

分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（）

A.3B.2C.1D.g

6.已知圆柱和圆锥的底面半径相同，侧面积也相等，且它们的高均为五,则圆锥的体积为.

7.将边长分别为1cm和3cm的矩形，绕边长为3cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧

面积为cm2.

8.如图1,何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体,

如图2所示，该几何体的高约为38cm,上口直径约为28cm,圆柱的底面直径约为20cm,取兀的近似值

为3,经计算得到圆柱的侧面积约为1320cm2,则该几何体上部分圆台的体积约为（）

A.6336cmsB.6656cmsC.6976cm'D.7296cm'

9.I：海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下

部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.

⑴己知3D打印材料的密度为1.3g/cm，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五人到整数克，

不计其他损耗）

（2）小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g

（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？

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10.实心圆锥PO的底面直径为6,高为4,过PO中点。'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个

圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是—.

题型二：圆锥表面积与体积

11.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2近，则圆柱的体积为—.

12.我国南北朝时期的数学家祖胞提出了计算几何体体积的祖眶原理：“鬲势既同，则积不容异”.意思是两

个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖晒

原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120。的扇形，由此推算三棱锥的体积为（）

A.速兀B.逑兀C.4岳D.舁

333

13.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于（）

A.15B.15nC.247tD.30兀

14.如图，48是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆。上异于力、8的动点，点M是母线S8上一

点，已知圆锥的底面半径为1,侧面积为4兀，则下列说法正确的是（）

A.该圆锥的体积为后冗

B.该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为］

2

C.三棱锥S-力8C的体积的最大值为巫

3

D.若BM=l，则从点8出发绕圆锥侧面一周到达点"的最短长度为5

15.已知圆锥S。的轴截面是边长为2夜的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.27rB.20兀C.3&兀D.4兀

3/9

16.已知圆锥S。的高为2,用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是3&兀，且体积是圆锥

7

S。体积的高，则圆锥S。的母线长为（）

O

A.8B.4VIC.3/D.2x/2

17.如图，圆锥S。的体积为3兀，母线与底面所成角为60,48为底面的一条直径，点。是线段S力上靠近S

的三等分点，点E为M的中点，则（）

B.S3〃平面OOE

C.直线。区S3所成角的余弦值为返

44

D.点S到平面OQE的距离为迈

7

18.某种“笼具〃由内，外两层组成，无卜底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面

相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为

⑴求这种“笼具”的体积；

⑵现用30720715?的纱网材料制作这种“笼具”，问可以制作多少个“笼具〃？

19.已知圆锥的底面半径为8,母线长为10,则（）

A.圆锥的表面积为8（）兀

B.圆锥的侧面展开图是圆心用为?的扇形

C.圆锥的体枳为128兀

D.过该圆锥顶点的截面的面积最大值为50

20.已知圆柱和圆锥的底面半径相等、侧面积相等，且圆锥的母线与底面所成的角为60,圆柱的体积为

4/9

8兀，则圆锥的体积为（）

A.—7TB.2瓜C.—7TD.9石兀

33

题型三：圆台表面积与体积

21.已知圆台的上、下底面的面积分别为兀，4冗，侧面积为6兀，则该圆台的体积为（）

14扃16

——

C.D.4技

22.已知圆台的上、下底面半径分别为1,2,侧面积为6兀，则这个圆台的体积为（）

A.返B.2扃C.返D.也

333

23.徐汇滨江作为2025年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的

花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直径分别为300cm和

260cm,卜面圆台的上、卜底面直径分别为240cm和180cm,且两个圆台侧面展开图的圆弧疗对的圆心角

相等.若上面圆台的高为80cm,见该花盆上、下两部分母线长的总和为cm

24.（1）如图1,设圆台的上、下底面的面枳分别为S'S2,高为力，根据圆锥的体枳，证明：圆台的体积

=；（£+质+S2”；

（2）如图2,在平面直角坐标系Wy中，多边形48co◎的顶点片（0,1）、8（0,3）。（百,4）,若该多边形是正

六边形，写出点。、反尸的坐标并求该六边形绕产轴旋转一周形成的几何体Q的体积;

圆心角/力0〃=（,现前下一个扇环力8c。做圆台形容

5/9

器的侧面，并从剩余的扇形co。内剪下••个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）.

（1）。。应取多少厘米？

⑵制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗）

26.已知某圆台的高为6,上底而半径为2,下底面半径为10,则此圆台的表面积为（）

A.100兀B.104兀C.120nD.224兀

27.一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为由的小球在该容器内自由运动，如图

3

所示，在圆锥内壁侧面.，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆,

则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（）

44

28.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7,圆台的侧面积为84兀，则圆台较小底面的

半径为（）

A.8B.7C.5D.3

29.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3,母线为2&，则圆台的表面积为（)

26

A.一71B.(10+8拒卜C.(10+16后)兀D.18兀

3

30.已知圆台的上、下底面面积分别为16TI和36rr,其侧面积为30加则圆台的体积为（)

A.当"B.76旧式C.双答五D.302&冗

题型四：球的体积有关计算

7

31.已知半径为5,圆心角为净江的扇形铁片尸-48如图1,将其裁剪成如图2的形状并制成一个倒立的圆

锥筒（如图3,含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将

水倒入圆锥筒内，则水面高度为（）

6/9

32.如图，在一个底面边长为4,侧棱长为29的正四棱锥P-46C。中，大球«内切于该四棱锥，小球。?

与大球a及四棱锥的四个侧面相切，则小球a的体积为（）.

R立C■迎n272

3633

33.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球〃，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高

均相等时，球的体积是圆柱体积的：2，且球的表面积也是圆柱表面积2的如图所示，在•个"圆柱容球〃的

模型中，若球的体积为8#兀，则该模型中圆柱的表面积为（：

34.在三棱锥P-48c中，P/_L平面48C,△/8C是以力C为斜边的等腰直角三角形，PA=l,AC=y/i,

则三棱锥尸-/AC的外接球（顶点都在球面上）的体积为.

35.一个正四面体的内切球体积为兀，则该止四面体的体积为（）

A.3GB.4百C.6百D,8后

36.在矩形Z8co中，AB=[,BC=6沿对角线4c将“8c折起，8折至%则四面体叫CQ的外接

球的体积为（）

7/9

1412

A.-nB.-itC.-itD.二■兀

6333

37.在正三楂柱/18C-44G中，AB=AAi=2,则在正三棱柱内可放入的最大球的体积匕与正三棱柱外接

球的体积匕之比2=—.

V2

38.一个装有水的圆柱形容器，水面与容器口的距离为9厘米，该容器的底面圆的直径为4厘米.现往该容

器中放入一个半径为，・厘米的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，此时容器内的水没有溢出，忽略

容器壁的厚度，则该小球的半径，•的最大值是.

39.一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为2cm,将一个半径为1cm的玻璃球完全浸入水中，水

没有溢出，则杯中水面上升了（）

2111

A.-cmB.-cmC.-cmD.-cm

3324

40.一个装有水的圆柱形容器，水面与容器口的距离为9厘米，该容器的底面圆的直径为4星米.现往该

容器中放入一个半径为，・厘米的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，此时容器内的水没有溢出,

忽略容器壁的厚度，则该小球的半径『的最大值是（）

A.3B.2C.2y[2D.3班

题型五：球的表面积有关计算

41.已知长方体力BCO-44CQ个48=2,40=2,44=3,E为BD中点,4,A,B,E四点都在球

an勺球面上，且4,A,D,七四点都在球a的球面上，记球a与球a两球面上的所有公共点构成轨迹

「，则「的周长为一.

42.一个圆锥的底面直径为2,体枳为若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值

为（）

25n257125兀125兀

A.——B.——C.——D.-------

168448

43.在四面体力3。。中，已知点心尸分别为棱力£CO的中点，目EF1AB,EF工CD.若

AB=8=1,E尸=1,则四面体ABCD外接球的表面枳为.

44.已知四面体48CZ）满足乙48c=/8CO=90。，△48C,△SC。均为等腰三角形，且4c=2血，若

AD,8C的夹角为60。，则该四面体外接球的表面积为（）.

A.167rB.20兀C.247rD.28兀

45.已知正三棱台的高为2,上、下底面边长分别为3石和4百，其顶点都在同一球面上，则