冀教八年级上册数学-第十七章 特殊三角形 综合检测

第十七章特殊三角形综合检测

（满分100分，限时60分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.用反证法证明命题”在△ABC中，若NAvNB,则a<b"时，应先假设（）

A.a>bB.a>bC.a=bD.a<b

2.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB：ZC=3：4：5B.ZA=2ZB=2ZC

C.AB=V34,BC=3,AC=5D.ZA=20°,ZB=70°

3.勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰:勾股各自乘，并而开方除之，即弦.”即

c=Ja2+b2（a为“勾”,b为“股”,c为"弦”），若“勾”为2,“股”为3,则“弦”最接近的整数是（）

A.5B.4C.3D.2

4.沫沫要画NMON的平分线，她是这样操作的，首先以点O为圆心，任意长为半径画弧，分

别交OM、ON于点A、B,连接AB,然后拿一根细绳，将一端固定到O点，转动绳子，绳

子交AB于点C,当OC最短时，射线OC即为/MON的平分线，在这个过程中她用到的数

学知识有（）

①等腰三角形的概念；②垂线段最短；③等腰三角形“三线合一”的性质；④勾股定理.

A.①②B.①®®仁②®®D.①②③④

5.如图，在Rl^ABC中，NACB=90。，ZA=30°,D是斜边AB的中点，DE1AC,垂足为点

E,BC=2,则DE的长是（）

6.已知:在△ABC中，/A=60。，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件.现有下面

三种说法：

①如果添加条件"AB=AC"，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“NB=NC"，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等、那么△ABC是等边三角形.

上述说法中，正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

7.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,那么这个等腰三角形的顶角等于（）

A.55。或125。B.55°C.I25。D.35。或55°

8.如图，A,B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点

上，且△ABC为等腰三角形，则图中所有符合条件的点C应该有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

9.如图1,在△ABC中，AB=BC=2,ZB=120°,M是BC的中点，设AM=a,则表示实数a

的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（）

①②③④

/、/J-、、♦J-、、

ft\V/V%V/11

2?62?72?8Z93*

图2

A.①段C.③段D.④段

10.如图，从等边三角形内一点P向三边作垂线，垂足分别是Q、R、S,PQ=3,PR=4,PS=5,

则aABC的面积是（）

A.48B.4873D.96x/3

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.如图，AB±BC,AD±DC,请你添加一个条件，利用“HL”,

证明RsABC^RtAADC.

B

12.如图，在RtZkABC中，ZB=30°,以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D,

连接DC,则NDCB的度数是.

13.已知a、b、c是仆ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0,则此三角形的形状为.

14.若直角三角形斜边上的高是3,斜边上的中线是6,则这个直角三角形的面积是.

15.如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A,

测得NA=60。，ZC=90°,AC=1km.据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于km.

16.如图，已知AB=AiB,AIBI=AIA2,A2B2=A2A3,……，An/Bn-i=An/An（R2且n为整数）,

若ZB=48°,则ZA?022A2023B2022的度数为.

三、解答题（共52分）

17.（7分）如图，AC_LCB,DB±CB,垂足分别为C、B,AB=DC,求证:AC二DB.

H

18.（7分）如图,在△ABC中，ZACB=90°,

ZA=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.

⑴求证:AE=2CE；

⑵连接CD,请判断△BCD的形状，并说明理由.

d

“---1c

19.（8分）如图,在△ABC中,CD_LAB于点D,AC=20,BC=15,DB=9.

⑴求AD的长；

⑵判断△ABC的形状，并说明理由.

C

AD"

20.（8分）如图，AD是^ABC的角平分线，CE〃AD,与BA的延长线相交于点E,点F在

AD的延长线上，且FC=AC.求证：

（liAACE是等腰三角形；

（2）AB〃CF.

21.（10分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，

绳端从C移动到E,同时小船从A移动到B,绳子始终绷紧且绳长保持不变.

⑴若CF=7米，AF=24米，AB=18米，求男子向右移动的距离；（结果保留根号）

⑵在（1）的条件下，男子以0.5米每秒的速度收绳，该男子能否在30秒内将船从A处移动到

岸边点F的位置？

22.(12分)阅读下面材料：

某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究:在AABC中，

ZBAC=90°,AB=AC,D是BC的中点.

(1)如图1,若点E、F分别在线段AB、AC上，且AE=CF,连接EF、DE、DF、AD,此时

小明发现NBAD=°,ADDC(填，或接下来小明和同学们继续探究,

发现一个结论:线段EF长与DE长的比值是一个固定值，即EF=DE；

(2)如图2,E、F分别在线段BA、AC的延长线上，凡AE二CF,若EF=4,求DE的长；

⑶如图3,AB=AC=6,动点M在AD的延长线上，点H在直线AC上，且满足NBMH=90。，

CH=2,请直接写出DM的长为.

第十七章特殊三角形综合检测

答案全解全析

一、选择题

1.B用反证法证明命题”在△ABC中，若NA<NB,则a<b"时，应先假设心b,故选B.

2.AA.VZA：ZB：ZC=3：4：5,2ZC=180°xA=75°,

ZA=180°XA=45°,NB=180CX.=6（）。，.二△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；B.V

ZA=2ZB=2ZC,AZB=ZC=180°x

也45。，・・.NA=9（）。，.・.△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；

C.・・,32+53=（用>，•••△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；

D.VZA=20°,NB=70。，.・・/C=90。，.二△ABC是直角三角形，故此选项不合题意.故选A.

3.Bc=Ja2+b2（a为“勾”，b为“股”，c为"弦”），“勾”为2,“股”为3,则“弦”=7+袁=713,

•.12.25<13<16,・・・3.5<，B<4,・・・近5最接近4,即“弦”最接近的整数是4,故选B.

4.B首先以点O为圆心，任意长为半径画弧，可以得到OA=OB,根据等腰三角形的定义可

知COAB为等腰三角形，然后当OC最短时，根据垂线段最短可知此时OCJLAB,最后根据

等腰三角形“三线合一”的性质可知OC平分NMON.

5.AVDE±AC,ZA=30°,ADE=iAD,VNACB=90。,D是斜边AB的中点，.二AD=BD^AB,

VZA=30°,AAB=2BC=4,

/.AD=2,.,.DE=iAD=1,故选A.

6.A①若添加的条件为AB=AC,由NA=60。，利用有一个角为60。的等腰三角形为等边三角

形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为NB=NC,,・・NA=60。，・・・NB=NC=60。，

AZA=ZB=ZC,

・•・△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，设边AB、BC上的高

为h,V△ABC的面积gABh^BCh,

AAB=BC,・•・△ABC为等腰三角形，

VZA=60°,・•・△ABC为等边三角形.综上，正确的说法有3个.故选A.

7.A本题中容易出现遗漏钝角三角形的情况.当高在三角形内部时（如图1）,顶角是

90°-35°=55°；当高在三角形外部时（如图2）,顶角是90。+35。=125。.故选人.

2/

J)

I{cR

图1图2

8.B如图所示，①AB为等腰三角形的底边时，符合条件的点C有5个；②AB为等腰三角

形的一条腰时，符合条件的点C有3个.所以符合条件的点C共有8个.故选B.

9.A如图，过点A作AH_LBC交CB的延长线于点H,〃

VZABC=120°,.,.ZABH=60°,

.*.ZBAH=30°,VAB=2,AHB=1,AAH=A/22-12=V3,

VBC=2,M是BC的中点，ABM=1,AHM=2,

在RlZkAHM中，AM=jAH2+HM2=J(V3)2+22=V7,

,•,2.6＜々＜2.7,・••表示实数a的点落在①段上.故选A.

金

10.B如图，连接AP、BP、CP,过点A作AD_LBC于D,if苏C

VSAABC=;BC(PQ+PR+PS)=gBCAD,PQ+PR+PS=AD,

.*.AD=3+4+5=12,VZABC=60°,/.ZBAD=30°,ABD=|AB,设BD=x(x＞0),则AB=2x,

在RtAABD中，BD2+AD2=AB2,

x，+12』(2x)，，解得x-4V5,ABC-AB-2X4V3=8V3,

ASAABC=；BCAD与8V5X12=48V5.故选B.

二、填空题

11.答案AB=AD(答案不唯一)

解析可添力口AB=AD,理由:：ABJ_BC,AD1DC,

.\ZB=ZD=90°,在RSABC和RSADC中,傩：常

.♦・RSABC^RtAADC(HL).

12.答案30。

解析在RtAABC中，NB=3()。，ZA=60°,由作图可知AD=AC,△ACD是等边三角

形，AZACD=60°,AZDCB=90o-60°=30°.

13.答案等边三角形

解析由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0^5(a-b)2+(b-c)2=0>

a-b=0,b-c=0,a=b,b=c,a=b=c,.二该二角形是等边二角形.

14.答案18

解析,・,直角三角形斜边上的中线是6,・♦.斜边长=2x6=12,,・,直角三角形斜边上的高是3,

・・・这个直角三角形的面积寺12x3=18.

15.答案V3

解析・・・NA=60。，NO90。，AZB=30°,VAC=1km,

.*.AB=2AC=2km,ABC=JAB2-AC2=V22-l2=冉(km).故学校与工厂之间的距离是bkm.

16.答案舞

o

解析VAB=AiB,ZB=48°?AZAAiB=(180-48°)^2=66°,

•.WB-...NA/Bi争33］同理可得NA2A3B学，……,

•e•NA2O22A2O23B2022=2片22°

三、解答题

17.证明VAC1CB,DB1CB,

・•・△ACB与^DBC均为直角三角形，

在RfACB与RfDBC中，｛图版

ARtAACB丝RSDBC(HL),

/.AC=DB.

18.解析⑴证明:如图，连接BE,加A仁~

•「DE垂直平分AB,

，AE=BE,

.•.ZABE=ZA=30°,

ZACB=90°,・•・ZABC=60°,

:.ZCBE=ZABC-ZABE=303,

在RSBCE中，BE=2CE,；.AE=2CE.

（2IABCD是等边三角形.理由如下：

：DE垂直平分AB,・,・□为AB的中点，

VZACB=90°,ACD=BD,

VZABC=60°,・・・△BCD是等边三角形.

19.解析（1）・・・CD，AB,

.,.ZCDB=ZCDA=90°,

在RSBCD中，由勾股定理得CD=版292=」田子二⑵

在R3ACD中，由勾股定理得AD=JAC2-CD2=J2。2.122=16.

（2IAABC是直角三角形，

理由:由⑴知AD=16,

.*.AB=AD+DB=16+9=25,

在△ABC中，VAC2+BC2=202+152=625,AB2=252=625,

.\AC2+BC2=AB2,J△ABC是直角三角

20.证明⑴•・♦AD是^ABC的角平分线，

AZBAF=ZCAF,

・.・CE〃AD,AZCAF=ZACE,ZBAF=ZE,

AZE=ZACE,AAE=AC,

/.△ACE是等腰三角形.

（2iVFC=AC,AZCAF=ZF,

VZCAF=ZBAF,AZF=ZBAF,AAB/7CE

21.解析（l）・.・/AFC=90。，AF=24米，CF=7米，

.*.AC=j242+72=25（*）,

BF=AF-AB=24-18=6（米），

.,.BC=JCF2+BF2=J7?+62=假（米），

:.CE=AC-BC=（25-V85）X.

答:男子向右移动的距离为（25-演）米.

（2；・AC-CF=25・7=18（米）,

且男子以0.5米每秒的速度收绳，

・••收绳的时间为含36（秒），・・・36>30,

U・D

・・・该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置.

22.解析（l）・・・/BAC=90。，AB=AC,

/.ZB=ZC=45°.

・・•点D是斜边BC的中点，

・・・AD是BC边上的中线.

AD±BC,ZBAD=ZCAD=|ZBAC=1x90°=45°,

・・・NADC=90。，ZDAD=ZCAD=ZDCA,

.\AD=DC,

fAE=CF,

在^ADE和^CDF中，］zEAD=4C,

（AD=CD,

/.△ADE^ACDF（SAS）,

.*.DE=DF,NADE=NCDF,

・•・ZEDF=ZADE+ZADF=ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

/.△DEF为等腰直角三角形，

.*.EF=JDE2+DF2=V2DE2=V2DE.

⑵・.・NBAC=90。，AB=AC,

.*.ZB=ZBCA=45°