中考数学：应用题专项练习（实际问题与二次函数）

中考数学专题——应用题专项练习（实际问题与二次函数）

一.解答题（共11小题）

1.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店n勺客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼

卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购.2019年年底小张的“熟客”们共向小张

采购了5000箱鱼卷，到2021年底“熟客”们采购了7200箱.

（1）求小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；

4

（2）2021年底小张“熟客”们采订购他卷的数量占小张年底总销售量的3,由于鱼卷受到游客们的青睐，

小张做了一份市场调查，决定2022年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按2021年的

价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与2021年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下

调1至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在2022年底能获得的最大利润是多少元？

2.某种商品的市场需求量N（万件）、市场供应量”（万件）与市场价格x（元/件）分别近似地满足卜列

关系：巾=-"7（）72=2X-2（）.当产=”时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量.

（1）直接写出平衡价格为元/件，平衡需求量为万件；

（2）若该商品的市场销售量产（万件）是市场需求量pi和市场供应量》两者中的较小者，该商品的市

场销售额%（万元）等于市场销售量。与市场价格x的乘积.当市场价格x取何值时，市场销售额匹取

得最大值？

（3）该商品的每件成本为加元，若当15袈50时，随着x的增大，该商品的销售利润。（万元）经历

先减小后增大再减小的变化，请直接写出，〃的取值范围.

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3.水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）18元，每天可售出1000千克，经市场

调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低0.5元，每天多售出50千克设这种水果每千克降

价x元.销售量为y千克.

（1）求出J，与x之间的函数关系式；

（2）这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大，求出最大利润；

（3）如果该水果批发商每销售I千克这种高档水果，捐款，〃（0</H<4）元作为抗疫基金，当5q06时,

每天的最大利润为15000元,求m的值,

4.北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，

取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点4作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物

线/+*%+［近似表示滑雪场地上的一座小山坂，小雅从点。正上方4米处的力点滑出，

滑出后沿一段抛物线C2：尸/+|i+e运动.

17

（1）当小雅滑到离力处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为行米.求出c的值：

（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于与米，请求出。的取值范围.

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5.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，粮据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例

关系，如图1所示；种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利涧与投资量的

单位都是万元）.

（1）直接写出利润产与"关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是

多少？

(3)在(2)

接写出结果）

6.某农产品因供求关系变化，价恪波动较大，且每年均呈现一定的规律（该农产品保质期为10个月）.以

半个月为一个销售周期，设第x个销售周期的售价为y元/千克，成本价为s元/千克（其中W24,工为

整数，y为x的二次函数）.某商城市场部记录了去件的部分销售数据（如表），该农产品的成本价sHx

(-51x+2^1(0<x<12)

满足函数关系:s=]l"

jx-3(12<x<24)

X8101416

y54.254.255

（1）求歹关于x的函数关系式.

（2）①去年该农产品在哪几个销售周期能够盈利？

②设d=y-s,请求出d的最大值.

（3）若每个销售周期的进货量为定值m最大销售量为3a.为减少损失，商场仅可以在亏损周期内采取

停售的方式止损，在其它周期内的销售量至少为如果你是该商城市场部经理，请你设计一个合理的

销售方案，使今年销售该农产品的利润最大.

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7.3月14日，衢州进行了第一次全民核酸检测，某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采

样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得

到表：

时间X（分）0153045759095100110

人数y（个）601151601952352401801200

小明把数据在平面直角坐标系里，描成点，连成线，得到如图所示函数图象，在（）〜90分钟，y是x的

二次函数,在90〜110分钟，j是x的一次函数.

（1）如果8是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；

（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？

（3）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那

应的销售量为小（低）.市场调查反映：歹与x满足一次函数关系，且当x=3（）时，y=29；x=40时，y

=24.其中小=2什8（）.

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）当5至10时，求第几天第售利润最大？最大为多少？

（3）若第x天的销售价格上涨。元（0＜妙10）,发现在第3天到第13天中利润最大为2704元，求。

的值.

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9.某超市销售4、8两种玩具，每个片型玩具的进价比每个8型玩具的进价高2元，若用600元进d型玩

具的数量与用500元进B型玩具的数量相同.

（1）求4、4两种玩具每个进价是多少元？

（2）超市某天共购进力、4两种玩具共50个，当天全部销售完.销售力型玩具的价格y（单位：元/个）

与销售量x（单位：个）之间的函数关系是：），=-2丹80；销售A型玩具日获利〃？（单位：元）与销售

量〃（单位：个）之间的关系为：m=\6n-260.

①若该超市销售这50个玩具E获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？

②该超市购进的50个玩具中，8型玩具的数量不少于4型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决

定每个力型玩具降价。元销售，4型玩具的销售情况不变，若超市销售这50人玩具口获利

的最大值为820元，直接写出。的值.

10.科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小例球竖直向上运动的相关数据.无人机上升

到离地面3（）米处开始保持匀速啜直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）朕直向上弹射一个小钢球

（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同.其中

无人机离地面高度?（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度”

（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示.

(1)直接写出巾与x之间的函数关系式;

求出二与x之间的函数关系式;

(3)小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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11.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口〃离地竖直高度为方

（单位：m）.如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图

象；把绿化带横截面抽象为矩形。EFG,其水平宽度OE=3也，竖直高度为府'的长.下边缘抛物线是由

上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点力离喷水口的水平距离为2〃?，高出喷水口（）5〃，灌

溉车到/的距离OD为d（单位：〃?）.

图1

（1）若〃=1.5,EF=0.5m.

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OCx

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围.

（2）若E尸=1小.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出力的最小值.

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中考数学专题——应用题专项练习（实际问题与二次函数）

参考答案与试题解析

一.解答题（共11小题）

1.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店H勺客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼

卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购.2019年年底小张的“熟客”们共向小张

采购了5000箱鱼卷,到2021年底"熟客''们采购了7200箱.

（1）求小张的“熟客''们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；

4

（2）2021年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的;，由于鱼卷受到游客们的青睐，

小张做了一份市场调查，决定2022年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出出鱼卷，则按2021年的

价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与2021年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下

调1至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在2022年底能获得的最大利润是多少元？

【分析】（1）设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为m则可得方程5000（1+〃）2

=7200,再解方程即可；

（2）先求解2021年的总销量为9000箱，设2022年总利润为卬元，价格下调x元，则可建立二次函数

为卬=（15・x）（9000+1000x1,再利用二次函数的性质求解最大值即可.

【解答】解：（1）设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为

则5000（1+。）2=7200,

整理得：（1+〃）2=1.44,

解得：Xi=20%,x2=-2.2（负根不合题意舍去），

答：小张的“热客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为20%；

4

（2）V2021年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的3

4

・・・2021年小张年总销量为：7200-g=9000（箱），

设2022年总利润为w元，价格下调x元，

则】v=（15-x）（9000+1000.x；=-1000A-2+6000.V+135000=-1000（x-3）2+144000,

9：a=-1000<0,l<x<5,・••当x=3时,卬有最大值，最大值为14400,

所以小张在2022年底能获得的最大利润是144000元.

【点评】本题考查的是二次函数的应用，确定相等关系建立二次函数解析式是解题关键.

2.某种商品的市场需求量/（万件）、市场供应量户（万件）与市场价格x（元/件）分别近似地满足下列

第7页共22页

关系：yi=-x+7（）,N2=2x-20.当巾=>，2时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量.

（1）直接写出平衡价格为30元/件,平衡需求量为4D万件;

（2）若该商品的市场销售量产（万件）是市场需求量M和市场供应量/两者中的较小者，该商品的市

场销售额%（万元）等于市场销售量产与市场价格x的乘积.当市场价格x取何值时，市场销售额力取

得最大值？

（3）该商品的每件成本为/〃元，若当15%50时，随着x的增大，该商品的销售利润。（万元）经历

先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围.

【分析】（1）直接利用巾="，得出x的值进而得出答案：

（2）得出P与x之间的函数关系式，再利用二次函数最值求法得出答案；

（3）设蜜桔是俏售利润为M，万元，分108030和30V烂70两种情况分别列出w与x的函数关系式，再

结合对称轴得到不等式组，可得〃?的取值范围.

【解答】解：（I）令W-r+70=2r-20.可得x=3C\此时yi="=40.

故当巾=”时，可求平衡价格为30元，平衡需求量为40万件，

故答案为：30,40；

（2）根据题意得｛羡｝；；气，

解得10*70,

当y\<y2时，-x+70<2x-20,

解得x>30：

当y\^y2时，_x+70>2x-20>

解得烂3（）,

._（2x-20（10<x<30）

,•P=（-x+70（30<x<70）'

当10人30时，W=Px=2x1-20x,

V2>0,开口向上，对称轴为x=5V10,

又10S烂30,

越大,力越大,

当x=30时，"的=1200；

当30<在70时，W=Px=-«+70工，

V-1<0,开口向下，对称轴为x=35,

当x=35时，火《仆=1225>1200

第8页共22页

答：当市场价格x为35元/件时，市场销售额最大；

(3)当10人30时，。=-2O.v-(2x-20)m=Zr2-(20+2/〃)x+2()加：

当30<x<70时，Q=-«+701-(-.v+70)m=-x2+(70+w)x-70/〃，

*哈㈣>]5

根据题意得470金，

卜招个0

解得2()V〃?V3().

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，正确得出函数关系式是解题关键.

3.水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利(毛利润)18元，每天可售出1000千克，经市场

调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低0.5元，每天多售出50千克设这种水果每千克降

价x元.销售量为

y千克.

(1)求出y与x之间的函数关系式：

(2)这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大，求出最大利润；

(3)如果该水果批发商每销售1千克这种高档水果，捐款〃？(0V〃£4)元作为抗疫基金，当5W烂6时，

每天的最大利润为15000元，求m的值，

【分析】(1)根据题意直接写出)，与x的函数解析式；

(2)根据总利润=每千克的利润x俏售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；

(3)根据总利润=每千克的利润x销仕:量列出函数解析式，再根据函数的性质和x的取值范围确定出x

=5时函数有最大值，列出关于〃?的方程，解方程即可.

【解答】解：⑴根据题意得，y=1000+x50=l()(lv+l()0(),

即y与x之间的函数关系式为y=1OOx+lOOO：

(2)设这种水果每天获得的利润为w元，

根据题意得,w=(1001+1000)(18-X)=-100x2+800x+18000=-10()(x-4)2+19600,

V-100<0,

・••当x=4时，w最大，最大值为19600,

答：这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元;

(3)设此时的利润为“(元)，

根据题意得，卬'=(lOOx+lOOG)(18m)=-100?+(800-100/M)18000-1000/n,

淳卜在不士800—100m.1..

对称轴为戈=-2x(—1叫=4-亍〃V4,

第9页共22页

V-100<0,

.*.x>4—%?时，”/随x的增大而减小，

V5<v<6,

.•・当x=5时，”有最大值15000,

即（100x5+1000）（18-5-m）=15000,

解得：〃?=3,符合题意.

/zz=3.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解

答，我们苜先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在

自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

4.北京冬奥会的召开燃起J‘人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，

取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点力作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物

线G：）=一白好+孤似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点。正上方4米处的力点滑出，

滑出后沿一段抛物线Q：产加+|x+c运动.

（1）当小雅滑到离力处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为亨米.求出a,c的值；

10

（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于■米，请求出。的取值范围.

17

【分析】（1）根据题意将点（0,4）和（6,―）代入C2求出。、c的值即可；

（2）求出山坡的顶点坐标为（8,y）,根据题意即82a+8x,+4>学+学，再解出。的取值范围即可.

a17

【解答】解：⑴由题意可知抛物线C2：尸加+方+°、过点（（），4）和（6,y）,

317

将其代入得:36a+7x6+c=T>

c=4

第10页共22页

解得，1Q=_R

Vc=4

.1.

・・〃=一百，e=4：

（2）•・•抛物线C2经过点（0,4）,

；・c=4,

他物线Ci：y——务，+j=--^2（x-8）2+孕，

当x=8时，运动员到达坡顶，

即an8o2ut+o8x23+44、"^I"。+20

解得a>—备，

，-^2,工。<0.

【点评】本撅考杳二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的某本性质，并能将实际问题H二

次函数模型相结合是解决本题的关键.

5.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例

关系，如图1所示；种植花卉的利润歹与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利涧与投资量的

单位都是万元）.

（1）直接写出利润"与”关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是

多少？

（3）在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该园林专业户至少应投资种植花卉6万元.（直

接写出结果）ArA，'

图1图2

【分析】（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；

（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值；

（3）令w=22求出x的值即可得.

第11页共22页

【解答】解：（1）设川=去，由图1所示，函数yi=履的图象过（1,2）,

所以2=依1,k=2,

故利润与关于投资量式的函数关系式是”=2x（x>0）；

•・•该抛物线的顶点是原点，

，设

由图2所示，函数的图象过（2,2）,

*.2=a*2r,

解得:a=

故利润”关于投资量x的函数关系式是：尸界（於0）；

（2）因为种植花卉x万元（0，烂8）,则投入种植树木（8-x）万元

w=2（8-x）+0.5f=#-2r+16=④（x-2）2+14»

Va=0.5>0,0<x<8,

・••当x=2时，w的最小值是14,

Va=0.5>0,

・••当x>2时，w随x的增大而增大，

V0<r<8,

.•.当x=g时，卬的最大值是32：

答：他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元；

1

（3）根据题意，当w=22时，-（x-2）2+14=22,

解得：x=-2（舍）或x=6,

•.”=4（x-2）2+14在2-8的范围内随x的增大，卬增大，

，w>22,只需要x>6,

故保证获利在22万元以上，该园林专业户至少应投资种植花卉6万元，

故答案为：6.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用、求函数解析式通常用待定系数法，掌握函数的图象的特点是

解决本题的关键.

6.某农产品因供求关系变化，价格波动较大，且每年均呈现一定的规律（该农产品保质期为10个月）.以

第12页共22页

半个月为一个销售周期，设第X个销售周期的售价为y元/千克，成本价为S元/千克（其中。9W24,X为

整数，y为x的二次函数）.某商城市场部记录了去年的部分销售数据（如表），该农产品的成本价s与x

一需+4(0<x<12)

OL

满足函数关系：S

1x-3(12<x<24)

■乙

X8101416

y54.254.255

（1）求y关于x的函数关系式.

（2）①去年该农产品在哪几个销售周期能够盈利？

②设d=y-s,请求出d的最大值.

（3）若每个销售周期的进货量为定值a,最大销售量为3a.为减少损失，商场仅可以在亏损周期内采取

停售的方式止损，在其它周期内的销售量至少为如果你是该商城市场部经理，请你设计一个合理的

销售方案，使今年销售该农产品的利润最大.

【分析】（1）根据对应值设y=a（x-12）2+b,然后将点（8,5）,（16,5）代入可得关系式；

（2）①根据y与s的关系列出关系式，再利用二次函数的性质可得答案；

②根据题意分三种情况分别求出d的值，可得d的最大值；

（3）根据最大利润和销售方式可得合理的销售方案.

【解答】解：（1）由p与x的对应值可得，对称轴x=12,

设（x-12）2+b,

将点（8,5）,（16,5）代入得,

（5=16a+b

U.25=4a+b'

解得。=白，方=%

・・・y=^（x-12）24-4（0<x<24）：

q711

⑵①当0金目2时，一於+今=京（丫-12）2+4,

解得XI=4,X2=10,

当12WE24时,葭-3=77（%-12相+4,

216

解得XI=X2=16,

答：去年该农产品在0SE4,10S彩24这两个销售周期内出现盈利.

②当时，戈=（）时，y=\3,s=—,

第13页共22页

当10绡16时，x=12时，y=4,5=3,

:・dmax=4-3=1.

当16十W24时，x=24时，y=13,5=9,

**•d）»ax=13-9=4,

答：d的最大值为4.

（3）合理方案：第22周期销出2a,第23周期销售3〃，第24周期销出3/

【点评】本题考查二次函数和一次函数的实际应用，根据题意得出二次函数的函数解析式是解题关键.

7.3月140,衢州进行了第一次全民核酸检测，某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采

样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得

到表：

时间X（分）0153045759095100110

人数y（个）6011516019523524018()1200

小明把数据在平面直角坐标系里，描成点，连成线，得到如图所示函数图象，在。〜90分钟，y是x的

二次函数，在90〜110分钟，『是x的一次函数.

（1）如果8是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；

（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？

（3）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那

么至少需新增多少个采样窗口？，木

24(

21(

15(

12(

90

60

30

1530456075901051

【分析】（1）将44点的坐标代入二次函数解析式中即可;

（2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y=220分别代入两个函数求出大，相减即可得

出答案；

（3）首先利用一次函数求出一个窗口每分钟可以采样的人数，然后表示出总窗口数与时间的表达式，按

第14页共22页

照要求大于当前的人数即可：

【解答】解：(1)设二次函数解析式为：y=a(x-90)2+249,

1

将4(0,60)代入得—花■,

.二曲线力8部分的函数解析式为：y=—^.V2+4A+60：

(2)设8c的解析式为：y=kx+b,

将8(90,240),C(H0,0)代入，解得：k=-12,b=1320,

・・・8C的解析式为：y=-lZr+1320,

将歹=220代入产一焉』+4,什60中，解得：x=60或x=120(舍去)，

将>=220代入y=-12x+1320中，解得：x=挚，

27595

丁60=丁

95

，满负荷状态的时间为G■分：

(3)设至少需要新增加个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：24020+6=2,

10：15分时的排队人数为：将x=75代入y=-亲工2+4什60中，

解得:尸235,

9：45分至10：15分之间采样的人数为：2x30x6=360,235+360=595,

・•・10点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕，

・・・2x(相+6)X30>595,

解得：m>j2,

•・•/〃为整数,

.'."7=4,

・•・至少需新增4个采样窗口.

【点评】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图

象信息，正确求解解析式，理解问题中给出的限制条件，属于中考必考题.

8.端午节来临之际，某超市计划销售某品牌粽子.其进价为20元/奴.设第x天的销售价格为)，元/奴，对

应的销售量为机(kg).市场调查反映：N与x满足一次函数关系，且当x=30时，尸29；x=40时，y

=24.其中加=2x+80.

(1)直接写出y与X的函数关系式：

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(2)当5人10时，求第几天销售利润最大？最大为多少？

(3)若第尤天的销售价格上涨a元(OVaglO),发现在第3天到第13天中利润最大为2704元，求。

的值.

【分析1(1)用待定系数法可得)，与x的函数关系式为)，=一%+44；

(2)设利润为力元，可得"=(-lx+44-20)(Zv+8)=-(x-4)2+1936,根据二次函数性质可得

第5天销售利润最大，最大为1935元；

(3)设销售利润为。元，根据题意得：Q=(-3+44+a-20)(2x+80)=-x2+(8+2。)x+8a+1920,

(3<x<13),由0V处10,知4Va+4W14,分两种情况：①当4Va+4V13,可得-(a+4)2+(8+2。)(”+4)

+8^+1920=2704,解得a=8；②当a+生13时,可得-132+(8+2a)x]3+84+1920=2704,解得a=黑,

不符合题意，舍去.

【解答】解•：(1)设》=履+从

•・•当x=30时，y=29；x=40时，y=24,

・[30k+b=29

，，Uo/c+b=24，

f,1

解得

-b=44

与x的函数关系式为尸一1r+44：

J

(2)设利润为阴元,

根据题意得仍=(一3+44-20)(Zv+80)=-f+8x+1920=-(x-4)2+1936,

V-1<0,抛物线对称轴为直线x=4,

・・・5人10时，〃随x的增大而减小，

・・・x=5时，W取最大值，最大值为-(5・4)2+1936=1935(元),

答：第5天销售利润最大，最大为1935元；

(3)设销售利润为。元，

根据题意得：0=(-分+44+。-20)(2r+80)=-x2+(8+2a)x+80a+1920,(3<x<13),

抛物线对称轴为直线x=-"学=4+4,

一乙

V(Xa<10,

.\4<a+4<l4,

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①当4Va+4V13,即0V〃V9时，

当x=“+4时，。取最大值，

，-(t+4)2+(8+2。)(。+4)+80</+1920=2704,

解得〃=-96(舍去)或4=8,

；・此时。=8；

②当a+4213,即9&W10时，

当x=13时，。取最大值，

:.-132+(8+2〃)x13+80。+1920=2704,

蟀得。=黑，不符合题意，舍去，

综上所述，。的值为8.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式.

9.某超巾销售小8两种玩具，每个4型玩具的进价比每个8型玩具的进价高2兀，若用600兀进4型玩

具的数量与用500元进B型玩具的数量相同.

(1)求力、4两种玩具每个进价是多少元？

(2)超市某天共购进力、夕两种玩具共50个，当天全部销售完.销售力型玩具的价格y(单位：元/个)

与销售量x(单位：个)之间的函数关系是：y=-2x+80：销售8型玩具日获利〃？(单位：元)与销售

量〃(单位：个)之间的关系为：”=16〃-260.

①若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？

②该超市购进的50个玩具中，8型玩具的数量不少于4型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决

定每个力型玩具降价。元销售，6型玩具的销售情况不变，若超市销售这50人玩具日获利

的最大值为82()元，直接写出。的值.

【分析】(1)设5种玩具每种8元，则4种玩具每种(什2)元，根据题意列出方程，求解即可；

(2)设该超市的日利润为w元，由题意可知x+〃=50,所以〃=50-x,①由题意可知，w=(j-12)

x+m=(-2x4-80-12)x+16(5()-x)-260=-2?+52x+540,由该超市销售这5()个玩具3获利共300

元，所以-2?+5入+540=300,解该方程即可求出x的值，进而可得出〃种玩具的个数；设此时8种玩

具的售价为。元，则加=16x20-260=(c-10)x20,解之即可；

②根据题意可知，此时w=(y-12-A)x+m=(-2x+80-12-q)x+16(50-x)-260=-2?+(52

-〃)"540,由。的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由3型玩具的数量不少于力型

玩具数量的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可.

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【解答】解：(1)设8种玩具籽种方元，则力种玩具每种(计2)元,

600500

由题意可知，—=丁，

D+2b

解得6=10,

经检验，6=10是原分式方程的解且符合实际意义;

•••6+2=12,

:.B种玩具每种10元，则A种玩具每种12元；

(2)设该超市的口利润为卬元，

由题意可知工+〃=50,

72=50-X,

①由题意可知，w=(y-12)x+ni

=(-2x+80-12)x+16(50-x)-260

=-2f+52x+540,

V该超市销售这50个玩具日获利共300元，

・•・-2f+52x+540=300,

蟀得x=30或x=-4(舍).

/.n=50-x=20,

设此时8种玩具的售价为c元，

••“〃=16x20-260=(c-10)x20,

解得c=13,

・•・"型玩具的销售单价是13元：

②根据题意可知，此时w=(y-12-«)x+m

=(-2A-+80-12-a)x+16(50-x)-260

=-"+(52-a)x+540,

V0<a<6,

・・.46V52・QV52,

1

.•・H-<r=-52-a52-a

22^2)~T~

,：B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍,

/.n>4x,

A50-x>4.r,解得烂10,

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，当x=10时，W取得最大值,

，-2X102+10（52-4）+540=820,

解得a=4.

・•・”的值为4.

【点评】此题考查了二次函数的应用，涉及分式方程的应用，不等式的应用及一元二次方程的应用.解

题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数，再求解.

10.科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小包球竖直向上运动的相关数据.无人机上升

到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球

（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同.其中

无人机离地面高度巾（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度”

（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示.

（1）直接写出/与x之间的函数关系式：

（2）求出二与x之间的函数关系式；

（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

【分析】（1）先设出一次函数II勺解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；

（2）用待定系数法求函数解析式即可；

（3）当IV烂6时小钢球在无人机上方，因此求”-yi，当6V烂8时，无人机在小钢球的上方，因此求

FL”，然后进行比较判断即可.

【解答】解：（1）设6与x之间的函数关系式为#=h+b，

•・•函数图象过点（0,30）和（I,35）,

则｛出产

解得：C=30>

・•・>」与X之间的函数关系式为“=5X+30；

（2）：x=6时，^1=5x6+30=60,

•・•”的图象是过原点的抛物线，

设丁2=。/+力X，

・••点（1.35）,（6.60）在抛物线”=«？+勤上,

・[a+b=35

**t36a+6b=60'

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蟀得：仁二二，

.*./2=-5X2+40X,

答：”与x的函数关系式为”=-5X2+40X；

(3)设小钢球和无人机的高度差为y米，

Etl-5X2+40.V=0x=0或x=8,

①1V烂6时,y=yi・yi=・5f+40x-5x-30=-5x2+35x-30=-5(x-24-

'：a=-5<0,

，抛物线开口向下，

又・.・1V烂6,

上当x=(时，y的最大值为苦■:

,71

JX2

②6<启8时,y=yi-，2=5+3O十5x2_40x=5x-35x+30=5(x-1)2一詈，

•・Z=5>0,

・•・抛物线开口向上，

又•・•对称轴是直线x=]

・•・当时，y随X的增大而增大，

V6<,v<8,

・•.当x=8时，y的最大值为