2026版高考数学复习专题突破：2.6 函数的零点 精讲（解析版）

2.6零点定理（精讲）

考向一求零点

【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数y3x2的零点是（）

22

A．2B．0,2C．D．,0

33

【答案】C

22

【解析】由3x20，得x，所以函数y3x2的零点是.故选：C

33

【一隅三反】

2

1．（2025·吉林长春·二模）已知an为正项等比数列，若lga2,lga2024是函数f(x)3x12x9的两个零点，则

a1a2025（）

A．10B．104C．108D．1012

【答案】B

2

【解析】由题意可得lga2,lga2024为方程3x12x90的两个解，则lga2lga20244，

44

解得a2a202410，易知a1a2025a2a202410.

故选：B.

2．（24-25广东）若函数fxaxba0有一个零点是1，则函数gxax3bx的零点是（）

A．0,2B．1,3C．1,0,4D．1,0,1

【答案】D

【解析】由题意可得f1ab0，可得ba；

可得gxax3bxax3ax，

令gx0，因此ax3axaxx1x10，

解得x0或x1或x1；

因此函数gxax3bx的零点是1,0,1.

故选：D

1

3．（24-25高三下·福建福州·开学考试）函数fxsinx,x0,π恰有两个零点x,x，则

312

fx1x2.

1

【答案】

3

111

【解析】因为函数fxsinx,x0,π恰有两个零点x,x，所以fxsinx,sinx,

3121323

πxxπ

12

又f(x)sinx,在x0,π关于x对称，所以,即x1x2π,

222

111

fxxfπsinπ.故答案为：.

12333

考向二零点区间

2

【例2】（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数fxlnx的零点所在的大致区间是（）

x

1

A．,1B．1,2C．2,eD．e,3

e

【答案】C

2

【解析】f2ln210，fe10，

e

2

由fxlnx可知，函数在(0,)内单调递增，

x

2

根据零点存在定理，函数fxlnx的零点所在的大致区是2,e.

x

故选：C

【一隅三反】

1

1．（24-25河北）函数f(x)lnx的零点所在大致区间是（）

x

A．(1,2)B．(2,e)C．(e,3)D．3,e2

【答案】A

1

【解析】fxlnx的定义域为(0,)，

x

1

又ylnx与y在(0,)上单调递增，

x

1

所以fxlnx在(0,)上单调递增，

x

1

又f(1)10，f2ln20，

2

所以f(1)f(2)0，

1

根据函数零点存在性定理可得函数fxlnx的零点所在的大致区间为(1,2)，

x

故选：A.

2．（24-25·云南昭通）设函数fxlgx2x6，则函数fx的零点所在的区间为（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

【答案】C

【解析】ylgx和y2x6均为增函数，函数fxlgx2x6在区间0,上单调递增.

又f2lg246<0，f3lg366>0，

由零点存在性定理得，函数fx存在唯一零点在区间2,3上.故选：C.

1

3．（2025湖南）函数fxlogxsinx的零点所在的区间为（）

22

111

A．,B．,1

422

C．1,2D．2,3

【答案】C

11111

【解析】因为f1sin0，f1sin10，f21sin20，所以f1f20，

22222

1

所以函数fxlogxsinx的零点所在的区间为1,2，故选：C．

22

考向三根据零点区间求参数

【例3-1】（24-25河南）已知函数fxx2x2的零点在区间n,n1内，且nZ，则n的值为（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】B

【解析】因为函数fxx2x2定义域为R，yx2与y2x均在R上单调递增，

所以fx在R上单调递增，又f010,f110，即f0f10，

由零点存在性定理可得，fx的零点所在区间为0,1，所以n0．

故选：B．

2

【例3-2】（2025·山西阳泉）函数fxlog2xxm在区间1,2存在零点．则实数m的取值范围是（）

A．,5B．5,1C．1,5D．5,

【答案】B

22

【解析】由y1log2x在0,上单调递增，y2xm在0,上单调递增，得函数fxlog2xxm在

区间0,上单调递增，

2

因为函数fxlog2xxm在区间1,2存在零点，

f10log112m0

所以，即2，解得5m1，

2

f20log222m0

所以实数m的取值范围是5,1.

故选：B.

【一隅三反】

1．（2025湖南长沙·期末）若fxx2xa的零点所在的区间为1,1，则实数a的取值范围为（）

3715

A．2,B．3,C．3,D．0,

4424

【答案】C

【解析】因为fxx2xa的零点所在的区间为1,1，又函数fxx2xa在R上单调递增，则需

11

f1f10，即a1a120，解得3a.故选：C.

22

2．（2025江苏镇江）函数yx22axa1在(0,1)上存在零点，则实数a的取值范围是（）

A．0a1B．a0或a1C．a1D．a1或a0

【答案】B

【解析】令f(x)x22axa1，

2

221

因为4a4(a1)4(aa1)4a30，

2

所以函数图象与x轴有两个交点，

因为函数f(x)x22axa1在(0,1)上存在零点，且函数图象连续，

f(0)0

所以f(0)f(1)0，或f(1)0，

0a1

a10

所以(a1)(a)0，或a0，

0a1

解得a0或a1

故选：B

3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题p：函数f(x)2x3xa在1,2内有零点，则命题p成立的一个

必要不充分条件是（）

A．3a18B．3a18C．a18D．a3

【答案】D

【解析】函数f(x)2x3xa在R上单调递增，由函数f(x)2x3xa在1,2内有零点，

f(1)3a0

得，解得3a18，即命题p成立的充要条件是3a18，

f(2)18a0

显然3a18成立，不等式3a18、3a18、a18都不一定成立，

而3a18成立，不等式a3恒成立，反之，当a3时，3a18不一定成立，

所以命题p成立的一个必要不充分条件是a3.故选：D

考向四零点个数

1

【例4-1】（2025河南）函数f(x)|()x1|logx的零点个数为（）

22

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

11

【解析】由f(x)0，得|()x1|logx，因此函数f(x)的零点即为函数ylogx与y|()x1|的图象交点横

2222

1

坐标，在同一坐标系内作出函数ylogx与y|()x1|的图象，如图，

22

1

观察图象知，函数ylogx与y|()x1|的图象有唯一公共点，

22

1

所以函数f(x)|()x1|logx的零点个数为1.故选：B

22

π

【例4-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数f(x)2sin(2x)与函数g(x)lnx的图象交点个数为（）

3

A．3B．5C．6D．7

【答案】B

π

【解析】函数f(x)2sin(2x)定义域为R，最小正周期为π，f(x)2，当0x1时，f(x)0，

3max

函数g(x)lnx在定义域(0,)上是增函数，当0x1时，g(x)0，当xe2时，g(x)2，

π

因此函数f(x)2sin(2x)与函数g(x)lnx的图象交点横坐标只能在区间(1,e2]上，

3

在同一坐标系内作出函数yf(x),yg(x)的部分图象，如图：

π

观察图象知，函数f(x)2sin(2x)与函数g(x)lnx的图象交点个数为5.

3

故选：B

x22x2,x0

【例4-3】（2025·四川巴中·一模）已知函数fx，则方程ffx22实数根的个数为（）

lnx,x0

A．6B．7C．10D．11

【答案】D

2

x2x2,x02

【解析】因为fx，当x0时fxx22x2x11，

lnx,x0

所以fx在,1上单调递减，在1,0上单调递增，且f11，f0f22；

lnx,x1

当x0时fxlnx，所以fx在1,上单调递增，在0,1上单调递减，又

lnx,0x1

fe2fe22；

作出函数fx的图象，如图所示：

令fx2t，则有ft2，

易得此时有个解，分别为，，2，2，

4t12t20t3et4e

结合图象可得：

当t2时，即fx0，此时有1个解；

当t0，即fx2时，有4个解；

2

当te2，即fx2e有3个解；

2

当te2，即fx2e有3个解；

所以原方程共有143311个解．

故选：D

【一隅三反】

1．（2025北京）函数fx2xx2的零点个数为

【答案】3

【解析】由题意可知：要研究函数fxx22x的零点个数，只需研究函数y2x，y=x2的图像交点个数即可.

x2

画出函数y12，y2x的图像，

因为x1时，y1y2，x3时，y1y2，x5时，y1y2，

可知当1x3和3x5时，图像各有一个交点，x0时，必有一个交点，

且交点为A2,4，B4,16及第二象限的点C.

2．（2024高三·全国·专题练习）函数fx2xcosxx的零点个数为．

【答案】4

【解析】令fx0，得x0或2cosxx．

设y12cosx，y2x，在平面直角坐标系中先画出y2cosx的图象，

保留x轴上方的部分图象并把x轴下方的图象向上翻折即得y12cosx的图象，

再作出y2x的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点.

综上所述，函数fx共有4个零点．

故答案为：4.

3（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数fx3sin2xcosx，则函数fx在区间π,2π上的零点个

数为

【答案】5

【解析】令f(x)3sin2xcosx0，即32sinxcosxcosx0，亦即cosx(6sinx1)0.

3

当cosx0时，在区间π,2π上，x,,.

222

1

当6sinx10，即sinx时，

6

11

在一个周期[0,2]内，sinx有两个解，在区间π,2π上，sinx也有两个解.

66

1

由上述计算可知，cosx0有3个解，sinx有2个解，

6

所以函数f(x)在区间π,2π上的零点个数为325个.

4．（2024·山东·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有fx2f2x0，

当x0,2时，fxlnx，则fx在10,10上的零点个数为

【答案】21

【解析】因为fx2f2x0，令t2x，得到f(4t)f(t)0，

所以f(4t)f(t)，从而有f(4t)f(t)，又函数fx是定义在R上的奇函数，

所以f(4t)f(t)，即f(4x)f(x)，所以函数fx的周期为T4，

令x2,0，则x0,2，又当x0,2时，fxlnx，

所以fxln(x)，得到fxln(x)，

lnx,x(0,2)

故fx0,x0，又T4，所以f(x)在x[10,10]上的图像如图，

ln(x),x(2,0)

又当x0,2时，由fx0，得到x1，当x2,0，由fx0，得到x=1，即f(1)0,f(1)0，

又T4，所以f(8)f(4)f(0)f(4)f(8)0，

f(9)f(5)f(1)f(3)f(7)0，f(7)f(3)f(1)f(5)f(9)0，

又由fx2f2x0，得到f2f20，即f20，

所以f(10)f(6)f(2)f2f(6)f(10)0，

再结合图像知，fx在10,10上的零点个数为21个，

考向五已知零点个数求参数

logx,0x4

2

【例】．（湖南二模）若函数与直线ya恰有三个交点，则的取值范围

5-12025··fx12a

x2x1,x4

2

是（）

A．1,2B．1,2C．1,2D．1,2

【答案】D

【解析】画出fx的图象，

由图象可知a的范围是1,2.

故选：D

x1,x0,

【例】（浙江）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的

5-22025·aRfx2yffxa

xax,x0,

取值范围为（）

A．2,0B．0,1C．1,0D．0,2

【答案】A

a

【解析】由题意知，fxx2ax的对称轴为x，

2

a

当0即a0时，fx的图象如图1，此时令ffx0，可得fx1，

2

观察图象可解得x0或x2，即方程有两个根，则此时yffx只有两个零点，不合题意；

a

当0即a0时，fx的图象如图2，此时令ffx0，可得fx1或fxa，

2

因为x0和x2均为fx1的根，

所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且当时，．

yffxfxaa0,x0fxmax1

a

当x0时，fxx2ax的对称轴为x0，

2

aa2

则fxf1，解得2a2，

max24

故2a0．

综上，a的取值范围为2,0．

故选：A.

【一隅三反】

x3

1

1,x0

1．（24-25云南）已知函数fx2，若函数yfxt有2个零点，则t的取值范围是

2

2x4x1,x0

【答案】t|0t1或t1

【解析】由函数解析式可画出函数图象如图：

若函数yf(x)t有2个零点，可得函数f(x)与函数yt有两个交点，可得0t1或t1.

1

2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数fxxlnxax2x恰有2个极值点，则实数a的取值范围为.

2

1

【答案】0,

e

1

【解析】因为函数fxxlnxax2x的定义域为0,，

2

1

由fxxlnxax2x，可得fxlnx1ax1lnxax，

2

要使函数fx有两个极值点，只需fx0有两个不同正根x1,x2，并且x1,x2在的两侧的单调性相反，

lnx

由fx0得，lnxax0，所以a，

x

lnx

由题意可知y与ya有两个不同的交点，

x

lnx1lnx

令h(x)，则h(x)，

xx2

lnx

所以当0xe时，h(x)0，函数h(x)在0,e上单调递增，

x

lnx

当xe时，h(x)0，函数h(x)在e,上单调递减，

x

1

所以h(x)h(e)，当x时，h(x)0，

e

作出图形如图所示：

1

由图象可得实数a的取值范围为0,.

e

1

故答案为：0,.

e

ex2,x0

2

3．（2025·安徽池州·二模）已知函数fx1，若fxa2fx2a0有4个互不相同的根，

x,x0

x

则a的取值范围为

【答案】2,3

【解析】令tf(x)，则方程f2(x)(a2)f(x)2a0可转化为t2(a2)t2a0.

2

对t(a2)t2a0进行因式分解可得(t2)(ta)0，则t12，t2a.

所以f(x)2或f(x)a.

当x0时，fxex2，因为指数函数yex在(,0]上单调递增，所以fxex2在(,0]上单调递增，

且f(x)(2,3].

11x21(x1)(x1)

当x0时，f(x)x，对其求导，f(x)1.

xx2x2x2

(x1)(x1)

令f(x)0，即0，解得x1（x0）.

x2

当0x1时，fx0，f(x)单调递减；

当x1时，fx0，f(x)单调递增.

1

所以f(x)在x1处取得极小值，也是最小值，f(1)12.

1

对于f(x)2：

12

当时，x2，即2，，解得，有个根

x0xx2x10(x1)0x11.

因为f2(x)(a2)f(x)2a0有4个互不相同的根，f(x)2已经有1个根，所以f(x)a需要有3个不同的根.

结合f(x)的图象可知，当2a3时，yf(x)与ya有3个不同的交点，即f(x)a有3个不同的根.

a的取值范围为(2,3].

考向六比较零点大小

x

【例6】（24-25高三上·天津和平·期末）设a，b，c分别为函数fxxlnx1，gxxe1，hxxx1

的零点，则a，b，c的大小关系为（）

A．bcaB．bacC．cbaD．cab

【答案】A

【解析】

11

又由fxxlnx10，得lnx，即函数ylnx与y的交点横坐标就是a，

xx

1

根据ylnx递增且过点1,0，y在0,递减，由图可得：a1，

x

11

又由gxxex10，得ex，即函数yex与y的交点横坐标就是b，

xx

1

根据yex递增且过点0,1，y在0,递减且过点1,1，由图可得：0b1，

x

由于，根据幂函数3，解得，即，（也可以数形结合判断）

hxxx10x21x1c1

综上可知：bca，

故选：A.

【一隅三反】

x3

1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数fx2x,gxlog2xx,hxxx的零点分别为a，b，

c，则a，b，c的大小顺序为（）

A．abcB．bcaC．cabD．bac

【答案】B

【解析】

由题意得fx2xx,hxx3x在R上单调递增，

gxlog2xx在0,上单调递增，

1

又f10，f010，故a1,0，

2

111

g110，g0，故b,1，

222

h00，故c0，

故bca.

故选：B

x

1a

2．（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知函数f(x)x的零点为a，be，clna，则a，b，c的

2

大小关系为（）

A．abcB．acbC．cabD．cba

【答案】C

【解析】

xxx

111

因为a是fxx的零点，则a为x的解，分别做yx与y的图像如下，

222

如图可知a0,1，所以beae01，clnaln10，

所以cab.

故选：C

x3

3．（24-25重庆长寿·期末）已知函数fx3x,gxlnxx,hxxx的零点分别为x1,x2,x3，则x1,x2,x3

的大小顺序为（）

A．x1x2x3B．x3x2x1C．x2x1x3D．x1x3x2

【答案】D

【解析】

xx

fx3x的零点x1可以看成函数y3与yx图象交点的横坐标，根据函数图

象可知x10，

同理gxlnxx的零点x2可以看成函数ylnx与yx图象交点的横坐标，根据函数图象可知x20，

33

hxxx的零点x3可以看成函数yx与yx图象交点的横坐标，可得x30，

因此x1x3x2，

故选：D.

考向七零点之和

【例7-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）偶函数fx满足fxf2x，当x0,1时，fxx2，则方

1

程fx在1,7上所有的实数根之和为（）

2

A．20B．22C．24D．26

【答案】C

【解析】当x0,1时，fxx2，当x1,0时，x0,1，则fx(x)2x2，

又fx是偶函数，则fxf(x)，所以x1,0时，fxx2，

又fxf2x，所以fx的周期T2，其在区间1,7上的图象如图所示，

1

不妨设yfx与y在区间1,7上的交点分别为x,x,x,x,x,x,x,x，

212345678

由图可知，x1x2x3x4x5x6x7x80481224，

1

则方程fx在1,7上所有的实数根之和为24，

2

故选：C.

π3π

【例7-2】（24-25高三上·河北邢台·期中）函数ysinx3cos4x,x[,]的所有零点的和为（）

22

A．2πB．3πC．4πD．6π

【答案】C

【解析】由ysinx3cos4x0可得sinx3cos4x，

π3ππ3π

则函数ysinx3cos4x,x[,]的零点即函数ysinx与函数y3cos4x在[,]上的交点的横坐标.

2222

π

对于函数y3cos4x，其最小正周期为，

2

ππ

当x[,]时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,

24

π

当x[,0]时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.

4

ππ3

类似可得函数y3cos4x在区间[0,],[,π],[π,π]上的图象变化情况.

222

π3π

如图分别作出ysinx和y3cos4x在[,]上的图象如下.

22

π3ππ

由图可知，两函数在[,]上的图象关于直线x对称，

222

π

故两者的交点A,B,C,D与H,G,F,E也关于直线x对称，

2

故xAxBxCxDxExFxGxH

(xAxH)(xBxG)(xCxF)(xDxE)

ππππ

22224π.

2222

π3π

即函数ysinx3cos4x,x,的所有零点的和为4π.

22

故选：C.

【一隅三反】

2x5113n

．（江西）函数在区间上的零点设为，，则（）

12025·fx2sin1xπ,x1,x2,x3,…xnxi

x322i1

A．6B．18C．12D．16

【答案】B

2x52x62x5

【解析】由fx2sin1xπsinππx0

x3x3

11

得sinπx0，即sinπxx3，

x3x3

1

∵ysinπx与y均关于点3,0对称，

x3

由图可知，两函数有6个交点，不妨设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x1x2x3x4x5x6，

根据对称性得x1x6x2x5x3x46，

113

故函数fx在,上所有零点之和为3618．

22

故选B．

2．（24-25高三上·陕西·期中）已知定义在R上的奇函数fx满足fxefxe，当x0,e时，fxlnx，

则fx在区间e,2e内的所有零点之和为（）

A．3e1B．2eC．2e1D．0

【答案】A

【解析】因为fx是定义在R上的奇函数，所以f00；

因为fxefxe，所以fx的周期T2e且fxefex，

所以fefefe0，

因为当x0,e时，fxlnx，所以f10，所以f1f(1)0，

所以f12ef(1)0，

故fx在区间e,2e内的零点为1,0,1,e,12e，其零点之和为3e1，

故选：A.

3．（24-25福建泉州）函数f(x)cos(x1)在区间[3,5]上的所有零点之和等于．

3

【答案】2

5

【解析】令cos(x1)0，则x1k,kZ，得x3k,kZ，

3322

1551

因为x[3,5]，所以x,，则所有零点之和为2.

2222

故答案为：2

4．（2024·四川绵阳·一模）已知函数f(x)|ln|x2||m，m为正的常数，则f(x)的零点之和为．

【答案】8

【解析】函数f(x)的定义域为{xR|x2}，

由f(x)0，得|ln|x2||m，令函数g(x)|ln|x2||，

g4xln4x2lnx2gx，则函数gx的图象关于直线x2对称，

在同一坐标系内作出直线ym(m0)与函数yg(x)的图象，如图，

直线ym(m0)与函数yg(x)的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4，

观察图象得x1x4x2x34，所以f(x)的零点之和为8.

故答案为：8

考向八零点的取值范围

lgx,0x10

【例8-1】（24-25安徽）已知函数fx1，若a，b，c，d互不相等，且fafbfcfd，

x6,x10

2

则abcd的取值范围为（）

A．26,B．14,

341221

C．26,D．26,

1010

【答案】C

11

【解析】令lgx1，则x或x10，令x61，则x10或x14，

102

由解析式知：f(x)在0,1上递减且值域为(0,)，在1,10上递增且值域为0,1，在10,12上递减且值域为

0,1，在12,上递增且值域为(0,)．

作出fx的草图如下，

令fafbfcfdm，不妨设abcd，则a，b，c，d为曲线f(x)与直线ym的交点横坐标，

1

由图知：cd24，ab1且a1b10c12d14，

10

1

则abcd24a，

a

111101

由对勾函数可知ya在,1上递减，故ya2,，

a10a10

1341

故abcd24a26,.

a10

故选：C

logx,0x2,

【例】（山东济宁）（多选）已知函数2若方程有个不同的零

8-224-25fx2yf(x)m4

x8x13,x2,

点x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则（）

A．0m1B．x1x21

x3x4x4

C．x3x44D．的取值范围为(43,6)

8x1x2

【答案】ABD

log2x,0x1

【解析】由题得fxlog2x,1x2，所以作出fx和ym的图象如下：

2

x43,x2

因为方程yf(x)m有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，

所以0m1，令f(x)m，则由图可知log2x2log2x1,x3x48，

故x2x11,x3x48，0m1，故C错误，AB正确，

令x28x131，则x2或x6；

2

令x8x130，则x43或x43，所以43x46

x3x4x4

所以x443,6，故D正确.

8x1x2

故选：ABD

【一隅三反】

1

1,0x1

x

1．（24-25浙江绍兴）（）许多设函数fx.若xx，且fxfx，则（）

11212

1,x1

x

1

A．0xB．2xxxx

121212

C．x1x2