用直接开平方法解一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程新课导入求下列各数的平方根：

探究新知先来看一个简单的一元二次方程

根据平方根的意义，得

即x1=2，x2=－2.

（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；

探究：

提出问题：(1)(________)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？(4)上述所解方程有什么共同点？

由方程

(x＋3)2＝5,

①

于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为

由此想到：在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了。例1

解下列方程：

解：移项，并将二次项系数化为1，

由此可得x+2

=±3，即x1=1，x2=－5.

知识归纳1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个______的实数根____________________；(2)当p＝0时，方程有两个_______的实数根______________；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程______实数根．不相等

相等x1＝x2＝0无一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？请谈谈如何降次．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为两个__________方程．一元一次例1例题与练习解下列方程：(1)x2－36＝0；

(2)2y2＝100；

(3)16p2－5＝0.解：(1)x1＝6，x2＝－6.

例2解下列方程：(1)2(2x－1)2－10＝0；解：由2(2x－1)2－10＝0，得(2x－1)2＝5.

(2)y2－4y＋4＝8；解：原方程可化为(y－2)2＝8.

(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.解：原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2.由此可得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，2(3x－1)＝3(3x＋1)，或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，

例3

已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2.∴原方程为(x－3)2＝9，解得x1＝6，x2＝0.∴另一个根为x＝0.1.解下列方程：（1）x2－9=0；

（2）2x2-8=0；解：2x2=8解：x2=9x1=3，

x2=－3x2=4x1=2，

x2=－2（4）(x+6)2-9=0；（3）9x2－5=3；

解：(x+6)2=9x+6=±3x1=－3，

x2=－9（6）x2-4x+4=5.（5）3(x－1)2－6=0；解：3(x－1)2=6(x－1)2=2

解：

(x-2)2=5

2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为

(

)A．2

B．－2

C．±2

D．不能确定C3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为

(

)A．8

B．8或－2

C．－2

D．284．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝________．A

课堂小结

2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．随堂检测1、一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（

）A.x-6=-4 B.x-6=4C.x+6=4 D.x+6=-4D3.方程3x2+9=0的根为（

）A.3 B.－3