公式法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2降次——解一元二次方程25.2.2公式法新课导入用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；

(2)2x2－3x－5＝0.解：(1)x1＝－1，x2＝－2；

任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？探究新知探究：任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能否用配方法得出它的解呢？提出问题：运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得_______________，二次项系数化为1，得_____________，两边同时加一次项系数一半的平方，得______________________．左边写成完全平方式，右边整理得_________________；ax2＋bx＝－c

移项，得ax2+bx=－c

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？因为a≠0，所以4a2＞0.

方程有两个不等的实数根

式子b2-4ac的值有以下三种情况：

Δ的符号方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况Δ＞0有两个不等的实数根Δ＝0有两个相等的实数根Δ＜0无实数根

解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识归纳1．式子_________叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)______________________；Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____________________；Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)______________．b2－4ac有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根

Δ≥0求根公式一元二次方程根的情况是由什么决定的？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？①将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);易错点：计算Δ的值时，注意a,b,c符号的问题.用公式法解一元二次方程的一般步骤：②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0,则方程无实数根.例1例题与练习解：因为a=1，b=−4，c=−7(1)x2−4x−7=0；用公式法解下列方程：所以Δ=b2－4ac=(−4)2−4×1×(−7)=44>0

方程有两个相等的实数根(3)5x2−3x=x+1；

方程有两个不相等的实数根

解：方程化为x2-8x+17=0，方程无实数根(4)x2+17=8x.

回到本章引言中列出的一元二次方程x2+5x−25=0用公式法解这个方程，得

关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09m.例2不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－2x＋1＝0；解：(1)∵Δ＝b2－4ac∴方程有两个相等的实数根；＝(－2)2－4×1×1＝0，(2)∵Δ＝b2－4ac＝42－4×3×5＝－44＜0，(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0.∴方程无实数根；(3)∵Δ＝b2－4ac＝72－4×(－1)×6＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根．例3

关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，

(2)答案不唯一，如：m＝1.(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.例3

关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．（1）x2+x－6=0；1.解下列方程：解：因为a=1，b=1，c=−6所以Δ=b2－4ac=12−4×1×(−6)=25>0

方程有两个不相等的实数根

方程有两个不相等的实数根（3）3x2－6x+4=0；

所以方程无实数根.

（4）2x2－3x

=0；

方程有两个不相等的实数根（5）x2

+4x+8=4x+11；

方程有两个不相等的实数根

（6）x(2x－4)

=5－8x.

方程有两个不相等的实数根

2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则

(

)A．k＝－4

B．k＝4

C．k≥－4

D．k≥4B3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是

(

)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根D4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．m＞－4课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数,方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果．随堂检测1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（

）

A.b2-4ac=0B.b2-4ac＞0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≥0B2、已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2−2x−3=0.下列说法正确的是（）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解B3、如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？x2－75x+350=0Δ=b2－