二次函数与一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3二次函数与一元二次方程新课导入1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_______.2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__________．x＝1x＝－23．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时,它就变成了一个一元二次方程,由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系.那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？探究新知以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.思考：如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？(1)y=x2+x−2;(2)y=x2−8x+16;(3)y=x2−x+1.由此，你能说说方程x2+x−2=0，x2−8x+16=0，

x2−x+1=0.的根的情况吗？(1)由图可以看出抛物线y＝x2＋x－2与x轴有几个公共点？它们的横坐标分别是什么？提出问题：两个−21当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此得出方程x2＋x－2＝0的根为多少？0x1=−2x2=1(2)由图可以看出抛物线y＝x2－8x＋16与x轴有几个公共点？公共点的横坐标是多少？一个4当x为多少时，函数值是0？由此得出方程x2－8x＋16＝0的根为多少？x=4x1=x2=4(3)由图可以看出抛物线y＝x2－x＋1与x轴有没有公共点？由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？没有公共点没有实数根反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况.(4)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系吗？二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系:例1

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t−5t2的根的问题.Ohth=20t−5t2解：当h=20时，由函数关系h=20t-5t2，列得方程：20=20t

-5t2.即t2-4t+4=0.解方程，得t1=t2=2.这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t−5t2的函数值为20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.从上面可以发现，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0二次函数与一元二次方程的关系：已知二次函数中因变量的值，求自变量的值求相应的一元二次方程的根知识归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得如下结论：(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．例1例题与练习利用函数图象求方程x²−2x−2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）.解：画函数图象如图所示:它与x轴的公共点的横坐标大约是−0.7，2.7.所以方程x2−2x−2=0的实数根为x1≈−0.7，x2≈2.7.我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根.当自变量为3时的函数值大于0.当自变量为2时的函数值小于0.当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0.即方程x²−2x−2=0在2，3之间有根.(2,−2)(3,1)例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间.....可以看到：例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875−2.75|=0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.你能用这种方法得出方程x2−2x−2=0的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.例2

解：(1)A(6，－3)，B(－4，2).(2)－4＜x＜6.

(3)x＜－4或x＞6.例3

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，请根据图象信息回答问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两根；解：(1)x1＝0，x2＝4.(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出方程ax2＋bx＋c＝2.5的两根；(2)x＜0或x＞4.(3)x1＝－1，x2＝5.(4)写出不等式ax2＋bx＋c＜2.5的解集；(5)若方程ax2＋bx＋c＋1－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．(4)－1＜x＜5.(5)k＞－1.1.关于例1，回答下列问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？（2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？(1)能，1秒和3秒；(2)不能；(3)全程落地用时4秒。2.利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）：（1）x2−3x+1=0；

（2）−x2−x+1=0.

开口向下，解方程：

3．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(

)A．y＝3x2－9x＋3B．y＝2x2－4x＋12C．y＝x2－6x＋9D．y＝5x2－3x＋9A4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是()A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09C5．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，另一个解为x2＝_______，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集为______________.－1x＜－1或x＞3课堂小结1．二次函数与一元二次方程的联系．2．注重数形结合法的掌握和运用．随堂检测1、已知二次函数y=x2−3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是(

).A.x1=1,x2=−1 B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3B2、二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(

).A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3