非最值类抛物线形实际应用问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4实际问题与二次函数第3课时非最值类抛物线形实际应用问题新课导入现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？探究新知探究2

一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少？提出问题：对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的函数解析式就好了．你能确定这条抛物线的函数解析式吗？水面上升1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题．为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点（5，−4），可得−4

=a×

52.

当水面上升1m时，水面的纵坐标为−3.

你还有其他的解决方法吗？知识归纳1．将线段长度转化为点的坐标问题．2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．例1例题与练习

如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20m，顶点M距水面6m(即MO＝6m)，小孔顶点N距水面4.5m(即NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.解:设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6.依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0，解得a＝－0.06，当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，∴DE＝DF＝5m，即y＝－0.06x2＋6.解得x＝±5.∴EF＝10m，即水面宽度EF为10m．例2

如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，

∴抛物线的函数解析式为y＝2x2＋0.5.∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5.答：绳子的最低点距地面的距离为0.5m．

1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是______s.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？解：(1)能投中．由题意，设篮球运行轨迹的抛物线为y＝a(x－4)2＋4.

∴能投中．

(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能否获得成功？(2)当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功．课堂小结利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题．随堂检测1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是

.y=−3.75x2

D

把y=3.05代入方程：

运动员的位置在x=−3.2处,篮筐正下方在x=2m处,所以l=2−(−3.2)=5.2

m答：运动员到篮筐正下方的距离

l为5.2

m.

4、对于探究2，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装满物资的小