用配方法解一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第2课时用配方法解一元二次方程新课导入1．填空：(1)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；(2)x2－5x＋(______)2＝(x－______)2；(3)x2＋x＋(______)2＝(x＋______)2.93

2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是________．±16探究新知解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？要把方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.对方程x2＋6x＋4＝0移项，得x2＋6x＝−4

.

左边写成完全平方形式，得(x+3)2＝5.

像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？x2＋6x＋9＝−4＋9配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？解方程3x2－2x－1＝0.如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程.解方程3x2－2x－1＝0.解：移项，得：3x2

−2x=1.

用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；②二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；③配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；④降次，利用平方根的意义降次；⑤解两个一元一次方程，移项、合并同类项.

知识归纳1．通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．完全平方2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：(1)先化成____________；(2)将常数项移到等式右边；(3)两边除以____________；(4)方程两边都加上______________________；(5)将等式左边化成________________；(6)两边开方，并求出方程的解．一般形式二次项系数一次项系数一半的平方完全平方形式(1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？提出问题：(2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？(3)配方过程中还需注意哪些问题？例1例题与练习(1)x2-8x+1=0；

(2)2x2+1=3x；

(3)3x2-6x+4=0.分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.解下列方程：(2)先把方程化成

2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.解：移项，得：x2−8x=−1.(1)x2-8x+1=0；配方，得：x2−8x+42=−1+42，(x−4)2=15

(2)2x2+1=3x

解：移项，得：2x2−3x=−1.

(3)3x2-6x+4=0

解：移项，得：3x2−6x=−4.

所以原方程无实数根.例2

求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.

∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.

＝2(x－1)2＋1.二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．

255366

解：移项，得x2+10x=－9配方，得x2+10x+52

=－9+52

(x+5)2

=16

由此可得x+5=±4

x1=－1，

x2=－92.解下列方程：（1）x2+10x+9=0；

解：移项，得3x2+6x=4

（3）3x2+6x－4=0；

解：移项，得4x2－6x=3

（4）4x2－6x－3

=0；解：移项，得

x2+4x－2x=－11+9x2+2x=－2配方，得x2+2x+12

=－2+12

原方程无实数根.

(x

+1)2

=－1

（5）x2+4x－9=2x－11；解：移项，得x2

+4x=8x+4x2－4x=4配方，得x2－4x+22=4+22

(x－2)2

=8

（6）x(x+4)

=8x+4.3．代数式x2－8x＋18的值

(

)A．恒为正

B．恒为负C．可能为0

D．不能确定A4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝______，k＝______．5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋______)2______，该式有最______值，是______．

2－1大－16．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．课堂小结1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．随堂检测1、用配方法解方程x2−4x−1=0，配方后正确的是（）(x−2)2=5 B.(x−2)2=1C.(x+2)2=5

D.(x−4)2=17A2、方程x2+6x=5配方后为（）A.(x+3)2=14B.(x+