配方法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章一元二次方程25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.(重点）新课导入

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．新课导入根据平方根的意义，解方程：解得

x=±2即x1=2,x2=-2（1）x2=4解得

x=0（2）x2=0

x无解（3）x2=-4负数没有平方根即

x1=x2=-2探索新知一般的，对于可化为方程x2=p,(3)当p<0

时，因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根.(2)当p=0

时，方程有两个相等的实数根；(1)当p>0

时，方程有两个不相等的实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳新课导入得

x=±2即x1=2,x2=-2x2=4对照上面解方程

x2=4的过程，你认为应怎样解方程

(x+3)2=5？(x+3)2=5①②降次上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳探索新知例1解下列方程：（1）4x2–3

=0；（2）(x+2)2–9=0.

例1解下列方程：（1）4x2–3

=0；（2）(x+2)2–9=0.解：（2）移项，得(x+2)2=9.由此可得

x+2=±3，

即x1=1，x2=–5.

x+2=3，或

x+2=–3，典例精讲探索新知思考：能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？一个一元二次方程形式：x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）直接开平方法求解.探索新知利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤为：①移项：将方程转化为x2=n或(mx+n)2=p(p≥0)的形式②开平：两边同时开方③解：这两个一元一次方程④写：两个解课后练习练习能力提升图2

9提示：注意所得解要符合实际意义.

2.小结解一元二次方程——直接开平方法：形如：探索新知解方程：(x+3)2=5①②降次解：完全平方式非负数解方程：x2+6x+9=5(x+3)2=5解：探索新知完全平方公式：a2+2ab+b2=(______)2a2–2ab+b2=(______)2a

+ba

–b探索新知填空：【选自教材第9页

练习

第1题】（1）x2+10x+___=(x+___)2；（2）x2–12x+___=(x–___)2；（3）x2+5x+___=(x+___)2；

255366

x2±2mx+(m)2=(x±m)2二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.练习探究：怎样解方程x2+6x+4=0？先把常数项移到右边，得x2+6x＝-4

左边转化为：完全平方式两边同时加，即加9x2+6x+9=-4+9左边写成完全平方式，(x+3)2=5解这个方程得，x1＝，x2＝探索新知探索新知

像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意：在二次项系数为1的前提下进行的.典例精讲例2解下列方程：（1）x2–8x+1

=0；解：（1）移项，得

x2–8x=

–1.配方，得

x2–8x+42=

–1+42，(x–4)2=15.

方程的二次项系数是1，直接配方法典例精讲例2解下列方程：（2）2x2+1=3x；解：（2）移项，得2x2–3x=

–1.

方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，两边都除以2.

典例精讲例2解下列方程：（3）3x2–6x+4=0.解：（3）移项，得3x2–6x=

–4.

因为实数的平方不会是负数，所以

x取任何实数时，(x–1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.总结一般地，一元二次方程可以通过配方转化为

(x+n)2=p的形式.

（2）当

p=0

时，方程有两个相等的实数根

x1=x2=–n

；（3）当

p<0

时，因为对任意实数x，都有(x+