2026年《冲刺中考》新初中数学【矩形30题】

矩形30题本专题的制作目的是帮助学生进一步熟悉并掌握矩形的性质和判定，并且能①矩形的性质(10题);②矩形的判定(10题);③直角三角形的斜边中线(10题);共30题。先仔细研究方法总结、易错总结，再进行巩固练习。重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过”一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞模块一矩形的性质方法总结方法总结矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角是直角，因此还具有自己独特的性质.图形性质边角是直角线等②矩形有2条对称轴，过对边中点的直线就是它的对称轴.【总结】①矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直；四个角都是直角，对角线互相平分且相等，②全等三角形有：△ABC≌△DCB≌△BA③对角线将矩形分成4个面积相等的等腰三角形.巩固练习巩固练习①如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,若OA=2,则BD的长为().A.75°B.85C.90”D.65是AD上不与是AD上不与A、D重合的一动点，PELAC,).PF⊥BD,E、F为垂足，则PE+PF的值为(④如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD,那么,有下列说法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB=ED;③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正确的有().DD⑤如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CDLAB,垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为().(1)求证：AB=BC.(1)操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G,猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论.(2)类比探究：如图，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(1)的结论是否仍然成立?请说明理由.⑨如图，矩形ABCD中，BC>AB,E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处.(1)求证：CF=DE.①若,试求∠ABE的度数.②设,试求m与k满足的关系式初中产品部一初数教研6在点E处，设CE与AD相交于点F.C(2)在(1)的条件下，求CF的长.(3)如图2,设PE与AD相交于点Q,若AQ=QE,求CF的长，C模块二矩形的判定方法总结方法总结(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,二四边形ABCD是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.CC∴四边形ABCD是矩形.①证明一个四边形是矩形，一般情况下，先证明它是一个平行四边形，然后证明“有一个角为直角*或“对角线相等”即可.②若直接证明一个四边形是矩形，只要证明“四个角均相等”即可.③对角线相等且平分的四边形是矩形.巩固练习巩固练习①在四边形ABCD中，○是对角线交点，不能判定四边形ABCD是矩形的是(),C.OA=OB=OC=ODD.AB=CD,AD=BC,如图，四边形ABCD中，对角线相交于点0,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是(),A.AB=CDB,ABICDC.ABIADD,AC=BD③如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,已知下列6个条件：①AB//DC.②AB=DC.③AC=BD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是().A.①②③B.②③④C.②⑤6D,④现将A、C两点重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF,现将A、C两点重合，使纸片折叠压平，设折痕ABABCC初中产品部一初数教研10(1)求证：四边形EFGH是矩形.折，得到△AB'C.(1)求证：以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形.(2)若四边形ABCD的面积是S=12cm²,求翻折后纸片重叠部分的面积，即求S△AEC·初中产品部一初数教研12(1)活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE,BD(如图2),当点F与点C【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由，(2)【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3),求AF的长.(3)活动二：在图3中，取AD的中点0,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90),连结OB,OE(如图4),【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由.已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点.(其中EP<PD)图1图1(1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.(2)拓展：如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGIPF,交射线DA于点G,你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立，给出证明。若模块三直角三角形的斜边中线方法总结方法总结巩固练习巩固练习A.∠A=30°B.CD=ADCC③如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离().DA.2aB.2√2aDN分别是AC、BD的中点，试证明：⑤如图，在四边形ABDCN分别是AC、BD的中点，试证明：(1)求证：MN⊥DE.(2)若BC=20,DE=12,求△MDE的面积.已知锐角△ABC中，CD,BE分别是AB,AC旋转8(0°<θ<180°)至OP,当△BCP恰为轴对称图形时，B的值为多少?图1已知，点P是△ABC边AB上一动点(不与A,B重合)分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为边AB的中点。(1)如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是.,QE与QF的数量关系A(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证A(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.已知：在△ABC中，∠ABC=90°,点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D,且点M为EC中点，连接BM、DM.(1)如图1,若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论.(2)如图2,若点E在BA延长线上，则(1)中的结论是否发生变化?写出你的猜想并证明.矩形30题模块一矩形的性质【解析】由题意知∠CDE=∠CED=45°,又∠BDE=15°,所以∠CDO=60°,由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=0C,故△OCD是等边三角形，从而有2△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确.A△EBD是等腰三角形，EB=ED,正确.③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确.④折叠后∠ABE+2∠CBD=90°,∠ABE和∠CBD不一定相等(除非都是30°),故此说法错误.初中产品部一初数教研19【解析】不妨设正方形边长为1,则总面积为5,由图可知AB=√10,∴可算出宽为∴长宽之比为2:1.⑦【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析，【解析】(1)如图连接AC,(2)如图过C作CFLBE于F.∴四边形CDEF是矩形.∵由(1)得AB=BC,【答案】(1)GF=GC.(2)第(1)问中的结论仍然成立，GF=GC.【解析】(1)如图，连接EG,在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°,B在Rt△ECG与Rt△EFG中，B即(1)中的结论仍然成立.【答案】(1)证明见解析.【解析】(1)∵△BEF由△BEA翻折得到，(2)①设AD=BC=1,=30°.【答案】(1)等腰三角形【解析】(1)∵四边形ABCD为矩形，二△ACF为等腰三角形.∵四边形ABCD为矩形，在Rt△DFC中，由勾股定理可得，解得(3)如图，设BP=a,C∵四边形ABCD为矩形，初中产品部一初数教研23初中产品部一初数教研24在Rt△DFC中，由勾股定理得，模块二矩形的判定【解析】A选项：三个角是直角的四边形是矩形，二四边形ABCD是矩形，B选项：∵AD=BC,AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.但不能判定四边形ABCD是矩形，C选项：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.∴四边形EFGH是矩形.B选项：②AB=DC.③AC=BD.④∠ABC=90°,可根据题意判断出△BCD≌D选项：⑤OA=0C.⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再故选C.DD又BE+AE=4,AE²=AB²+BE²=9+(4-AE)²,得,于是可得初中产品部一初数教研25初中产品部一初数教研26【解析】要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直.连接AC、BD,两线交于0,二四边形EFGH一定是平行四边形，二此时四边形EFGH是矩形，∠HEF=90°.⑥【答案】证明见解析.⑥【解析】连结OM.CC∵四边形ABCD是平行四边形又∵四边形ABCD是平行四边形二四边形ABCD是矩形，初中产品部一初数教研27【答案】(1)证明见解析.【解析】(1)连接AC、BD,交于点O,如图.CC二四边形EFGH是平行四边形.∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC,【答案】(1)证明见解析.【解析】(1)如图，连接B'D,∴四边形ACDB'是矩形.(2)由四边形ACDB'是矩形，得AE=DE.【答案】(1)四边形ABDE是平行四边形，证明见解析，(3)BD=20F,证明见解析.【解析】(1)如图2,∴四边形ABDE是平行四边形.(2)如图3,连结BE交AD于点O,初中产品部一初数教研28设AF=x(cm),则(3)如图4,延长OF交AE于点H.初中产品部一初数教研29②结论：DG+DF=√2DP,证明见解析.(2)不成立，DG-DF=√2DP,理由见解析.【解析】(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°,∠ADC=90°,(2)不成立，数量关系式应为：DG-DF=√2DP,如图，过点P作PHIPD交射线DA于点H,在△HPG和△DPF中，∴DC=DA,故B不符合题意；∵D为斜边AB的中点，【解析】