【对称性在代数中的应用分析5600字】

对称性在代数中的应用分析目录TOC\o"1-3"\h\u14748对称性在代数中的应用分析 1170161.1对称性在矩阵中的应用 180091.1.1对称矩阵的定义和具体性质 1303611.1.2对称矩阵的对角化 4275351.1.3对称矩阵的正定性讨论 639461.2对称性在线性变换中的应用 83371.3对称性在多项式中的应用 9在代数中存在着很多题目运用传统方法计算不仅耗时间而且计算量也大，但其实其中有些题目例如：矩阵，线性变换，多项式这些类型的题目运用对称性的思想解题会和传统方法形成对比，不需要复杂的步骤，只要记住对称性原理会运用就可以轻松解出题目，这也是一种新方法，我们不能只局限于死方法还是要充分利用可用的简便的方法，在接下来的几节中会具体介绍如何利用对称性去解决矩阵，线性变换，多项式中的题目，通过和传统放法对比来凸显出对称性解题的优势[10].1.1对称性在矩阵中的应用在线性方程中一些重要性质全部通过它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也可以表现为变换这些矩阵的过程.除此之外，仍然有大量的问题也提出了矩阵的概念，这些问题的研究通常反映为有关矩阵的方面的研究，并且有些性质完全不一样的问题毫不相干，最后却通过矩阵使得这些问题成为相同的问题，由此可见矩阵在如今数学中有着非常重要的作用不可或缺，也正是因为这样矩阵成为了代数中一个重要的研究对象，在接下来的一节中会对对称矩阵的一些性质和定义进行研究，借此来体现矩阵的一些魅力[10].1.1.1对称矩阵的定义和具体性质定义1.1.1设矩阵A=aijs×n,记AT=ajin×s为矩阵的转置，矩阵通过定义我们可以得到:对称矩阵一定是方阵；处于主对角线上的对称位置的元素一定想到，即aij=aa11定义1.1.2主对角线上元素不为0剩下部分都为0的矩阵成为对角矩阵[10].定义1.1.3如果对称矩阵A中所有元素都是实数，那么A为实对称矩阵[11].定义1.1.4如果矩阵A满足AT=−A接下来将具体介绍一下对称矩阵的一些性质，通过这些性质可以更好地了解对称矩阵，对于之后的解题也会更加有帮助.矩阵转置的一些规律，对于证明一些对称矩阵的性质会有帮助ATA+BTABTkAT性质1.1.1相同阶的矩阵的差，和，数乘结果还是对称矩阵[11].证明设M,N是两个对称矩阵，可以得到MT=M,N存在一个任意常数a,aMT差的证明也可以类似得到.性质1.1.2设A是n阶方阵，我们可以得到AT+A,AA性质1.1.3设对称矩阵A是n阶的，若A可逆，则A−1也是对称矩阵(相反的，A是反对称矩阵结果也是如此)[11]证明因为A是对称矩阵所以得到AT=A,得到性质1.1.4任意一个n×n的矩阵全都可以表示为一个对称矩阵和反对称矩阵的和[11].证明设B是一个n×n的矩阵，将B表示为B=1其中1212由此得出12性质1.1.5设B为对称矩阵，矩阵X与矩阵B是同阶的，那么XTBX也是对称矩阵性质1.1.6设对称矩阵A、B都是n阶的，AB也对称当且仅当A、B可交换[11].性质1.1.7对称矩阵的伴随矩阵也是对称矩阵[11].证明根据伴随矩阵的公式A−1A=性质1.1.8对称矩阵的整数幂依然是对称矩阵[11].以上这些性质是矩阵对称性的一些常见性质，通过这些性质可以延申出更多的对称矩阵的性质，这里并没有一一列举出来，但是我们知道的是在数学中往往知其一点可以将其拓宽成更广的面，在这也是如此.接下来列举的是实对称矩阵的一些性质.首先来了解一下矩阵合同的定义：设矩阵A,B,为n×n阶的，如果存在一个可逆矩阵Q使得QTAQ=B,得出结论A，B合同命题1.1.1如果A,B合同，矩阵A是对称的，则B也是对称矩阵[11].证明有表达式，存在一个可逆矩阵Q使得QTAQ=B，可以能够得出由此我们可以发现规律：当对称矩阵王多次合同之后的矩阵任然是对称矩阵.定理1.1.1设A是一个实对称矩阵，则A的特征值都是实数[11].证明设A是实对称矩阵，λ是特征值，X=x1,x2,……xnT为A的特征向量，根据公式AX=λX,X=x但是，通过这个定理，我们必须记住这个定理是不成立的，而且具有特征值为实数的矩阵可能不是对称矩阵，所以我们必须记住这一点，不要把我们常见的观念运用在这，认为逆命题也成立，任何命题都必须经过验证才是真命题.1.1.2对称矩阵的对角化上一节具体介绍了对称矩阵的定义以及它的一些具体定义，也借此介绍了实对称矩阵的性质以及它的证明，往往一个实对称矩阵都带有一个正交矩阵，通过一定的方法可以将它转化为对角矩阵，接下来会具体介绍如何将对称矩阵对角化，介绍具体方法，并且找到该学习的地方以及要注意的地方[10].例1.1有一实对称矩阵A=2解首先求特征值.由A−λE=得到特征值为10和1(二重)，将λ=1代入方程得到A−E=1得到基础解系ξ1正交化：η1η2单位化：γ1=1将λ=10代入得到A−λE=−8得到基础解系ξ3正交化：η3单位化：γ3最后得到正交矩阵T=−2（这题用到了定义1.1.1，1.1.2，1.1.3和定理1.1.1来做实对称矩阵求出正交矩阵并对角化求出对角矩阵）通过这道题目我们可以总结出对称矩阵对角化的具体方法步骤：(1)求出实对称矩阵的所有特征值λ1(2)对于每个特征值求出所对应的特征向量,(3)将特征值所属的特征向量分别正交化，求出后再单位化，最后求出的结果合并在一起的向量组就是正交矩阵，主对角线上元素为特征值其他的为0所组成的矩阵就是对角矩阵(施密特正交法).采用这样的步骤在已知对称矩阵的情况下便可以一步一步求出想要的正交单位向量，得出对角矩阵，这方法并不难但是在计算的时候难点在于正交化，单位化，在计算的时候不能出错一旦出错所有结果就出错了，一个特征值求出特征向量进行一次单位正交化，其余特征值再进行一次，不同的特征值都是单独独立地进行单位正交化，千万不能合并一起否则就是错的，最后和在一起就行.1.1.3对称矩阵的正定性讨论前面几节讨论的是对称矩阵的性质以及延申的实对称矩阵的性质还有对称矩阵的对角化，在本节中将要讨论的是二次型矩阵和对称矩阵的关系，对称矩阵的正定性和二次型矩阵的正定性以及如何判别正定性的条件和方法[10].fxA=a11⋯所以A'=A,二次型矩阵也是对称定义1.1.5如果任意的不全为零的实数λ1,λ2,……λn定义1.1.6若二次型X'AX是正定的，则实对称矩阵也是正定的定义1.1.6可以作以下推广fx1,x2,……xn=X通过对比我们发现经过非退化线性变换之后，新二次型和旧二次型的矩阵是合同的，根据1.1.1中的性质得到B也是对称的，同时新二次型也是正定的.合同矩阵的一些规律：自反性：A=E对称性：B=C'AC传递性：A1=C1'推论1.1.1同阶的正定矩阵两者的和依然是正定矩阵[10].证明设矩阵A,B是正定的，任意非零向量X存在X'AX>0,X接下来将具体介绍正定性的判别法和性质.定理1.1.2n元实二次型fx1,x正惯性指数：二次型fx1,证明设二次型fx1,x2,……xn经过非退化线性变换之后可以能得到标准型fy1,y2,……y由上述证明我们也可以得出一些推论,推论1.1.2实对角矩阵是正定的充分必要条件是主对角线上元素大于零[10].证明f=x充分性：因为dif的正惯性指数等于n,所以是正定的.必要性：因为f是正定的,所以di从中我们也可以观察到如果实对称矩阵A正定的，那么它的秩和正惯性指数都等于n.定义1.1.7实对称矩阵是正定的当且仅当它的合同矩阵是单位矩阵[11].推论1.1.3如果矩阵是正定的那么行列式大于0[10].证明设A是正定的，fx1,x2,……xn=这类判定方法与规范型有关，比较复杂需要将二次型转化为规范型，比较麻烦，需通过非线性变换才能得到规范型算出行列式大于零才行；如果要是我们不想通过规范型来判定正定的话，换一种比较简单的方法来判断是否正定的话，则需要一种新的方法，接下来就是一种新的判定方法，不需要化为规范型就可以做到，我们将对这进行研究.首先我们介绍一个概念：子式.Hi=a定义1.1.8那么实二次型fx1,x2例1.2fx解二次型对应得矩阵为525>0,52所以该二次型是正定的.（这题用到了定义1.1.8判断二次型是否正定）1.2对称性在线性变换中的应用在本节中将要讨论欧式空间中的一种对称变换，运用这种对称变换对于解决正交的题目会有帮助.n维欧式空间Rn上定义一个线性变换σx1定理1.2.1A是实对称矩阵，σ的定义如上述，则对任何α，β∈Rn,有σα，β=α，σβ我们从上述定理可以发现，实对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵，用对称变换反映实对称矩阵，同时我们也可以看到一些性质,定理1.2.2设σ是对称变换，V1是σ-子空间，那么得到V1⊥证明设α∈V1⊥，取β∈V1,可以得到σβ∈V1,根据设的内容得到α⊥V1,所以得到式子α，σβ定理1.2.3A是实对称矩阵，那么Rn中属于A的不同特征值求出来的特征向量一定是正交的[10]证明因为在欧氏空间中由对称变换满足：aα,β=α,aβ,λ1,λ2是λ1X1因为两个特征值不一样，所以得到X11.3对称性在多项式中的应用对称多项式是多项式中常见的一种，在这节中将介绍一下对称多项式的具体定义以及它的一些应用，对这些进行研究.首先我们了解一下一元多项式的根与系数关系，设fx=xn+σ1=定义1.1.1n元多项式fx1,x2,……xn,若对于任意的接下来介绍一下对称多项式的具体性质[7]：性质1.1.1对称多项式的和还是对称多项式[12].性质1.1.2对称多项式的积还是对称多项式[12].性质1.1.3对称多项式的多项式还是对称多项式[12].性质1.1.4初等对称多项式的多项式还是对称多项式[12].由于初等对称多项式的多项式还是对称多项式，因此我们可以得到以下关系式：fx1,x接下来我们通过具体的题目来了解一下对称多项式的具体做法.例1.3把多项式f=解f的首项为x13,对应的数