浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步练习题（附答案）

第第页浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步练习题（附答案）一、单选题（满分24分）1．已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（

）A．∠OAB+∠ABO=90° C．AB=AC D．OA=OD2．如图：正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（

）A．AC⊥BD B．∠DAC=∠BAC C．DO=CO D．AD=AO3．如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（

）A．25 B．35 C．44．如图，在正方形ABCD中，点M在对角线AC上，连接BM并延长交AD于点N，连接DM，若∠ADM=28°，则∠DMN的度数为（

）A．34° B．32° C．30° D．28°5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AC，AE，则∠EAC的度数为（

）A．30° B．35° C．20° D．15°6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标为A−2,0，B2,m，A．13 B．20 C．25 D．347．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得∠B=60°，对角线AC=10cm，接着调整学具成为图2所示的图形，测得∠B=90°A．10cm B．102cm C．108．如图，在△ABC中BC=12，AM⊥BC于点M，交GE于点N，AM=3，四边形ABFG和ACDE都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）∠BAE=∠GAC；（2）若连接BE，CG，则BE=CG；（3）BE⊥CG；（4）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（满分24分）9．若正方形对角线的长为32cm，则面积为___________10．如图，在▱ABCD中AC=BD．再添加一个条件，就能判定四边形ABCD是正方形．这个条件可以是__________．（只填一个条件即可）11．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为144，AE=13则DE的长为____．12．如图，等边△AEF的顶点E,F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，则∠AEB=_____．13．如图，已知正方形ABCD的边长为8，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则EF的最小值为14．如图，正方形ABCD中∠EAF=45°，连接EF，BD，则BM，15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE,OF分别交正方形的边AB、BC于点M、N．记△AOM的面积为S1,△CON的面积为S216．如图，在矩形ABCD中AB=9，BC=8，E为BC中点，G为AB上动点且GF⊥CD，连接AF、GE，则三、解答题（满分72分）17．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接CE、DF．求证：18．（8分）如图，点E是正方形纸张ABCD对角线BD上一点DE>BE．(1)请用圆规在BD上取点F，使得DF=BE．（保留作图痕迹）(2)连接AF,CF，结合（1）中画的DF=BE，求证：四边形AECF是菱形．19．（6分）如图，在正方形ABCD内部取一点E，连接AE、BE，使∠AEB=90°．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AE′，连接E′D，延长E′D交BE的延长线于点F．试判断四边形20．（8分）如图，EFMN分别是正方形ABCD四条边上的点且BE=CF=DM=AN．(1)求证：四边形EFMN是正方形．(2)若AB=7AE=3求四边形EFMN的周长．21．（8分）如图在正方形ABCD中E是边CD上一点将△ADE沿AE翻折至△AD′E延长ED′(1)求证：BF=D(2)若AB=15DE=10则BF的长是______．22．（8分）已知正方形ABCD和等腰Rt△BEFBE=EF∠BEF=90°按图放置使点E在BC上取DF的中点G连接EGCG．(1)请添加一条辅助线构造一个和△FEG全等的三角形并证明它们全等．(2)探索EGCG的数量关系和位置关系并证明．23．（8分）如图四边形ABCD是正方形G是边BC上任意一点DE⊥AG于点EBF∥DE且交AG于点F．(1)求证：AE=BF(2)连接DFCE探究线段DF与CE的关系并证明．24．（10分）如图在四边形ABCD中AB=AD∠EAF=1(1)已知四边形ABCD是正方形．①如图1EF分别是边BCCD上的点则线段BEDF和EF之间的数量关系为______．②如图2点EF分别在CBDC的延长线上则线段BEDF和EF之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明．(2)如图3∠ABC+∠ADC=180°EF分别是边BCCD延长线上的点②中的结论是否仍然成立?若成立请证明若不成立请写出它们之间新的数量关系并证明．25．（10分）【问题呈现】已知正方形ABCD中点F为对角线BD上一点点E在BC的延长线上连接EF．（1）如图1连接CF若AB=3CE=6求CF+EF的最小值【类比探究】（2）如图2在正方形ABCD中点F为对角线BD上一点点G在边AB上FE⊥FG若AB=6DF=22求四边形FGBE的面积【拓展运用】（3）如图3将EF绕点F逆时针旋转90°得到FG连接EG交CD于点H试探索BEDF满足怎样的数量关系时点H恰为GE的中点参考答案1．解：如图

A由菱形ABCD可得AC⊥BD那么∠OAB+∠ABO=90°则A选项多余不能判定菱形ABCD是正方形B由菱形ABCD可得∠BCA=∠DCA则B选项多余不能判定菱形ABCD是正方形故不符合题意CAB=AC不能判定菱形ABCD是正方形故不符合题意D由菱形ABCD可得AC⊥BD而OA=OD则∠OAD=∠ODA=45°因为菱形对角线平分一组对角则∠BAD=2∠OAD=90°故菱形ABCD是正方形故符合题意故选：D．2．D【分析】本题主要考查了正方形的性质正方形的对角线互相垂直平分且相等正方形的一条对角线平分正方形的一组对角据此可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴AC⊥BD∠DAC=∠BAC=45°DO=CO∴AD>AO∴说法不正确的只有D选项故选：D．3．B【分析】此题主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质勾股定理等知识熟练掌握正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出∠DAF=∠B=90°BC=AB=AD=6由E是BC的中点得出BE=3由勾股定理得出AE=35证明△ADF≌【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴∠DAF=∠B=90°BC=AB=AD=6∴∠AFD∵E是BC的中点∴BE=3∴AE=∵DF⊥AE∴∠AFD+∠BAE=90°∴∠ADF=∠BAE∴△ADF∴DF=AE=35故选：B．4．A【分析】本题主要考查了正方形的性质全等三角形的性质与判定三角形内角和定理由正方形的性质可推出∠CDM的度数再证明△BCM≌△DCMSAS得到∠CBM的度数进而求出∠BND的度数【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴BC=DC，∠BCA=∠DCA=45°∴∠CDM=∠ADC−∠ADM=62°，又∵CM=CM∴△BCM≌△DCM∴∠CBM=∠CDM=62°∴∠BND=118°∴∠DMN=180°−∠DNM−∠MDN=34°故选：A．5．A【分析】本题主要考查正方形的性质等边三角形的性质等腰三角形的判定和性质解决此题的关键是判断出△ADE是等腰三角形根据正方形和等边三角形的性质得到AD=DE判断出△ADE是等腰三角形算出其底角的度数进而利用∠EAC=∠DAC−∠DAE得到答案即可．【详解】解：∵在正方形ABCD的外侧作等边△DCE∴AD=DE,∠ADC=90°,∠CDE=60°,∠DAC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=∴∠EAC=∠DAC−∠DAE=45°−15°=30°故选：A．6．B【分析】此题主要考查了正方形的性质勾股定理全等三角形的判定和性质证明△AOD≌△BMAAAS是关键．过点B作BM⊥x轴于点M证明△AOD≌△BMAAAS求出OD=AM=4得到AD2【详解】解：过点B作BM⊥x轴于点M∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB∠DAB=90°∴∠DAO+∠BAM=∠BAM+∠ABM=90°∴∠DAO=∠ABM∵∠AOD=∠BMA∴△AOD≌△BMA∴OA=BM,AM=DO∵正方形ABCD的顶点坐标为A−2,0∴OA=2,OM=2∴OD=AM=4∴A∴即正方形ABCD的面积是20．故选：B．7．B【分析】本题考查菱形的性质正方形的性质勾股定理等知识解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质连接AC．在图1中证△ABC是等边三角形得出AB=BC=AC=10cm．在图2中由勾股定理求出AC【详解】解：如图1图2中连接AC．图1中∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC∵∠B=60°∴△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC=10在图2中∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC∠B=90°∴△ABC是等腰直角三角形∴AC=2故选：B．8．D【分析】由正方形的性质可得∠BAG=∠CAE=90°再由∠BAE=∠BAG+∠GAE∠CAG=∠CAE+∠GAE即可判断（1）证明△BAE≌△GACSAS即可得到BE=CG再根据角之间的关系可得BE⊥CG即可判断（2）（3）作GH⊥MN交MN于HEI⊥MN交MN于I证明△BAM≌△AGHAAS△CAM≌△AEIAAS△GHN≌△EINAAS【详解】解：∵四边形ABFG和ACDE都是正方形∴AB=AGAC=AE∠BAG=∠CAE=90°∵∠BAE=∠BAG+∠GAE∠CAG=∠CAE+∠GAE∴∠BAE=∠CAG故（1）正确符合题意在△BAE和△GAC中AG=AB∴△BAE≌△GAC∴BE=CG∠ABE=∠AGC故（2）正确符合题意如图令BE和AG交于点OBE和CG交于点P∵∠OBA+∠BOA=90°∠BOA=∠GOE∴∠AGC+∠GOE=90°∵∠GOP+∠OGP+∠GPO=180°∴∠GPO=90°∴BE⊥CG故（3）正确符合题意作GH⊥MN交MN于HEI⊥MN交MN于I∵四边形ABFG是正方形∴AB=AG∠BAG=90°∵∠BAM+∠BAG+∠GAH=180°∴∠BAM+∠GAH=90°∵AM⊥BCGH⊥MN∴∠AMB=∠AMC=∠GHA=90°∴∠BAM+∠ABM=90°∴∠GAH=∠ABM在△BAM和△AGH中∠ABM=∠GAH∴△BAM≌△AGH∴S△ABM同理可得：△CAM≌△AEI∴EI=AMS∴GH=EI∵∠GHN=∠EIN=90°∴△GHN≌△EIN∴∵S△AGN∴∴=====18故（4）正确符合题意综上所述正确的有（1）（2）（3）（4）共4个故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质三角形面积公式熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定与性质找准各个图形之间的面积关系添加适当的辅助线是解此题的关键．9．9【分析】本题考查了勾股定理和正方形面积的知识解题的关键在于发现正方形的对角线与边的关系本题根据对角线的长可由勾股定理求出其边长面积又等于边长×边长通过作图可以使题目更加清晰明了【详解】解：如下图所示：下图ABDC为对角线AD=32设正方形的边长为：x在Rt△ACD中AC=CD=xcm由勾股定理得：A即x解得x=3cm∴该正方形的面积为：3×3=9cm故答案为：910．AC⊥BD（答案不唯一）【分析】本题主要考查了正方形的判定熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．【详解】解：由在▱ABCD中AC=BD可知四边形ABCD是矩形根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形得到应该添加的条件为：AB=BC或BC=CD或CD=DA或DA=AB或AC⊥BD．故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．11．5【分析】本题考查了旋转的性质正方形的性质勾股定理等知识根据旋转的性质可得出S△ADE=S△ABF根据等式的性质可得出S四边形AFCE=S正方形【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF∴S∴S△ADE+S又四边形AECF的面积为144∴S∴边长AD=又AE=13∠D=90°∴DE=故答案为：5．12．75°/75度【分析】本题考查正方形的性质等边三角形的性质全等三角形的判定与性质三角形内角和定理熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和等边三角形的性质易证得Rt△ADF≌Rt△ABEHL进而得到∠BAE=∠DAF【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB∠D=∠B=∠DAB=90°∵△AEF是等边三角形∴AE=AF∠FAE=60°∴∠BAE+∠DAF=∠DAB−∠FAE=90°−60°=30°在Rt△ADF和RtAD=AB∴∴∠BAE=∠DAF=∴∠AEB=180°−∠B−∠BAE=180°−90°−15°=75°．13．4【分析】连接PC由正方形可得∠BCD=90°BD=82再可得四边形PECF是矩形则EF的最小值即为PC的最小值当PC⊥BD时PC最短利用等面积法求出PC【详解】解：如图连接PC∵正方形ABCD的边长为8∴∠BCD=90°BD=∵PE⊥BCPF⊥CD∴四边形PECF是矩形∴PC=EF∴EF的最小值即为PC的最小值∵P是对角线BD上一点∴当PC⊥BD时PC最短此时S∴PC=∴EF的最小值为4214．M【分析】本题主要考查的正方形的性质旋转的性质全等三角形的性质和判定勾股定理的应用等知识点依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+D【详解】解：如图：将△ABM逆时针旋转90°得△AD∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠ADB=45°∴∠ND∴NM∵∠BAD=∠BAM+∠MAD=90°∴∠EA∵∠EAF=45°∴∠EAF=∠FAM′=45°在△AMN和△ANMAM=A∴△ANM∴MN=NM∵BM=D∴MN故答案为：MN15．9【分析】本题考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°推出∠EOB=∠COF【详解】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形∴OB=OC∴∠EOB=∠COF在△OBM与△OCN中∠OBM=∠OCN∴△OBM≌△OCN∴S∴S∴S故答案为：9．16．15【分析】先利用轴对称的性质说明EB=BE′∠ABC=∠E′BG再利用矩形的性质得出∠ABC=∠C=90°GD=AFDC=AB=9从而可得AF+GE=GD+GE再利用勾股定理求得E′D再说明当GE′D在同一直线上时【详解】解：作点E关于AB的对称点E′连接E′则EB=BE′∵四边形ABCD是矩形AB=9∴∠ABC=∠C=90°GD=AFDC=AB=9∴AF+GE=GD+GE∠GB∴E′在∵∠C=90°∴∵BC=8E为BC中点∴BE=∴B∴===15。当GE′D在同一直线上时GD+GE有最小值即AF+GE的最小值为故答案为：15．【点睛】本题考查了轴对称的性质两点之间线段最短勾股定理矩形的性质解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．17．见解析【分析】本题考查正方形的性质全等三角形的判定和性质要证明∠BEC=∠CFD只要证明△BEC≌△CFD即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD∠ABC=∠BCD∵点EF分别是边ABBC的中点∴AE=BE=BF=CF．在△BEC和△CFD中BE=CF∠EBC=∠FCDBC=CD∴△BEC≌△CFD∴∠BEC=∠CFD．18．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作线段等于已知线段的尺规作图正方形的性质全等三角形的判定与性质菱形的判定通过证明三角形全等得到边相等是解题的关键．（1）以点D为圆心BE的长为半径画弧交BD于点F则点F为所求（2）根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°即可证明△ABE≌△CBE≌△ADF≌△CDFSAS得到AE=CE=AF=CF【详解】（1）解：如图点F为所求．（2）证明：如图连接AF,CF∵四边形ABCD是正方形BD是对角线∴AB=BC=CD=AD∠ABC=∠ADC=90°∠ABD=∠CBD=∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB∵BE=DF∴△ABE≌△CBE≌△ADF≌△CDF∴AE=CE=AF=CF∴四边形AECF是菱形．19．四边形AEFE′是正方形理由见解析．【分析】本题考查正方形的判定与旋转的性质结合全等三角形的判定与性质是解题关键．通过旋转得到线段与角的等量关系利用正方形的性质证明三角形全等进而推出四边形的角为直角且邻边相等以此判定四边形形状．【详解】解：判断：四边形AEFE′是正方形．理由：将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AE′∴AE=AE′∠EAE′=90°在正方形ABCD中AB=AD∠BAD=90°∴∠BAD−∠DAE=∠EAE′−∠DAE∴∠BAE=∠DAE'在ΔBAE和ΔDAE′中AE=AE'∴△BAE=△DAE′∴∠BEA=∠DE′A∵∠AEB=90°∴∠DE′A=∠AEB=90°∠AEF=180°−∠AEB=90°∴∠AEF=∠EAE′=∠FE′A=90°∴四边形AEFE′是矩形∵AE=AE′∴四边形AEFE′是正方形．20．(1)见解析(2)20【分析】（1）先利用正方形的边相等角为直角的性质结合已知线段相等证明四个三角形全等得出四边形EFMN的四边相等再通过角的关系证明其有一个直角从而判定为正方形（2）根据AB和AE的长度算出AN的长度用勾股定理求出四边形EFMN的边长再计算其周长．【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=AD∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AN=DM=CF=BE∴AE=BF=CM=DN∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF∴NE=MN=FM=EF∠ENA=∠NMD∴四边形EFMN是菱形．∵∠NMD+∠DNM=90°∴∠ENA+∠DNM=90°∴∠ENM=90°∴四边形EFMN是正方形．（2）解：∵AB=7AE=3∴AN=BE=AB−AE=7−3=4∴EN=A∵四边形EFMN是正方形∴四边形EFMN的周长=5×4=20．【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质勾股定理掌握正方形的边与角的性质全等三角形的判定方法及勾股定理的应用是解题的关键．21．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接AF结合正方形的性质和折叠的性质证明Rt△ABF≌Rt△A（2）设D'F=x则BF=x【详解】（1）证明：连接AF如图∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD=BC=CD∠B=∠D=90°由折叠的性质可知AD=AD'∴∠A∵AB=AD∴A在Rt△ABF和RtAB=A∴Rt∴BF=D（2）解：∵AB=15DE=10∴CD=AB=15D∴CE=CD−DE=15−10=5设D'F=x∴CF=CB−BF=15−xEF=E在Rt△ECF中∴5解得x=3∴BF=3．22．(1)图见解析△DHG≌△FEG证明见解析(2)EG=CGEG⊥CG证明见解析【分析】（1）通过添加辅助线（延长EG交CD于点H）构造出△DHG利用平行线性质（EF∥CD）得到角相等结合中点定义和对顶角定理证明（2）利用全等三角形的性质转移线段长度（EF=DHEG=HG）结合正方形和等腰直角三角形的性质推导出CH=CE从而证明△CHE是等腰直角三角形．最后应用斜边中线定理得出EG=CG且EG⊥CG．【详解】（1）解：延长EG交CD于点H如图则△DHG≌△FEG．证明：∵∠BEF=90°∴EF⊥BC而CD⊥BC∴EF∴∠1=∠2∵点G为DF的中点∴DG=FG在△DHG和△FEG中∠2=∠1∴△DHG≌△FEGASA（2）EG=CGEG⊥CG．证明：∵△DHG≌△FEG∴EF=DHEG=HG∵BE=EF∴BE=DH∵CB=CD∴CD−DH=CB−BE即CH=CE∴△CHE为等腰直角三角形∵EG=GH∴CG⊥EHCG=EG=GH即EG=CGEG⊥CG．【点睛】本题考查了全等三角形的性质用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）全等三角形综合问题三线合一斜边的中线等于斜边的一半根据正方形的性质证明等知识点解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．23．(1)见解析(2)DF=CE且DF⊥CE证明见解析．【分析】本题考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．（1）根据垂直的定义和平行线的性质求出∠AED=∠BFA=90°根据正方形的性质可得AB=AD∠BAD=∠ADC=90°再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE然后利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等根据全等三角形对应边相等可得AE=BF（2）根据同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC根据全等三角形对应边相等可得AF=DE根据正方形的性质可得AD=CD然后利用“边角边”证明△FAD和△EDC全等根据全等三角形对应边相等可得DF=CE全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠DCE再求出∠DCF+∠CDF=90°然后根据垂直的定义证明即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥AGBF∥DE∴BF⊥AG．∴∠AED=∠BFA=90°．∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD∠BAD=∠ADC=90°．∴∠BAF+∠EAD=90°．∵∠EAD+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE．∴△AFB≌△DEAAAS∴AE=BF．（2）DF=CE且DF⊥CE．证明：∵∠FAD+∠ADE=90°∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°∴∠FAD=∠EDC．∵△AFB≌△DEA∴AF=DE．又∵四边形ABCD是正方形∴AD=CD．∴△FAD≌△EDCSAS∴DF=CE∠ADF=∠DCE．∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°∴∠DCE+∠CDF=90°．∴DF⊥CE．综上所述DF=CE且DF⊥CE．24．(1)①EF=BE+DF②EF=DF−BE理由见解析(2)不成立它们的数量关系为EF=BE−DF理由见解析【分析】（1）①延长CB至G点使BG=DF连接AG．先根据SAS证明△ABG≌△ADF则可得AG=AF∠GAB=∠FAD．由∠BAD=90°∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠FAD=45°即∠GAE=∠EAF．再根据SAS证明△GAE≌△FAE则可得GE=EF②在CD上截取DG=BE连接AG．先根据SAS证明△ADG≌△ABE则可得∠BAE=∠DAGAE=AG进而可得∠GAF=∠EAF．再根据SAS证明△EAF≌△GAF则可得EF=FG=DF−DG=DF−BE．（2）延长CD至点G使得DG=BE连接AG．先根据SAS证明△ADG≌△ABE则可得∠BAE=∠DAGAE=AG进而可得∠EAG=∠BAD．由∠EAF=12∠BAD可得∠EAF=12∠EAG进而可得∠GAF=∠EAF．根据SAS【详解】（1）①如图延长CB至G点使BG=DF连接AG．∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD=∠D=90°∠BAD=90°∴∠ABG=∠D又∵AB=ADBG=DF∴△ABG≌△ADF∴AG=AF∠GAB=∠FAD∵∠EAF=∴∠BAE+∠FAD=90°−∠EAF=45°即∠GAE=∠EAF在△GAE和△FAE中AG=AF∴△GAE≌△FAE∴GE=EF又∵GE=BE+GB=BE+DF∴EF=BE+DF．故答案为：EF=BE+DF．②EF=DF−BE．证明：如图1在CD上截取DG=BE连接AG．由题意得∠ABC=∠ADC=90°∴∠ADG=∠ABE=90°．∵AD=ABDG=BE∴△ADG≌△ABE∴∠BAE=∠DAGAE=AG．∵∠EAF=∴∠BAE+∠BAF=∠DAG+∠BAF=∴∠FAG=∴∠GAF=∠EAF．∵AF=AFAE=AG∴△EAF≌△GAF∴EF=FG=DF−DG=DF−BE．（2）解：②中结论不成立它们的数量关系为EF=BE−DF．证明：如图2延长CD至点G使得DG=BE连接AG．∵∠ABC+∠ADC=180°∠ADG+∠ADC=180°∴∠ADG=∠AB