河南省郑汴名校联考2025-2026学年高二下学期期中考试数学+答案

2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（

）A． B． C． D．3．在数列中，，，则（

）A． B． C．1 D．34．若直线是曲线的一条切线，则（

）A． B． C． D．5．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（

）A．15 B．30 C．31 D．326．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在、、三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（

）A．24 B．36 C．48 D．728．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．名工人各自在天中选择一天休息，不同方法种数是B．甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种C．的展开式的常数项为D．10．已知，则（

）A． B．C． D．11．已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（

）A．是奇数 B．的最大值为7C．不存在，使得是偶函数 D．三、填空题12．已知，则________．13．的展开式中常数项为__________.（用数字作答）14．如图，在正方体中，为的中点，从除外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与构成三角形，则能构成______个三角形．从这些三角形中随机选取一个三角形，恰好是以为顶角顶点的等腰三角形的概率为______．（均用数字作答）四、解答题15．（1）求值：．（2）解方程：．（3）求不等式的解集．16．在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，侧面底面ABCD．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．17．已知函数.(1)若时，曲线与轴相切，求的值；(2)讨论函数的单调性；(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.18．已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、．(1)求出椭圆的标准方程；(2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形．①求证：直线的斜率为定值；②求弦长的取值范围．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若只有一个零点，求的取值范围；(3)设，若恒成立，求的取值范围．题号12345678910答案DBCCCDBDBCBCD题号11答案ACD1．D根据对数的单调性求解得出，然后根据并集的运算求解即可得出答案.【详解】解可得，所以，所以.故选：D．2．B由复数对应的点的特征可得，由复数的除法运算可求得结果.【详解】，在复平面内的点关于实轴对称，；.故选：B.3．C【详解】因为①，则②，由①②得到，则数列是周期为2的周期数列，又，故.4．C设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得.【详解】设直线与曲线相切于点，因为，所以，解得.5．C根据题意，分别任选一张、两张、三张、四张或全选，结合组合数求组成的币值种数.【详解】根据题意一共可以组成的币值种数为种．6．D利用函数单调性与导数的关系，将单调递减转化为导函数的恒成立问题，分离参数后构造新函数，通过求导判断新函数单调性，求其取值范围，进而得到参数的取值范围.【详解】已知函数在上单调递减，等价于导数对所有恒成立.对求导得，分离参数得对恒成立.令，求导得对任意成立，因此在上单调递增.则在区间上，，即在上的取值范围是.要使对所有恒成立，只需，因此的取值范围是.7．B根据题意，分组方式有与，由分组分配的计算公式，代入计算，即可求解.【详解】若甲乙选择的景点没有其他人选，则分组方式为的选法为种；若甲乙选择的景点还有其他人选，则分组方式为的选法为种；所以总的不同的选法种数为种.故选：B8．D由构造函数，由其单调性求解不等式.【详解】因为，即，构造函数，因为，所以函数是减函数，又由可得，且，所以原不等式即，解得，所以不等式的解集为，故选：D.9．BC利用分步乘法计数原理可判断A选项；利用排列数公式可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数和可判断D选项.【详解】对于A选项，名工人各自在天中选择一天休息，每个人都有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同方法种数是，A错；对于B选项，甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种，B对；对于C选项，的展开式通项为，由，解得，故展开式中的常数项为，C对；对于D选项，，D错.10．BCD赋值法即可求解所有项的系数和.根据二项式展开的通项特征可求指定项的系数.【详解】令，得，故A错误；令得，即，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得，所以．故D正确．故选:BCD．11．ACD根据零点和最值点列方程组求解，结合单调区间可得，然后分类讨论即可.【详解】由题知，，即，，解得，因为在区间上单调．所以，即，所以，又，，所以，故A正确，当时，，此时，当时，，函数在上不单调，即当时，函数在区间上不是单调函数，B错误；因为，所以，当时，由，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.综上可知，CD正确.故选：ACD12．/根据正切函数计算求解即可.【详解】因为正切函数的最小正周期是，所以，解得，所以．故答案为：13．求得二项式的展开式的通项为，进而求得展开式的常数项.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，所以展开式的常数项为.故答案为：.14．170由组合数，除去，，三点在一条棱上，可解第一空，通过除了外，按照离的距离远近分成4个平行平面，分别确定等腰三角形个数，再结合古典概率模型计算公式求解即可.【详解】从除外的11条棱的中点及8个顶点中随机选取2个点与构成三角形，而，，三点在一条棱上，不能构成三角形，所以能构成个三角形．其中，除了外，其他的点按照离的距离远近可分为4个平行平面，（由各点均为正方体各棱的中点，由面面平行的判定定理可知，，互相平行）如图，分别记为平面，，，（过且与其他平面平行）．①对于平面，，每个平面上有4个棱的中点，任取2个点都能与构成以为顶角顶点的等腰三角形，共有个．②对于平面，有4个正方体的顶点，任取2个点都能与构成以为顶角顶点的等腰三角形，有个，再加上，的两个中点又构成一个以为顶角顶点的等腰三角形，共构成7个以为顶角顶点的等腰三角形；③对于平面，，与构成1个以为顶角顶点的等腰三角形．综合①②③，共有个以为顶角顶点的等腰三角形，因此，所求概率为．15．（1）（2）（3）利用排列数和组合数的公式运算求解即可.【详解】（1）原式（2）由题可知且，则，整理得，解得或（舍去），故.（3）由题可知且，则，整理得，解得，又因为且，故，即不等式的解集为.16．(1)见详解.(2)（1）由底面为正方形，侧面底面ABCD，利用面面垂直的性质可证；（2）法1，根据题意建立空间直角坐标系，计算边长并标点，再利用空间坐标法求取二面角余弦值，进而得到正弦值.法2：作出二面角的平面角，利用几何法求出正弦值.【详解】（1）由底面ABCD为正方形，得，又底面ABCD，侧面底面ABCD，侧面底面ABCD，则平面，而平面，所以平面平面.（2）法1：由（1）知平面，又，则平面，如图以D为原点建立空间直接坐标系，由，，得，，则到的距离为，故，，，设平面的一个法向量，，不妨取，则，侧面底面ABCD，故平面的一个法向量，设二面角的平面角为，，所以二面角的平面角的正弦值.法2：在平行六面体中，连接，连接，由，，得是菱形，且是正三角形，则，由（1）知平面，而，则平面，又平面平面，于是平面，又平面，则，而平面，因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，在中，，则斜边，所以，即二面角的平面角的正弦值.17．(1)(2)答案见解析(3)（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数即可.（2）先求导函数，由导函数特征对参数范围进行分类讨论即可求解.（3）方法一：利用分离参数法得到即可分析计算求解；方法二：转化为，再结合的单调性建立不等式，求解参数范围即可.【详解】（1）由题意得，因为曲线与轴相切，所以设切点为，则，解得，又因为，所以，解得.（2）由题意得的定义域为，，当时，恒成立，在上为增函数，当时，若，，在上为减函数，若，，在上为增函数；综上，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数（3）方法一：由题意得当时，恒成立，等价于恒成立，得到，令，则，解得，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，则，故.方法二：当时，恒成立，等价于恒成立由（2）可知：①当时，在上为增函数，，则，无解②当时，在上为减函数，在上为增函数，得到，解得.18．(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）由椭圆定义可得，因为，所以，则，由题，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）①由题可得，从而直线的斜率必定存在，设、，设直线的方程为，联立，可得，，可得，由韦达定理可得，，因为，即，即，整理可得，即，又因为直线不过点，所以，所以，即；②由①可知，，由得，因为，所以，因此的取值范围是.19．(1)答案见解析(2)或(3)【详解】（1），当时，，所以在单调递增，当时，令，解得，当时，，即在单调递增，当时，，即