2021年上海市青浦区高考一模数学试卷

2021年上海市青浦区高考一模数学试卷一、填空题已知集合A=1,2,3,4，B=0,2,4,6,8，则A∩B=函数y=2x的反函数是行列式123456已知复数z满足z+4z=0，则∣z∣=圆锥底面半径为1 cm，母线长为2 cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=已知等差数列an的首项a1=1，公差d=2，其前n项和为Sn，则我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dca,b,c,d∈N∗，则b+da+c是x的更为精确的近似值．已知15750<π<22在二项式x+1ax25a>0点A是椭圆C1：x225+y216=1与双曲线C2：x24盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）记am为数列3n在区间0,mn∈N∗中的项的个数，则数列am的前已知向量e的模长为1，平面向量m，n满足：|m−2e|=2，|n二、选择题已知a,b∈R，则“a=b”是“a+b2= A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是   A．①② B．①④ C．②③ D．③④已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P−13,y A．22−36 B．22+36设函数fx=−x,x∈P1x,x∈M，其中P，（1）一定有AP（2）若P∪M≠R，则A（3）一定有P∩M=∅；（4）若P∪M=R，则A其中正确的个数是   A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：直线BD(2)求异面直线BD1与设函数fx=x(1)若fx为偶函数，求a(2)设a>0，gx=fxx如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=π4．记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为(1)分别求线段PM，PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；(2)求S的最小值．已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离大1(1)求动点M所在的曲线C的方程；(2)已知点P1,2，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直线AB(3)已知点P1,2，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB若无穷数列an和无穷数列bn满足：存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有∣an−(1)设无穷数列an和bn均是等差数列，且an=2n，bn=n+2n∈N(2)设无穷数列an是首项为1，公比为13的等比数列，bn=an+1+1，n∈N∗(3)设无穷数列an是首项为1，公差为dd∈R的等差数列，无穷数列bn是首项为2，公比为qq∈N∗

答案一、填空题1.【答案】2,42.【答案】y=log3.【答案】−34.【答案】25.【答案】π6.【答案】47.【答案】201648.【答案】29.【答案】2110.【答案】131811.【答案】28412.【答案】−1,8二、选择题13.【答案】B14.【答案】C15.【答案】D16.【答案】B三、解答题17.【答案】(1)设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又因为P是DD故PO∥又因为PO⊂平面PAC，所以直线B(2)由（1）知，PO∥所以异面直线BD1与AP所成的角就等于PO与故∠APO即为所求；因为PA=PC=2，AO=12所以sin∠APO=所以∠APO=30即异面直线BD1与AP所成角的大小为π618.【答案】(1)因为fx为偶函数，且x∈所以f−x即−x2即∣−x−a∣=∣x−a∣⇔∣−x−a∣所以4ax=0对一切x∈R所以a=0．(2)因为a>0，且x∈0,a所以gx任取0<xgx因为0<x所以x1−x又gx在区间0,a所以x1x2所以a≥a又a>0，所以0<a≤1．19.【答案】(1)在△PME中，∠EPM=θ，PE=AE−AP=4米，∠PEM=π4，由正弦定理得PMsin所以PM=PE×同理在△PNE中，由正弦定理得PNsin所以PN=PE×当M与E重合时，θ=0；当N与D重合时，tan∠APD=3，即∠APD=θ=π−π(2)△PMN的面积S=1因为0≤θ≤3π4−arctanS取得最小值为82所以可视区域△PMN面积的最小值为8220.【答案】(1)已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离大1，等价于动点M到直线x=−1的距离和到点F由抛物线的定义可得曲线C的方程为y2(2)设直线PA的斜率为k，因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为−k，则lPA:y−2=kx−1y−2=kx−1,y即ky+2k−4所以可得A2−k同理：y−2=−kx−1,y即ky+2k+4所以可得B2+k所以kAB=−4−2kk−(3)设直线PA的斜率为k，所以直线PB的斜率为2−k，则lPA:y−2=kx−1y−2=kx−1即ky+2k−4所以可得A2−k同理得：y−2=2−k即2−ky−2k所以可得Bk所以kAB所以lAB:y−2k所以直线AB恒过−1,0．21.【答案】(1)因为an=2n，若数列an与bn具有关系P1，则对任意的n∈即∣2n−n+2∣≤1，亦即∣n−2∣≤1，但n=4时，所以数列an与bn不具有关系(2)因为无穷数列an是首项为1，公比为1所以an因为bn所以bn所以∣a所以数列an与bn具有关系设A的最小值为A0，∣因为∣a所以A0若0<A0<1时，则当n>log3这与“对任意的n∈N∗，均有所以A0=1，即A的最小值为(3)因为数列an是首项为1，公差为d无穷数列bn是首项为2，公比为q所以an=a设1−d=a，2q则an=dn+a，bn=bqn，n∈N即存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有（Ⅰ）当d=0，q=1时，∣a取A=1，则an−bn≤A，数列a（Ⅱ）当d=0，q≥2时，假设数列an与bn具有关系则存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有因为∣b所以对任意的n∈N∗，即bqn≤1+A所以n≤log这与“对任意的n∈N∗，均有（Ⅲ）当d≠0，q=1时，假设数列an与bn具有性质则存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有因为an所以对任意的n∈N∗，即an≤2+A，所以dn−a≤2+A这与“对任意的n∈N∗，均有（Ⅳ）当d≠0，q≥2时，假设数列an与bn具有性质