2022-2023学年北京大学附中高二(下)期中数学练习试卷

2022-2023学年北京大学附中高二（下）期中数学练习试卷一、选择题。（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的值为（）A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或32．（4分）已知x＞y＞0，则下列不等关系中正确的是（）A．cosx＞cosy B．log3x＜log3y C． D．3．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，已知，则a3+a4＝（）A．81 B．243 C．324 D．2164．（4分）已知平面向量，则下列关系正确的是（）A．（+）⊥ B．（+）⊥ C．（+）⊥（﹣b） D．（+）∥（﹣）5．（4分）已知f（x）＝22x+x﹣2，若f（x0）＝0，则x0所在区间为（）A． B． C． D．（1，2）6．（4分）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（）A．18 B．24 C．36 D．427．（4分）某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A． B． C． D．8．（4分）已知点A（﹣1，﹣1）．若曲线T上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称T为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①x+y﹣3＝0（0≤x≤3）；②；③．其中，“正三角形”曲线的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（4分）命题“∃x0∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1）10．（4分）若函数f（x）＝x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]二、填空题。（每小题5分，共25分）11．（5分）的展开式中含x2的项的系数是．12．（5分）数列{an}的通项公式是an＝﹣7n+30（n∈N*），那么它的前n项和最大时n的值是．13．（5分）设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．15．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．三、简答题。（共85分）16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．17．（13分）已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．18．（14分）如表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表．已知在[80，90）分数段内的学生数为21人．分数段[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]频率0.10.150.20.20.150.1*（1）求测试成绩在[95，100]分数段内的人数；（2）现欲从[95，100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求[95，100]分数段内男生的人数；（3）若在[65，70）分数段的女生为4人，现欲从[65，70）分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为分配到此组的3名学生中男生的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动点P在直线x＝﹣1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN．证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．20．（15分）已知函数f（x）＝，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞恒成立，求a的取值范围．21．（15分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn＝An﹣Bn．（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4＝an），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn＝﹣d（n＝1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1＝2，dn＝1（n＝1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

2022-2023学年北京大学附中高二（下）期中数学练习试卷参考答案与试题解析一、选择题。（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的值为（）A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3【考点】集合关系中的参数取值问题．【答案】B【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B＝A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B＝A，即B⊆A，又，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝，解得m＝3或m＝0及m＝1，验证知，m＝1不满足集合的互异性，故m＝0或m＝3即为所求，故选：B．2．（4分）已知x＞y＞0，则下列不等关系中正确的是（）A．cosx＞cosy B．log3x＜log3y C． D．【考点】不等关系与不等式．【答案】D【分析】根据函数的单调性判断即可．【解答】解：对于A，比如在（0，），y＝cosx是减函数，不合题意；对于B，函数y＝log3x是增函数，不合题意，对于C，函数y＝是增函数，不合题意，对于D，函数是减函数，符合题意，故选：D．3．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，已知，则a3+a4＝（）A．81 B．243 C．324 D．216【考点】数列递推式．【答案】D【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出结果．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，已知，所以，，故a3+a4＝S4﹣S2＝216．故选：D．4．（4分）已知平面向量，则下列关系正确的是（）A．（+）⊥ B．（+）⊥ C．（+）⊥（﹣b） D．（+）∥（﹣）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】C【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直、平行的性质，即可求解．【解答】解：平面向量，则，，，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，向量＝（），＝（），则||＝||＝1，则有（+）•（﹣）＝||2﹣||2＝0，即（+）•（﹣），故C正确；对于D，+＝（﹣，﹣），﹣＝（﹣﹣，+），易得（+）与（﹣）平行不成立，故D错误．故选：C．5．（4分）已知f（x）＝22x+x﹣2，若f（x0）＝0，则x0所在区间为（）A． B． C． D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【答案】B【分析】判定原函数的单调性，再求出f（）f（）＜0，结合函数零点的判定定理得答案．【解答】解：f（x）＝22x+x﹣2是（﹣∞，+∞）上的增函数，又f（）＝＜0，f（）＝＞0，即f（）f（）＜0，∴f（x）的零点所在区间为（，），又f（x0）＝0，则x0所在区间为（，）．故选：B．6．（4分）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（）A．18 B．24 C．36 D．42【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】D【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地分派2名女生，有＝1种情况，若甲地分配1名女生，有•＝6种情况，则甲地的分派方法有1+6＝7种，甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有＝6种安排方法，则不同的选派方法的种数是7×6＝42；故选：D．7．（4分）某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A． B． C． D．【考点】等可能事件和等可能事件的概率．【答案】A【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，从余下的5对选手中选2对，再从这两对中每对选一个人，共有C61C52C21C21种选法．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，从余下的5对选手中选2对，再从这两对中每对选一个人，共有C61C52C21C21种选法．∴P＝＝，故选：A．8．（4分）已知点A（﹣1，﹣1）．若曲线T上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称T为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①x+y﹣3＝0（0≤x≤3）；②；③．其中，“正三角形”曲线的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】①点在线外，所以可以判断．②把给定的曲线方程变形，得到曲线曲线形状，知点A不在曲线上，通过分析进行判断．③利用数形结合的思想判断．【解答】解：①因为点A不在直线y＝﹣x+3上，直线与坐标轴的交点坐标为M（0，3），N（3，0），此时|MN|＝3，|AM|＝，|AN|＝．因为|AM|＜|MN|，所以存在两点B，C，使△ABC为正三角形，所以①是“正三角形”曲线；②x2+y2＝2（﹣≤x≤0）图形是第二，三象限内的二分之一圆弧，曲线与坐标轴的交点坐标为M（0，），N（﹣，0），此时弧长MN＝，最长的弦长为MN＝2，|AM|＝，|AN|＝，如图可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是“正三角形”曲线；③利用数形结合思想，以A为圆心，做一个顶角是60°，由图象可知当圆与曲线相交时，则存在B、C，使△ABC为正三角形，所以③为“正三角形”曲线．故选：C．9．（4分）命题“∃x0∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1）【考点】存在量词和特称命题．【答案】B【分析】由题意可知，∀x∈R，，再结合判别式，即可求解．【解答】解：命题“∃x0∈R，使”是假命题，则∀x∈R，，所以Δ＝，解得﹣1＜a＜3，故实数a的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．10．（4分）若函数f（x）＝x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t＝0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）＝1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．二、填空题。（每小题5分，共25分）11．（5分）的展开式中含x2的项的系数是15．【考点】二项式定理．【答案】15．【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为2，可得r的值，从而可得结论．【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）rx6﹣2r，令6﹣2r＝2，可得r＝2，所以T3＝（﹣1）2x2＝15x2，所以的展开式中含x2的项的系数是15．故答案为：15．12．（5分）数列{an}的通项公式是an＝﹣7n+30（n∈N*），那么它的前n项和最大时n的值是4．【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【答案】4．【分析】由已知结合等差数列的通项公式及性质即可求解．【解答】解：因为an＝﹣7n+30，所以数列{an}是以23为首项，以﹣7为公差的等差数列，又a4＝2＞0，a5＝﹣5＜0，故它的前n项和最大值n＝4．故答案为：4．13．（5分）设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，∴＝﹣3，∴a＝2b，∴＝b，∴e＝＝．故答案为：．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．【考点】分段函数的应用．【答案】见试题解答内容【分析】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a＝﹣，设g（x）＝﹣，则g′（x）＝﹣＝﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a＝设h（x）＝，则h′（x）＝＝，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）15．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π．【考点】直线与平面所成的角．【答案】40π．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠ASB＝＝．△SAB的面积为5，可得sin∠ASB＝5，即×＝5，即SA＝4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：＝2．则该圆锥的侧面积：＝40π．故答案为：40π．三、简答题。（共85分）16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面PAD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH∥平面PAD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，∴PA⊥平面PCD．解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN＝，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．17．（13分）已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx＝﹣sin2x﹣cos2x＝2sin（2x+）（Ⅰ）f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2，（Ⅱ）∵ω＝2，故T＝π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．18．（14分）如表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表．已知在[80，90）分数段内的学生数为21人．分数段[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]频率0.10.150.20.20.150.1*（1）求测试成绩在[95，100]分数段内的人数；（2）现欲从[95，100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求[95，100]分数段内男生的人数；（3）若在[65，70）分数段的女生为4人，现欲从[65，70）分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为分配到此组的3名学生中男生的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由频率分布直方表计算对应的频率和频数，求出对应的结果；（2）设出所求的男生人数为m，利用概率公式列方程求出m的值，再验证即可；（3）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方表可知：在[80，90）分数段内的频率为0.2+0.15＝0.35；又根据题中条件[80，90）分数段内的学生数为21人，可得该班学生总人数为＝60（人），而测试成绩在[95，100]分数段内的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.1；故试成绩在[95，100]分数段内的人数为60×0.1＝6（人）；（2）设测试成绩在[95，100]分数段内男生的人数为m，从中抽取的2人中至少有一名男生为事件A，依题意可得：P（A）＝+＝+＝，即：m2﹣11m+18＝0，解得：m＝2或m＝9，又因0＜m＜6且m为正整数，故m＝2，即测试成绩在[95，100]分数段内男生的人数为2人；（3）已知测试成绩在[65，70）分数段的人数为60×0.1＝6（人），由题意可知：ξ可取0，1，2，且有：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝；故ξ的分布列如下表：ξ012P数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×＝1．19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动点P在直线x＝﹣1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN．证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）点（2，0）在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为c＝，解方程组得到a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）点P在直线x＝﹣1上，则可得P（﹣1，y2），当直线MN的斜率存在时设斜率为k，得到直线MN中点，根据点P的横坐标解得k，由l⊥MN可得直线l的斜率及其含参数y3的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线MN的斜率不存在的情况．【解答】（Ⅰ）解：∵点（2，0）在椭圆上，∴，解得a2＝4，∵椭圆C的离心率为，∴，∴＝，解得b2＝3，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设P（﹣1，y0），，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y﹣y0＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得：，∴，∵P为MN中点，∴，即﹣，∴．∵l⊥⊥MN，∴，∴直线l的方程为，即，∴直线l恒过定点（﹣，0）．②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝﹣1，此时直线l为x轴，也过点（﹣，0）．综上所述，直线l恒过定点（﹣，0）．20．（15分）已知函数f（x）＝，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（Ⅱ）原不等式等价于a＜x﹣lnx恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出a的范围【解答】解：（Ⅰ）因为a＝0，所以f（x）＝，x∈（0，1）∪（1，+∞），所以f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝e，令f′（x）＞0，解得x＞e，令f′（x）＜0，解得x＜e，所以f（x）在（e，+∞）上单调递增，在（0，1）和（1，e）上单调递减．所以f（x）的单调递增区间是（e，+∞），单调递减区间是（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）因为x＞1，所以lnx＞0所以任意的x∈（1，+∞），f（x）＞恒成立，即＞恒成立．等价于a＜x﹣lnx恒成立．令g（x）＝x﹣lnx，所以g′（x）＝，令h（x）＝2﹣lnx﹣2，所以h′（x）＝＞0在（1，+∞）恒成立，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增．所以h（x）＞h（1）＝0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以g（x）＞g（1）＝1，所以a≤1．21．（15分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn＝An﹣Bn．（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4＝an），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn＝﹣