2022-2023学年北京市东城区广渠门中学高二(下)期中数学试卷

2022-2023学年北京市东城区广渠门中学高二（下）期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，共50分）1．已知f（x）＝x3﹣3x，则f'（0）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．02．的展开式中x3的系数为（）A．240 B．﹣240 C．120 D．﹣1603．若曲线f（x）＝ln（2x+1）在点（t，f（t））处的切线的斜率为2，则t的值为（）A．﹣1 B． C．0 D．14．已知函数f（x）＝2xex，则函数的极小值为（）A． B．﹣e C． D．﹣2e5．将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A．6 B．24 C．60 D．1206．甲，乙，丙三人报考志愿，有A，B，C三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考同一所大学的概率为（）A． B． C． D．7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．8．设数列{an}是等比数列，则“a2＞a1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B． C． D．10．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．如南宋数学家杨辉在《详解九章算法．商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（）A．464 B．465 C．466 D．495二.填空题（本大题共5小题，共25分）11．在等比数列{an}中，a3+a5＝﹣1，a4+a6＝2，则a3＝．12．随机变量X的分布列是X﹣212Pab若E（X）＝1，则D（X）＝．13．有3名男生和2名女生排成一排照相，要求女生相邻，共有种排法．14．已知函数在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）＝ex+asinx，则下列说法中，所有正确的序号是．①当a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＝﹣1时，f（x）在（0，f（0））处的切线为x轴；③当a＝1时，f（x）在（﹣π，0）存在唯一极小值点x0；④当a＝1时，f（x）在（﹣π，0）一定存在零点．三.解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知数列{an}中，a1＝2，且．（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．17．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（2）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．18．已知函数f（x）＝x﹣aex，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．19．某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如表：牙膏品牌ABCDE销售价格152552035市场份额15%10%25%20%30%（1）从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管．①求n的值；②从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测，记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望．（3）品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额．原有5个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管a元，下月牙膏的平均销售价为每管b元，比较a，b的大小（只需写出结论）．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，f（x）＞1恒成立；（3）设函数f（x）的定义域为D，求证：∀x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．21．已知集合M＝{1，2，3，⋯，n}（n∈N*），若集合．且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A（1≤i≤j≤m），使得b＝λ1ai+λ2aj其中λ1，λ2∈{﹣1，0，1}，则称集合A为集合M的一个m元基底．（1）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；①A＝{1，5}，M＝{1，2，3，4，5}；②A＝{2，3}，M＝{1，2，3，4，5，6}．（2）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；（3）若集合A为集合M＝{1，2，3，⋯，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并求出当m取最小值时M的一个基底A．

2022-2023学年北京市东城区广渠门中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，共50分）1．已知f（x）＝x3﹣3x，则f'（0）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】导数的运算．【答案】A【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3x，∴f′（x）＝3x2﹣3，则f'（0）＝﹣3．故选：A．2．的展开式中x3的系数为（）A．240 B．﹣240 C．120 D．﹣160【考点】二项式定理．【答案】A【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数等于3求出r的值即可．【解答】解：展开式的通项，由，可得r＝2．∴含x3项的系数为．故选：A．3．若曲线f（x）＝ln（2x+1）在点（t，f（t））处的切线的斜率为2，则t的值为（）A．﹣1 B． C．0 D．1【考点】导数及其几何意义．【答案】C【分析】复合函数求导后，将切点的横坐标代入即为切线的斜率．【解答】解：f'（x）＝，由于f（x）在点（t，f（t））处的切线的斜率为2，则k＝＝2，则t＝0．故选：C．4．已知函数f（x）＝2xex，则函数的极小值为（）A． B．﹣e C． D．﹣2e【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】求出函数的导数，判断其正负，判断函数的单调性，进而求得极值．【解答】解：由题意得，f'（x）＝2ex（1+x），当x＜﹣1时，f'（x）＝2ex（1+x）＜0，f（x）＝2xex递减，当x＞﹣1时，f'（x）＝2ex（1+x）＞0，f（x）＝2xex递增，故f（x）＝2xex在x＝﹣1处取得极小值，极小值为，故选：C．5．将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A．6 B．24 C．60 D．120【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，分析连号的情况就可得甲的分法，②将剩下的3张参观券分给其他三人，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有＝6种分法，则有4×6＝24种不同的分法；故选：B．6．甲，乙，丙三人报考志愿，有A，B，C三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考同一所大学的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】易知：三人报3所高校一共有33＝27种情况，恰有2人报考同一所大学可理解为：将3人分为2组，其中一组2人，另一组1人，再将两组派给三所学校中不同的两所共有••种，再根据概率计算公式即可得出结果．【解答】解：根据题意，三人报3所高校一共有33＝27种情况，而恰有2人报考同一所大学可理解为：将3人分为2组，其中一组2人，另一组1人，再将两组派给三所学校中不同的两所，则共有••＝18种．所以恰有两人报考同一所大学的概率为P＝＝．故选：D．7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y＝f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选：C．8．设数列{an}是等比数列，则“a2＞a1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等比数列的性质；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】由数列{an}为等比数列，结合已知不等式分别检验充分及必要性即可判断．【解答】解：因为数列{an}为等比数列，当a2＝1，a1＝﹣1满足a2＞a1，此时数列{an}不为递增数列，当数列{an}为递增数列时，则a2＞a1一定成立．故选：B．9．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B． C． D．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】D【分析】将两个函数作差，得到函数y＝f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得＝当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D．10．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．如南宋数学家杨辉在《详解九章算法．商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（）A．464 B．465 C．466 D．495【考点】数列的应用．【答案】B【分析】记第n层有an个球，则根据题意可得an﹣an﹣1＝n（n≥2），再根据累加法求解即可．【解答】解：记第n层有an个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，结合高阶等差数列的概念知a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，⋯，an﹣an﹣1＝n（n≥2），则第30层的小球个数a30＝（a30﹣a29）+（a29﹣a28）+⋯+（a2﹣a1）+a1＝30+29+28+⋯+2+1＝465．故选：B．二.填空题（本大题共5小题，共25分）11．在等比数列{an}中，a3+a5＝﹣1，a4+a6＝2，则a3＝﹣．【考点】等比数列的通项公式．【答案】﹣．【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由于q＝，求出q的值，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a3+a5＝﹣1，a4+a6＝2，则q＝＝﹣2，又由a3+a5＝a3+4a3＝﹣1，解可得a3＝﹣．故答案为：﹣．12．随机变量X的分布列是X﹣212Pab若E（X）＝1，则D（X）＝2．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】2．【分析】由于分布列的概率之和为1，以及E（X）＝1，列出关于a，b的方程，再根据方差公式即可求出D（X）．【解答】解：由题意可知，∴，所以．故答案为：2．13．有3名男生和2名女生排成一排照相，要求女生相邻，共有48种排法．【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】48【分析】根据插空法和分步计数原理，即可得解．【解答】解：先安排3名男生排队，有＝6种排法，再采用插空法，安排2名女生，有＝8种排法，由分步计数原理知，共有6×8＝48种排法．故答案为：48．14．已知函数在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】由单调性可知f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，采用分离变量法可得2a≤x2+2x，由二次函数的最值可求得a的范围．【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）＝x+2﹣≥0在（0，+∞）上恒成立，即2a≤x2+2x在（0，+∞）上恒成立；又当x＞0时，x2+2x＞0，∴2a≤0，解得：a≤0，∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．15．已知函数f（x）＝ex+asinx，则下列说法中，所有正确的序号是①③④．①当a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＝﹣1时，f（x）在（0，f（0））处的切线为x轴；③当a＝1时，f（x）在（﹣π，0）存在唯一极小值点x0；④当a＝1时，f（x）在（﹣π，0）一定存在零点．【考点】利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用．【答案】①③④．【分析】求出导函数，利用导数的正负确定单调性，极值点，由零点存在定理可判断零点问题，利用导数求出切线斜率可得切线方程．【解答】解：a＝﹣1，f'（x）＝ex﹣cosx，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故①正确；此时f'（0）＝e0﹣cos0＝0，f（0）＝1，切线方程是y＝1，故②错误；a＝1时，f'（x）＝ex+cosx，设g（x）＝ex+cosx，则g'（x）＝ex﹣sinx，x∈（﹣π，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，即f′（x）单调递增，又，f′（0）＝e0+cos0＝2＞0，所以，f′（x）在（﹣π，0）上存在唯一零点x0，当﹣π＜x＜x0时，f′（x）＜0，x0＜x＜0时，f′（x）＞0，故③正确；，f（0）＝e0+sin0＝1＞0，所以f（x）在（﹣，0）一定存在零点，即在（﹣π，0）上存在零点，故④正确．故答案为：①③④．三.解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知数列{an}中，a1＝2，且．（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【答案】（1）证明见解答；（2）2n﹣1+n．【分析】（1）直接根据等比数列的定义证明即可，（2）结合（1）的结论以及分组求和法即可求解．【解答】（1）证明：∵数列{an}中，a1＝2，，∴an﹣1＝2（an﹣1﹣1），a1﹣1＝1，∴{an﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得an﹣1＝1×2n﹣1，∴an＝1+2n﹣1，∴数列{an}的前n项和Sn＝n+＝2n﹣1+n．17．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（2）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】（1）0.3，0.4；（2）在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；（2）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断．【解答】解：（1）设事件C＝“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件D＝“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，所以，；（2）设N1＝“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，N2＝“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，M1＝“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，M2＝“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．因为P（M1|N1）＞P（M2|N2），所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．18．已知函数f（x）＝x﹣aex，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）y＝﹣1；（2）当a≤0时，f（x）min＝﹣a；当a＞0时，当0＜a＜1时，f（x）min＝1﹣ae；当1＜a＜时，f（x）min＝1﹣ae；当a≥时，f（x）min＝﹣a．【分析】（1）由题意，对f（x）进行求导，得到f′（0）和f（0）的值，代入切线方程中即可得到曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）结合（1）中所得函数f（x）的导数，对a≤0，a＞0，0＜﹣lna＜1和﹣lna≥1这四种情况进行讨论，利用导数得到函数f（x）的单调性，进而可得函数最小值．【解答】解：（1）已知f（x）＝x﹣aex，a∈R，函数定义域为R，当a＝1时，f（x）＝x﹣ex，可得f′（x）＝1﹣ex，此时f′（0）＝0，又f（0）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝0（x﹣0），即y＝﹣1；（2）易知f′（x）＝1﹣aex，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝﹣a；当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝﹣lna，当﹣lna≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣ae；当0＜﹣lna＜1时，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣lna＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，因为f（0）＝﹣a，f（1）＝1﹣ae，且0＜﹣lna＜1所以f（x）min＝f（1）＝1﹣ae；当﹣lna≥1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝﹣a，综上：当a≤0时，f（x）min＝﹣a；当a＞0时，当0＜a＜1时，f（x）min＝1﹣ae；当1＜a＜时，f（x）min＝1﹣ae；当a≥时，f（x）min＝﹣a．19．某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如表：牙膏品牌ABCDE销售价格152552035市场份额15%10%25%20%30%（1）从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管．①求n的值；②从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测，记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望．（3）品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额．原有5个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管a元，下月牙膏的平均销售价为每管b元，比较a，b的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）0.6；（2）①5；②分布列见解答，E（X）＝；（3）a＜b．【分析】（1）利用题中表格中的数据，由频率估计概率，即可得到答案；（2）①由分层抽样的特点，结合表格中的数据，即可得到答案；②先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；（3）分别求出a，b，然后作差比较大小即可．【解答】解：（1）由题意可知，这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率为0.15+0.25+0.2＝0.6；（2）①由题意，品牌A的牙膏抽取了20×15%＝3管，品牌A的牙膏抽取了20×10%＝2管，所以n＝3+2＝5；②由题意，X的可能取值为0，1，2，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为：X012P所以E（X）＝0×+1×+2×＝；（3）a＝15×0.15+25×0.1+5×0.25+20×0.2+35×0.3＝20.5，b＝+++＝，其中3：2：5：4：6：m为A，B，C，D，E，F6个品牌的牙膏所占市场份额之比，则b﹣a＝﹣20.5＝，所以a＜b．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，f（x）＞1恒成立；（3）设函数f（x）的定义域为D，求证：∀x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）f（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递增；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）求得定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导得f′（x）＝，令g（x）＝xlnx﹣x+1，利用导数得g（x）＞g（1）＝0，即有f′（x）＞0，从而即可得答案；（2）令h（x）＝lnx﹣x+1，x＞1，只需利用导数证明h（x）＜0，再利用不等式的性质即可得证；（3）利用（1）的结论即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}，f′（x）＝＝，令g（x）＝xlnx﹣x+1，x∈（0，1）∪（1，+∞），g′（x）＝lnx+x•﹣1＝lnx，所以在（0，1）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递增；（2）证明：令h（x）＝lnx﹣x+1，x＞1，h′（x）＝﹣1＝，所以当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）＜h（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0，lnx＜x﹣1，又因为x＞1，所以lnx＞0，所以1＜，所以当x＞1时，f（x）＞1恒成立；（3）证明：由题意可知：D＝（0，1）∪（1，+∞），由（1）可知f（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递增，所以当∀x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．21．已知集合M＝{1，2，3，⋯，n}（n∈N*），若集合．且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A（1≤i≤j≤m），使得b＝λ1ai+λ2aj其中λ1，λ2∈{﹣1，0，1}，则称集合A为集合M的一个m元基底．（1）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；①A＝{1，5}，M＝{1，2，3，4，5}；②A＝{2，3}，M＝{1，2，3，4，5，6}．（2）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；（3）若集合A为集合M＝{1，2，3，⋯，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并求出当m取最小值时M的一个基底A．【考点】数列的应用．【答案】（1）①A＝{1，5}不是M＝{1，2，3，4，5}的二元基底，②A＝{2，3}是M＝{1，2，3，4，5，6}的一个二元基底．（2）证明过程见解答．（3）5．【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得A＝{1，5}不是M＝{1，2，3，4，5}的一个二元基底，A＝{2，3}是M＝{1，2，3，4，5，6}的一个二元基底．（2）设a1＜a2＜…＜am，计算出b＝λ1ai+λ2aj的各种情况下的正整数个数，并求出它们的和，结合题意得m+m++≥n，由此能证明m（m+1）≥n．（3）由（2）可知m（m+1）≥19，从而m≥4，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当m＝4时，集合A的所有情况均不可能是M的4元基底，而当m＝5时，M的一个基底A＝{1，3，5，9，16}，由此能求出结果