《分式方程》自主达标测试题-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.3分式方程》自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.下列方程中不是分式方程的是（）

A.1+t=3B-右+方=2

2.解分式方程-二一2二3,去分母得（）.

x-11-x

A.l-2（x-l）=-3B.1-2（—1）=3

C.1—2x—2=-3D.1—2%+2=3

3.若关于x的分式方程娱-；=专三的解为2,则k的值是（）

x^-xx^+x

A.0B.-1C.3D.6

4.关于Hl勺方程巴一工二0有解，则m的取值范围是（）

XX+1

A.m—1B.m。1C.m。0D.mH1且mH0

5.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从

中任意摸出一个球，摸到红球的概率为%则红球的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

fx+1<;（a+x+1）

6.若关于x的不等式组4173、13至少有4个整数解，且使关于V的分式方程3-

胃=之有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

y-1i-y

A.4B.7C.6D.5

7.某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票.已知星际穿越栗的单价比火

星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张.设火星漫步票

的单价为x元，则x满足的方程为（）

xx+25xx-25

8.某次列车平均提速vkm/h,用相同的时间，列车提速前行驶skm,,求提速前列

车的平均速度.设列车提速前的平均速度是xkm/h,则可得方程为±=2，根据此情境，

Xx+v

题中“——"表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（）

A.提速后比提速前多行驶50kmB.提速后比提速前少行驶50km

C.提速后比提速前多行驶（s+50）kmD.提速后比提速前少行驶（s+50）km

二、填空题（满分24分）

9.若代数式三的值是2,则％=__________.

X-4

io.当％=_______时，分式三与分式;互为相反数.

x-55-X

11.关于次的方程3+，；=3的解为3=2,则。=_______.

X-lX-1

12.若。之一4,且关于％的分式方程卷+3=会有正整数解，则所有满足条件的整数a的

X-ZZ-X

值之和为.

13.若关于工的方程9-六=2的解为负数，则〃?的取值范围是

X-44-X

14.若是关于x的方程二-+色=1的解，则代数式4a2+4am+标的值是

X-Qa-x

15.新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6

元，第2次花费54.56元.已知两次收费标准相差0.16元/kW-h,则李明的新能源汽车电

池容量为kW-h.

16.在"母亲节〃前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销伐一空，根据

市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批

购进的鲜花盒数的2倍・，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是

每盒_____元.

三、解答题（满分72分）

17.（12分）解下列方程：

⑴上=至：

0）J_=2-2.

、,x-22-x

18.（8分）若关于x的分式方程+三二2的解比方程,的解大5,求加的

（x，-l）差（x+z力）X-lX+22xX-l

值.

19.（10分）已知关于无的方程一；+工2m-2

X2-3X+2'

⑴若m=-3,求出方程的解;

⑵若方程无解，求m的值.

20.（12分）探究与应用

【特例分析】

（1）填空：

①W=的解为六二

②缶=去-1的解为工；

③京=京-1的解为用」……

【总结规律】

（2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：

【解决问题】

（3）请你按照上述规律写出第八（〃为正整数）个分式方程，并求出它的解.（写出解答过

程）

21.（8分）为缓解城市交通压力，某市启动地铁工程.在一号线地铁工程开工期间，某工

程队负责修建一条长1200m的隧道.工程队计划采用新的施工方式，工效可以提升50%,预

计提前40天完成任务.这个工程队原计划每天修建隧道多少米？

22.（10分）"歼-10〃战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代

战斗机.宋文骋生于云南省昆明市，是"歼-10"战机的总设计师，被誉为中国"歼-10之父〃，

“阱风"战机，作为法国达索公司的杰作，9“台风"和"萨和AS-39〃并驾齐驱，被誉为战机

界的“欧洲三雄〃，对比两和战机，“歼-10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风〃战机的1.2

倍，己知A地与B地的直线距离300公里，若“阵风〃战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼

-10〃战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼-10〃战机的

速度是每小时多少公里？

23.（12分）2026年马年春晚，以"中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器

人消费热”.某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售.

⑴若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型

机器人5台，共耗资2.5万元.求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？

⑵在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技

术升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低0.8a万元.则所

购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的g求a的值.

参考答案

1.D

【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程“逐一判断选项.

【详解】解：A选项：分母含未知数3是分式方程；

B选项：分母含未知数％,是分式方程；

C选项：分母含未知数X,是分式方程；

D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程；

2.A

【分析】先确定最简公分母为（工-1），方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要

漏乘.

【详解】解：将原方程二2=2的右侧分母变形得二；-2=三，

x-11-xX-lX-1

方程两边同时乘以最简公分母a-1）,得1一2（%-i）=-3.

3.A

【分析】本题主要考查了分式方程的解.，将％=2代入原方程可得到关于k的一元一次方程,

求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：团原分式方程的解为％=2,且X=2时原方程各分母均不为0,

团将工=2代入原方程得：会一心=黑

两边同乘6去分母得：2（k—l）—3=k—5

去括号得：2k-2-3=ic-5

移项并合并同类项得：2/c-/c=-5+2+3

龈=0,

故选：A.

4.D

【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握分式

方程有解的情况.

先将分式方程化为整式方程，再结合分式方程有解的条件：整式方程有解且解不为原方程的

增根，确定机的取值范围.

【详解】解：那一工二0,

XX+1

团方程两边同乘¥（X+1）（工工0且xN-1）,得m（x+l）-x=O,

整理得：（7n-l）x=-m,

回分式方程有解，

0m-10,』-H0,—*-1,

l-m1-m

由m—1工0得m。1,

由上-丰0得m。0,

l-m

由‘LH-1得mH—(1-m),即0H-1,恒成立,

1-m

0mH1且mH0,

故选：D.

5.B

【分析】根据摸到红球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可二

【详解】解：设红球有X个，则袋子中总球数为（3+幻个,

0搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为:

团根据概率公式可得ST

交叉相乘得7x=4(3+x),

展开得7x=12+4x,

移项合并同类项得3%=12,

解得％=4,经检验符合题意;

0红球的个数为4.

6.A

【分析】先解不等式组，根据至少有4个整数解确定整数a的范围，再解分式方程，结合分

式方程有整数解且无增根，筛选出符合条件的。，最后求和即可.

x+1<-（cz+x+1）（T）

【详解】解：解不等式组?3、13z-x

4

解不等式①得：x<a-l

解不等式②得：x>-2

团不等式组的解集为-2<x<a-l

团不等式组至少有4个整数解，整数解为

0a-1>1,即a>2,且“为整数，

解分式方程3-言=卷，两边同乘。-1)得：

3(y—1)—ay=-5,整理得(3—d)y=-2,

当QH3时，y=£，且yw1(y=1时分母为0,是增根).

因分式方程有整数解，。为整数，

队1-3是2的整数约数，即。一3=±1,±2,

解得a=4,2,5,1,

结合Q>2,排除Q=1,Q=2,剩余Q=4,Q=5,

当Q=5时，y=^—=1,是增根，舍去，

5—3

团只有a=4符合条件，符合条件的所有整数a的和为4.

7.C

【分析】先根据设出的未知数表示出星际穿越票的单价，再分别求出两种票可购买的数量,

最后根据数量关系列方程即可.

【详解】解：设火星漫步票的单价为％元，则星际穿越票单价为a+25)元，

回总费用为480元，

团可购买火星漫步票数量为等张，可购买星际穿越票数量为最张，

团购买的星际穿越票比火星漫步票少2张，

胖一&=2.

xX+25

8.A

【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为%km/h,则提速后速度为

(x+v)km/h,根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案.

【详解】解：设提速前平均速度为%km/h,则提速后速度为(x+u)km/h,

方程左边;表示提速前行驶skm所用的时间，方程右边箸表示提速后行驶(s+50)km所用的

时间，

团方程表示两者时间相同

回说明相同时间内，提速后比提速前多行驶50km

回补允条件为选项A,

故选：A.

9.5

【分析1根据题意列出分式方程求解”的值，再检验即不.注意分式有意义的条件，分母不

能为0.

【详解】解：由题意得：/7=2,

X-4

Ax(X-4)=2x(x-4),

2=2%—8»

•••2x=10»

二%=5,

检验当％=5时，%—4=1,0,

因此x=5是原分式方程的解.

10.8

【分析】本题考查解分式方程，根据互为相反数的两个数和为0列出方程，求解后检验即可

得到结果.

【详解】解：由题意，分式三与七互为相反数，故它们的和为零,

即E+W=

由于5-x=-(％—5),所以=

x-5

代入方程得告―£=0,

即悬=0,

解得x=8,

经检验，当％=8时，分母％-5=3工0,符合题意.

11.1

【分析】将％=2代入分式方程，求出a的值即可.

【详解】回关于％的方程二；+/；=3的解为％=2,

X-lX-1

回将％=2代入方程，得3g+A7=3，

即2+a=3,

解得：a=l.

12.10

【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由S+3=F得到％=牛，要求》为正整

X-22-X4

数且工工2,结合。2-4,求出所有符合条件的整数a,然后求和，即可作答.

【详解】解：脸+3=三

噎+3=-翳

团Q+3(%—2)=—(x8).

化简得a+3x-6=-X+8,

依题意，》为正整数且XH2,

咛为正整数且不等于2.

设k=*,则a=14—4k,其中k为正整数且kH2.又因为a之一4,

4

014-4k>-4,

解得kW4.5,

即kW4(A为正整数).

因此k=1,3,4.

对应a值：当k=1,a=10；

当k=3,a=2；

当k=4,a=-2.

团所有整数a的和为10+2+(-2)=10.

故答案为10.

13.m<—8/—8>m

【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母

不为零的限制条件，确定m的取值范围.

【详解】解：原方程言-£=2可变形为占+£=2

方程两边同乘最简公分母a-4)去分母得m+x=2(x-4)

整理得x=m+8

团方程的解为负数

<0,即m+8<0

解得m<-8

又回分式方程分母不能为0,

R4,即m+8H4,解得mH—4

vzn<-8,则mW-4自然成立

故答案为m<-8

14.4

【分析】本题主要考查分式方程的解和求代数式的值，将x=m代入方程，化简分式后得到

m=2-2a,再代入代数式4a2+4am+m?,即(2Q+TH)2,计算得值.

【详解】解：回x=m是方程=-+'=1的解，

3a

原方程化为---

m-a1,

2-3a

UPm-a=1.

整理得m=2-2a.

04a24-4am+m2=(2a+m)2=22=4,

故答案为：4.

15.31

【分析】根据两次充电花费的差额和收费标准的差，利用电池容量不变列方程求解.

【详解】解：设电池容量为xkW-h,第一次收费标准为—元第二次为3元

XX

/kW-h,由题意可得：

54.5649.6八.,

--------------=0.16

XX

解得：%=31

经检验，无=31是原方程的解.

答：李明的新能源汽车电池容量为31kW・h.

故答案为：31.

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的美键是根据题意，列出分式方程并求

解.

16.60

【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为％元，则第二批每盒进价为％-10元，根据第二批

购进盒数是第一批的2倍，列分式方程求解检验即可.

【详解】解：设笫一批鲜花礼盒的进价是每盒x元，则第二批每盒进价为X-10元.

第一批购进的盒数为吧盒，第二批购进的盒数为笔盒.

xx-io

回第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的2倍，

那丝=2x喀

x-10X

交叉相乘化简得5000%=6000。-10),

解得％=60»

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，

故第一批鲜花礼盒的进价是每盒60元.

17.(l)x=-3

⑵原方程无解

【分析】根据“去分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验”的步骤求解即可.

【详解】(1)解：方程两边同乘工(%+1),

得：30(%+1)=20%,

解得：x=-3,

检验：当％=-3时，x(x+1)=-3x(-3+1)=6A0,

=-3是原方程的解；

(2)解：方程两边同乘(工一2),

得：1=—(1—x)—3(x—2)»

解得：x=2,

检验：当％=2时，X—2=2—2=0,

以=2是原方程的增根，

团原方程无解.

18.m=8

【分析】本题考查了分式方程的解法及根据方程解的关系求参数，解题的关键是先求出己知

分式方程的解，再根据“解大5”的条件得到目标分式方程的解，最后将此解代入目标方程求

解参数.

先解分式方程机=」7,得到其解；再根据题意计算出目标分式方程的解；然后将目标分式

2xx-1

方程化为整式方程，把求得的解代入整式方程，求解m的值即可.

【详解】解：先解方程4=」；，

2xx-1

方程两边同乘2x(x-1),得3(%-1)=2%,3%-3=2r,x=3.

经检验，％=3是原方程的解.

7nx

由题意,得分式方程=工的解为t=3+5=8.

(x-l)(x+2)

方程两边同乘(％-1)(%+2),得mx+2(x+2)=x-1,mx+2x+4=x-1,(m+l)x=

-5

把％=8代入，得8(m+1)=—5,8m+8=-5>8m=-13,m=---.

8

经检验，771=符合题意.

o

故m的值为一抹.

o

9

19.(l)x=-

(2)m的值为一1或2或g

【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解

题的关键；

(1)将m=一3代入原方程，再解方程即可；

(2)根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解：二是整

式方程的解是原方程的增根(使分母为零)，首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况

即可.

【详解】(1)解：当m=—3时，原方程可化为，三十七二丁三，

x-2x-1X2-3X+2

即二+'=--—,

x-2x-1(x-2)(x-l)

两边同乘(人—1)(“—2)得，—3(x-1)+(x—2)=-8,

化简，得一2%=-9,

解得％=j

经检验，无=3是原分式方程的解；

(2)解：去分母得-1)+%-2=2m-2,

整理得(m+l)x=3?n,

当m+1=0时，整式方程无解，即m=—l时，原方程无解；

当x=2时，2（m+1）=3m,解得m=2；

当％=1时，m+1=3m,解得TH=5

即m=2或m=T时，整式方程的解为2或1,此时分式方程无解，

综上所述，m的值为-1或2或

20.①x=0②x=1③/=2；（2）第4个分式方程为W一L解为％=3；（3）第n

个分式方程为±=W-i,解为％二"一1

X+lX+1

【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察

并归纳解的规律.首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第

四个方程，并最终写出第几个方程及其解.解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，

理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结.

（1）①两边同乘以％+1,去括号，移项合并即可，注意代入检验增根；

②两边同乘以X+1，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根；

③两边同乘以X+1,去括号，移项合并即可，注意代入检验增根；

（2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可；

（3）根据规律，第〃个方程为：卷二三-1,两边同乘x+L移项整理即可.

人+1X+1

【详解】（1）解：①解方程：之=系一1，

两边同乘以x+1,得：1=2-（%+1）

去括号：1=2-1,

移项合并得：x=0,

检验：当％=0时，分母工+1=100,解成立，

所以解为％=0；

故答案为：x=0：

②解方程：=

两边同乘以％+1,得：2=4-（%+1）

去括号：2=4-%-1,

移项合并得：x=1♦

检验：当％=1时，分母x+l=2工0,解成立,

所以解为％=1；

故答案为：x=1：

36

③解方程:----=--------1,

X+lX+1

两边同乘以X+1,得：3=6-(无+1),

去括号：3=6-x-1,

移项合并得：x=2,

检验：当％=2时，分母X+1=3H0,解成V.,

所以解为％=2,

故答案为：%=2；

(2)观察前三个方程：

①W-—1,

②》缶一1,

③WfT

规律：左边分子为鼠右边分子为2M且结构为々2k

x+1

因此第4个方程为：^-=-^--1

人+1人+1

解法同上：

两边同乘％+1：4=8-(x+1),

整理，得：4=7-x,

移项合并得：%=3,

检验成立，解为x=3,

所以第4个方程是工=々-1,解为x=3：

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