江西省2025届高三数学下学期第二次联考试题（解析版）

江西省2025届高三数学下学期第二次联考试题（解析版）

一、单选题

1.设集合4=8={%|/一%一2V0},则4cB中的元素个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】由己知得，B=(x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2]

所以An8={-l,o,l,2}n{x|-1<X<2]={0,1}»

所以AnB中有2个元素.

故选：C.

2.已知复数z在复平面内对应的点为（-2,2）,贝壮=（）

Z

lli

B.+

A.-;+;i44

C.；一；iD.

444

【答案】D

【解析】由题意知，z=—2+2i,则z*—2+21(―22++2；i：)(六-2—22i))=得874T4

故选：D.

3.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（）

A2u9百it八9百st八2&n

A.—nB.---C.--D.--

3283

【答案】C

【解析】设圆锥底面圆的半径为八高为九，母线长为八

则Z=3,27n*=3花，所以r=|,

所以h二A/Z2-r2=?，

所以该圆锥的体积为:兀M=；兀x停）乂浮=竽兀

J3\乙/Lo

故选：C

4.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规

律.某同学根据自己记忆1。0个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得

到其记忆率y（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间x（单位：小

时）的函数关系式为y=1-0.5%。。6,当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（）

(参考数据：1g2ko.30,1g3ko.48)

A.100小时B.300小时C.1000小时D.3000小时

【答案】C

【解析】由题意得100(1-0.5X°06)=25,所以1一0.5%006=%即”06=}

两边同时取以10为底的对数，得0.061gx=lg3-lg2x0.48-0.3=0.18,所以Igx=3,x=

1000.

故选：C.

5.已知cosa—cos0=1,sina-sin/?=y,则cos(/?—a)=()

AA.---41c-Dj

72

【答案】B

2

［解析】由cosa—cos/?=g有，(cosa—cos/?)2=(g),即cos2a—2cosacos/?十cos2/5=:①，

2

由sina—sin£=*有，(sina-sin/?)2=(与)，即sin2a-2sinasin/?+sin2/?=

®+②得，cos2a+sin2a+cos2^4-sin2/7-2(cosacos/?+sinasin/?)=：+：

即2—2(cosacos0+sinasin/?)=豢则2—2cosQ?-a)=|^»解得cos(/?—a)=^.

故选：B.

6.某校组织校运会活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责AB,四个任务，每人至少负责一

个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责力任务，则不同的任务分配方法种数为

()

A.12B.18C.24D.30

【答案】C

【解析】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙、丙两人,此时有C5A；=6种分配方法:

若甲只负责一个任务，则先在8、C、D中选取一个任务分给甲,

然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙、丙两人,

有=18种不同的分配方法.

由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为6+18=24种.

故选：C.

7.己知户是双曲线%-3=1（。＞0/＞0）的右焦点，过点尸作垂直于一%轴的直线与双曲线交

于P,Q两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接&P交y轴于点心连接842并延长交PQ

于点C,且3斤=而，则双曲线的离心率为（）

55

2-C3-

A.B.3D.2

【答案】A

【解析】根据题意，画出示意图，则P,EC,Q的横坐标都为c,代入双曲线方程得y=±?,;.

而乙（一a,0）,所以直线尸&方程为、=就0+。）,

令％=0,得师=刍，‘B（0,9），所以直线8A2：y=一^^（%-。），

b2(c-a)

a(c,十a)

因为3方=无，所以可得3x（-前）=—J

整理得2c=4a,所以e=£=2.

a

故选：A.

8.已知平面向量五,刃1,且同=l,|a|=2.已知向量方与Z所成的角为60。,且历-同＞|I-e|

对任意实数M亘成立，则|方+了|+我方一可的最小值为（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.275

【答案】B

【解析】根据题意，d-e=|6|-|e|cos60°=1|6|,

\b-te\>亚-矶，两边平方由2+t2\e\2-2tbe>\b\2+|e|2-2h-e,整理得到产-\b\t-

1+|b|>0,

对任意实数t恒成立，则A=|b|2-4(-l+|b|)W0,解得(囚—2)2工0,则说=2.

由于同=2,如上图，|五+初=，五+2司,则于+a+版一4=|扣+21+的一同？

(ia+2e)-(1a-b)|

则同+a+a-可的最小值为2V3.

当且仅当一2E石；益终点在同一直线上时取等号.

故选:B.

二、多选题

9.下列说法中正确的是()

A.若一•组样本数据(项,必)(1=1,2,…,九)的对应样本点都在直线y=-1±,则这组样本

数据的相关系数为g

B.若样本数据无1，第2，・，利的方差为4,则数据341+1,3%2+1-・,3的+1的标准差是6

C.以模型y=ce^去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归方程

为2=0.3x+4,则c,k的值分别为e，和0.3

D.按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29,31,37,40,41,50：乙组数据为24,30,33,44,

48,52,60,68,70,80厕甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75

【答案】BC

【解析】对于A,若一组样本数据g%)(i=1,2,…，九)的对应样本点都在直线y=1-1上,

又g>0,所以这组样本数据的相关系数为1,故A错误；

对于B,若样本数据%1，%2,…,％9的方差为4,

则数据3X1+1,3无2+1,…,3的+1的方差是32乂4=36,所以标准差为6,故B正确;

对于C,z=ingz=0.3x4-4,y=e2=e0,3x+4=e4-e0"3x»故C正确;

对于D,因为6x30%=1.8,10x40%=4,所以甲组数据的第30百分位数为31,

乙组数据的第40百分位数是手=46,31+46=77,故D错误.

故选：BC.

10.已知点4偿,%)(neN*)在焦点为F(l,0)的抛物线y2=2Pxe>。)上，其中｛册｝是各

项均不为零的数列且由=1.若I4+/I=\AnF\+1,贝！()

2

A.an=nB.数列｛In%｝为等差数列

2n

C.+—+—2D.y(—l)^a=2n24-n

01«203at

nI=1

【答案】ACD

【解析】：抛物线产=2Px(p>0)的焦点为尸(1,0),

•••；=1,p=2

抛物线方程为y=4%,

又・••4(E，yj在抛物线上,则次=4x个,

^\An+lF\=\AnF\+l,根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，

・•.准线方程为％=-1,则

二2+1=&+1+1,即皿一3二1,

n+lnn+ln

又0Qi=1,

=1+(n-1)x1=n,则斯=n2,A正确.

对于数列｛Ino^Jn%=Inn2=21nn,

•••lnan+1—lnan=2ln(n+1)-21nn

=21n—,不是常数，

n

二数列｛hrnj不是等差数列，故B错误.

当n=1时，—=1<2,

当nN2时,-+—+—=A+i+^+-+4

zZZ

a2a3anl23

<1+2+A+…=2--<2,

1x22x3(n-ljnn

综上工+工+工+~+上<2,故C正确，

Qi02%,

2n

W(T)&=-1+4-94-16------(2n-l)2+(2n)2

r=l

=3+7H----F(4n—1)

n(3+4n—1)

=2

=2n2+n,故D正确.

故选：ACD

11.如图，在校长为2的正方体ABCD-A/iCiDi中，点分别是棱B&CCi的中点，P是

侧面BCG/内(含边界)的一动点，且满足APII平面HEF,则下列说法正确的是()

A.点P的轨迹是一条长为企的线段

B.平面AEF截正方体ABCD-4当的历所得截面的面积为苧

C.直线4P与平面8CG仇所成角的正弦值的最大值为平

D.过点P作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为兀

【答案】ACD

【解析】对于A,取G,H分别为8名,81cl的中点，连接GH,4M，4所以G”〃Bg,

因为E,F分别是棱的中点，所以EF〃Bg,所以EF〃GH,

又u平面4EF,GHC平面力EF,所以GH〃平面AEF,

乂易得BE〃B]H且BE=BiH,所以四边形BB/E是平行四边形，

所以88i//EH且BB]=EH,又BBJ/AAi且=AAif

所以/L4"/EH且44=EH,所以四边形44HE是平行四边形，

所以AE//4”,又AEu平面力EF,4HC平面4EF,所以A〔H//平面AEF,

又AiHnGH=H,4H,GHu平面&HG,所以平面4/G〃平面4EF,

因为4P〃平面4EF,所以力Ju平面&HG,又P是侧面8CC/1内，

所以P€GH,又GH=6所以点P的轨迹是一条长为夜的线段，故A正确；

对于B,易证AD"/BCi，又EF〃BQ,所以"〃4小，

所以平面4E/截正方体力BCD-所得截面截面为等腰梯形A“。]，

又皿=2y[2,AE=遍,EF=&,所以等腰梯形力“小的高为小一段（2夜-&）『=苧,

所以截面面积为智立苧=£故B错误；

对于C,因为力1当1平面B1GC8,所以乙41PBi为直线&P与平面BCC/i所成的角，

在RtaaPBi中，sin乙41p/=鳖，所以&P最小时，正弦值最大，

月1尸

所以当点P在线段G4中点时，&P最小，最小值为j22+（^j=苧，

此时线面角的正弦值为sin/A/Bi=粤=平，故C正确；

41P3

对于D,正方体的外接球的半径为,，22+22+22=V3,

当点P在G或，处时，正方体的中心（即外接球球心）离P点距离最远为VL

此时以P点为截面圆心，截面圆半径最小为＜3-2=1,所以截面面积的最小值为仃2=兀,

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

12.（返一：丫的二项展开式中的常数项为.

【答案】60

【解析】一。6的二项展开式的通项为Tr+1=CZ（a）6-r（_：）r=墨（一2）「/等"=

0,1,2,•••,6.

令3-|丁=0,得r=2,所以展开式中的常数项为/=低（-2）2=60.

故答案为：60.

13.甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中

甲获胜的概率是右乙获胜的概率为最且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则

甲最终获胜的概率为.

【答案】整

O1

22128

3---=-

【解析】甲以3:0获胜的概率为Pi=(1)333

27

以3：2获胜的概率为P3=Ci(|)2.*)2.：=卷，

3<5<5ol

所以甲获胜的概率为P=Pl+P2+P3=5+5+M=青

乙///olO1

故答案为：M

ol

2

14.已知函数f(%)=x+ln(x—1),g(x)=xlnx,若/'(孙)=14-2\nt,g(x2)=t>则(不必一

初)19的最小值为.

[答案】—安

【解析】•••f(%i)=町+ln(xj-1)=14-2\nt,

2X1-1

即％1—1+皿4-1)=Int=ln[e•(xr—1)],

•••t2=e*】T(%]—1)①，t2>0,

2lnXz

g(%2)=x2\nx2=t=e,In%2②'

又y=x♦e”在[0,+8)上单调递增，

lnX2

故由①@得。勺-1(修-1)=e-lnx2=>%i-1=lnx2»

2

故(占工2一%2)lnt=x2lnx2-Int=tlnt,

令h(t)=t2\nt(t>0),则九'(£)=2tlnt+t,

令》(t)>0,解得：t>e4,令"(t)vO,解得：OvtVeT,

故九⑷在(0,ef递减，在(eV,+8)递增，

故W)mM=h(ef=一支，

故答案为：一《•

2e

四、解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinB+csinC=asinA+bsinC.

(1)求角力；

(2)已知角4的平分线与边8c相交于点D,且/W=L8C=2,求△力BC的面积.

解：(1)因为bsinB+csinC=asin/1+bsinC,

由正弦定理知〃+c2=a2+be,即a?=b2+c2-be,

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos4,

所以cosA-z-,A=.

(2)ill=Z.CAD=7,SRABCAABDCAD

o=^+^^,

则:besing=：csin：+；bsin7,所以V5bc=b+c.

232626

在△力8c中，由余弦定理Q2=/+c2-2/jcCOsg,

即4=b24-c2—be=(b4-c)2—3bc,

所以3(%)2-3比一4=0,解得加=丝"，

6

c1,.n13+屈W近+屈

S^ARC=-Dcsin-=-X--------X—=-----------.

△A"232628

16.如图，在平面四边形4BCD中，乙ABC=ABCD=9U°,AB=4,CD=6,BC=26,E为线

段CD上一点，满足CE=2,将△力0E沿4E向上翻折至△?1»£连接80,C。’.

(1)若BD'=2®证明：平面/DE_1_平面48。邑

(2)若BD'=6,求平面与平面所成角的余弦值.

(1)证明：取AE的中点F,连接BF,D'F,BE,

由已知易得8E=月。=AE=4,△ABE,△AD,E均为等边三角形,

则BF=D'F=2®由于8产+D'产=BD?,所以。'尸1B",

又因为DF1AE,AEC\BF=F,AE,BFu平面力BCE,

所以D'FJL平面/BCE,又D'Fu平面40'E,

所以平面力DE_L平面48CE.

(2)解：由8。'=6,BF=D'F=2V3,

所以dB="黑户=醋溪=-g则"喈=12。。,

以尸为坐标原点，兄4,98所在直线为X轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,0,0),3(0,275,0),C(-3,V3,0),D(0,-V3,3),

所以而=(-2,2x/3,0),FD'=(0,-3\/3,3),FC=(-3,一百,0),

设平面i4D'8的一个法向量为温=(%i，yi，Zi),

,(n；-AB=0得(-2修+2国力=0

由，一XC，取为=1,得式=(V5,1,V3),

显•=01-3V5yi+3为=0

设平面CD'B的一个法向量为五=(%2，y2，Z2)，

花-BC=0得(-3%2-岛2=0

由取M=1,得无=(1,一V5,-3),

而•BD=0—3\3y2+3Z2=0

设平面力。8与平面CDB所成角为。，

则COS”|3而对=雷篙=蕉=喈，

所以平面力与平面所成角的余弦值为噂.

17.已知函数/(%)=1e2x—(2a+l)ex+2ax+1.

(1)当a=-g时，求函数y=/(%)的图象在x=0处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调性；

(3)若当36[0,1],/(%)<0恒成立，求实数Q的取值范围.

解：(1)当(1=心时,f(x)=^2x-x+|,/(x)=e2^-1J(O)=2,/(0)=0,

所以函数y=/(幻的图象在％=0处的切线方程为y=2.

(2)/(x)=e2x—(2a+l)ex+2a=(ex-2a)(ex—1),

当0时，ex-2a>0,所以当x€(-8,0)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当xw(0,+oo)

时，/'GOAO/G)单调递增：

当a>0时，由f(%)=0,得x=0或％=ln(2a),

当2a=1即a=g时，/(x)>O,f(x)在R上单调递增,

当Ova时，xe(ln(2a),O)时，/(幻<OJ(x)在(ln(2a),0)上单调递减，

%€(-8,ln(2a))和X6(0,+8)时，f'(x)>0,f(x)在(-8,ln(2a)),(0,4-8)单调递增；

当a时，ln(2a)>O,xE(0,ln(2a))时，/'(无)<0J(x)在(0,ln(2a))上单调递减，

xG(-oo,0)和%G(ln(2a),+8)时,/(%)>0,/(%)在(一oo,0),(ln(2a),+8)上单调递增.

综上可得，aWO时，f(x)在(一%0)单调递减，在(0,+8)上单调递增；

a=g时，/(%)在R上单调递增；

0<a<|W,f(x)在(ln(2a),0)上单调递减，在(-8,ln(2a)),(0,+8)上单调递增；

Q>?时，/(幻在(0Jn(2Q))上单调递减，在(一8,0),(］n(2a),+8)上单调递增.

(3)由题可得f(0)=1-2a40,所以

由(2)知当Q=g时，f(x)在(0,1)上单调递增，则当“£(0,1)时/•(%)>(),不满足题意，

当Q>J时，f(X)在(0,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+oo)上单调递增，

当ln(2a)Z1,即QN；时/(外在(0,1)上单调递减，x6(0,1］时，/(幻</(0)=0,满足题意,

当0vln(2a)<l,口%Vav1时，/"(4)在(0,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),1)上单调递增,

由“W［0,1］时,/(x)W0恒成立,则/⑴=：e2-(2a+l)c+2a+Ho,得a之手之

ZL4c-4

中心e2—2e+31(e—2)2+1八e2—2e+3e3—e?由卜2e+3e

因为FZ1-5=Fr>o，Fz［一G=R<A°,所以

综上可得实数Q的取值范围为If,+8).

18.某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10

名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投

掷一枚均匀的骰子，初始分数为0,每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投

掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.

(1)设员工在游戏过程中累计得n分的概率为P”.

①求匕也岛；

②求证数列{乙一P-i}(2<n<9)为等比数列.

(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖

的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多

不能超过多少元？(精确到1元)

解：(1)①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为匕=a

累计得2分，即第•次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为P2=T+gxT=*

累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为P3=

2x-x-+-x-x-=-；

222228

②由题知，累计获得几分时有可能是获得〃-1分时掷骰子点数为奇数或获得〃-2分时掷骰

子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为！

所以乙制PnT+»n_2(3wnW9),

则也一2“-1=一"。“-1一乙_2)，(3<n<9),又P2—PI=；

故｛Pn-Pn-1K2<n<9)为首项为(，公比为的等比数列.

-PP

(2)由⑴-Pn-i=1(7)'P'T-Pn-2=*(-,……»2~1=

将所有等式相加得Pn-P]=：•4*=上学一，

所以P"=牛-(-3"']+»：+X-)(1<n<9).

8

所以七:,+^一3丫二驾，PIO=|PB=|X[1+1X(-1)]=1Z1,

设一等奖的奖金为X元，二等奖的奖金为:元，

由题意知伊察+"X10W10000元，

解得％<当黑«1499.27,即一等奖的奖金最多不超过1499元.

003

19.仿射变换是处理圆锥由线综合问题的一类特殊而又巧妙的方法，它充分利用了椭圆与圆

的关系，具体的解题方法为：对于椭圆。：当+专=13>力>0),可由仿射变换'一三，则

abV=-

Ub

椭圆C的方程变为"'2+y'2=i,直线的斜率与原斜率的关系为鼠图形的面积与原面

积的关系为S'=^S•现己知椭圆C方程为5+A=l(a>b>0),离心