相交线与平行线（知识清单）-人教版七年级数学下学期复习

专题01相交线与平行线

/〃//〃//〃〃/〃〃〃/©•思维导图///////////////////

★对顶角：相等

★金卜角：互补

垂线：垂直，垂线段最短

相交线

点到直线距离：垂线段长度

三线八角：同位角、内错角、同旁内角

定义：同一平面内不相交

平行公理及推论

相

平行线一★判定：角关系T线平行

交

★性质：线平行一角关系

线

与

形状、大〃不变

平

*平移-对应点连线平行且相等

行

线

命题：题设+结论

真命题、假命题

命题与证明

证明：推理有据

三线八角准确识别

判定与性质不混淆

本章难点

几何推理规范书写

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃点,青，〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

»相交线的相关概念

1.相交线的定义

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线

的交点。如图1所示,直线与直线⑦相交于点0。

图1图2图3

2.对顶角的定义

若•个角的两条边分别是另•个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。

如图2所示，N1与/3、N2与N4都是对顶角。

3.对顶角的性质：对顶角相等。

4.邻补角的定义

如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互

为邻补角。如图3所示，N1与N2互为邻补角，由平角定义可知Nl+N2=180°。

»垂线

1.垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有•个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的•

条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如下图，两条直线互相垂直，记作。1人或AB_LCD

垂直于点0.

2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角

边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画

直线就为己知直线的垂线（如图所示）.

3.垂线的性质:

（1）在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

4.点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

图4

如图4所示，的垂线段P8的长度叫做点P到直线〃？的距离。

»平行线的定义及画法

1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行，记作a〃b.

2.平行线的画法：

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行.

»同位角，内错角和同旁内角的定义

两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。

（1）同位角：可以发现/I与N5都处于直线/的同一侧,直线〃、♦的同一方,这样位置的一对角就是同

位角。图中的同位角还有N2与N6,N3与N7,N4与N8。

（2）内错角：可以发现N3与N5都处于直线/的醛，直线。、b的两方,这样位置的一对角就是内错角。

图中的内错角还有N4与N6。

（3）同旁内角：可以发现内4与N5都处于直线/的同一侧,直线。、（的两方,这样位置的一对角就是同

旁内角。图中的同旁内角还有N3与N6。

»平行线判定

判定方法（1）:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相笔，那么这两条直线平行

简单说成：同位角相等，两直线平行。

几何语言：

VZ1=Z2

・•・AB〃CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行。

VZ2=Z3

・•・AB/7CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简单说成：同旁内角互补,两直线平行。

VZ44-Z2=180°

・•・AB〃Q）（同旁内角互补，两直线平行）

»平行线性质

性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简的说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：・・・a〃b

AZ1=Z5（两直线平行，同位角相等）

性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：・・・a〃b

・・・N3=N5（两直线平行，内错角相等）

性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：・・・a〃b

•••N3+N6=180°（两直线平行，同旁内角互补）

»图形的平移

L定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种

移动，叫做平移变换，简称平移。

2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。

3.平移的性质

（1）对应点的连线平任（或共线）且清图

（2）对应线段平行（或共线）且相等;

（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。r「

4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法/>r

（1）找关键点；“

（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点

（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应

连接，即得到平移后的图形

»定义、命题、定理

1.定义与命题

（1）一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义.

（2）判断一件事情的语句叫做命题.

（3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设，“那么”

后接的部分是结论.

2.真命题、假命题

（1）正确的命题叫做真命题.

（2）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）.

（3）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可.

3.公理与定理

（1）如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，

这样的真命题叫做公理.

（2）如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为

判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理.

（3）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据.

（4）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论

〃〃〃〃〃〃〃〃〃/题型清单,，/〃〃/〃〃〃/〃〃/

期中常考题型清单

»对顶角的识别

【例I】（24-25千年级下•广西柳州•期中）下列图中N1与42是对顶角的是（）

A.一7B.AC..7D./C

【答案】D

【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键.根据对顶角的两边互为反

向延长线进行判断.

【详解】自吊：A、B、C中，/I与，2的两边都不互为反向延匕线，所以不是对顶角，是对顶角的只有

D.

故选：D.

【变式1】（24-25七年级下•四川达州•期中）下列选项中，乙1利"2是对顶角的是（）

A.B.C.

【答案】D

【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角

的两边是另•个角的两边的反向延长线）是解题的关键.判断对顶角需要满足的两个条件，•是有公

共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可.

【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做

对顶角，观察选项，只有D选项符合，

故选：D.

【变式2］（24-25七年级下•湖北武汉•期中）在下列各图中，N1与42是对顶角的是（）

【分析】木题主要查了对顶角.根据对顶角的定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、乙1与乙2不是对顶角，不符合题意;

B、41与乙2不是对顶角，不符合题意；

C、与乙2不是对顶角，不符合题意；

D、乙1与乙2是对顶角，符合题意；

故选：D

»对顶角和邻补角的有关计算

【例2】(24-25七年级上•吉林长春•月考)如图,直线AB,CD用交于点。,。4平分NEOC.

⑴若NEOC=70。，求4BOD的度数;

(2)若NEOC:NE。。=2:3,求zBOD的度数.

【答案】(1)35。

(2)36°

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，平知的定义，熟知相关知识是解题的关键.

(I)由角平分线的定义可得乙4OC的度数，再由对顶角相等可得答案；

(2)由平角的定义可得4E0C的度数，由角平分线的定义可得4OC的度数，再由对顶角相等可得答

案.

【详解】(1)解：:OA平分2EOC,乙EOC=70。,

：.LAOC=-^.EOC=35。，

2

：,^BOD=^AOC=35°；

(2)解：\'LEOC.LEOD=2:3,Z-EOC4-/-EOD=180°,

9

C.LEOC=180°x—=72°,

2+3

•・,OA平分4EOC,

：,^AOC=-LEOC=36%

2

，乙BOD=Z.AOC=36".

【变式I】(24-25七年级下•河南郑州•期中)如图,直线48、CD相交于点O,EO1OF,且CC平分

LAOE.

(I)44。。的对顶角是41。。的补角是一和

(2)若4BOF=38°,求NUO尸的度数.

【答案】(1)/8。0：乙BOC；Z.AOD

(2)26°

【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角.

(1)根据对顶角，补角的定义，即可解答：

(2)先根据垂直定义可得NE0F=90。，从而可得：Z-EOB=52°,然后利用平角定义可得乙40E二

128。，再利用角平分线的定义可得4C0E=64°,从而利用平角定义进行计算即可解答.

【详解】(1)解：乙40C的对顶角是NBOD,AAOC^^^BOC^^AOD,

故答案为：4BOD；乙BOC；匕4。。；

(2)解：VEO1OF,

A/.EOF=90。，

♦:乙BOF=38°,

：.Z.EOB=Z.EOF-乙BOF=52°,

：./.AOE=180°-乙EOB=128°,

TOC平分乙40E,

J.LCOE=\^-AOE=64°,

:.乙DOF=180°-乙COE-乙EOF=26°.

【变式2](24-25七年级下・甘肃定西•期中)如图，直线48、CD相交于点。，OE把480D分成两部分.

C

(1)图中44。。的对顶角为,Z80E的邻补角为；

(2)若0E平分N80D,^DOE-.^AOD=1:4,求NEOC和NBOC的度数.

【答案】(1)48。。，^AOE

(2)4BOC=120°,Z.EOC=150°

【分析】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关

键：

(1)根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可；

(2)设NDOE二人根据角平分线的定义得到乙BOE=4DOE=3根据平角的定义，列出方程进行求

解即可.

【详解】(1)由图可知：的对顶角为N80C,乙BOE的邻补角为乙4OE.

(2)设iOOE=x,则ZAO。=4x.

•••。七平分乙吕。。，

/.Z.BOE-Z.DOE-%»

*：Z-BOE+/-DOE+/-AOD=180°,

：.x+x+4x=180°,解得％=30。，

J.LBOE=30°,^AOD=4x=120°,

:•乙BOC=Z.AOD=120°

:.乙EOC=4BOE+ABOC=150°.

【变式3】(24-25七年级下•江西九江•期中)如图，直线4&CD相交于点O,OE把N8。0分成两部分.

(1)图中乙40c的对顶角为,乙80E的补角为.

(2)若乙4OC=80°,且4BOE:cEOD=1:3.求乙4OE的度数.

【答案】(l)NBOD；Z.AOE

(2)160°

【分析】本题主要考查了对顶角的定义，邻补角的定义，几诃图形中的角度计算，准确识图，熟练运

用相关知识是解题的关键.

(1)根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可.

（2）由对顶角的定义得出NB。。=80。，再结合已知条件可得出4BOE=20。，最后根据邻补角的，

求解即可.

【详解】（1）解：图中N40C的对顶角为ZBOD,/B0E的邻补角为乙40E；

故答案为：乙BOD；4OE；

（2）解：•••Z.AOC=80°,

:.Z.BOD=80°,

v乙BOE:乙EOD=1:3且/8。。=乙BOE+乙EOD,

•••乙BOE=-4/-BOD=-4x80°=20°.

・•・乙4OE=180°-乙BOE=180°-20°=160°.

»垂线段最短

【例3】（24-25七年级下•宁夏银川・期中）如图，计划从河边引水到尸处，从A,B,C,。四处地方何

处引水，所用水管最短（）

A/B

A.4处B.8处C.C处D.。处

【答案】B

【分析】本题考查了垂线段最短，熟记垂线段的性质是解题的关键.

根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案.

【详解】解：'：PBLAD,

由垂线段最短可知，从8处引水，能使所用的水管最短.

故选：B.

【变式1】（24-25七年级下•陕西汉中•期中）如图，ACIBC,AC=6,AB=10,D是线段BC上的动

点，则A,。两点之间的距离可能是（）

A

【答案】C

【分析】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短.

点。是线段8C上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得4CW4DW4B,进而可得答案.

【详解】解：,•,AC1BC,AC=6,AB=10,点。是线段8C上的动点，

.-.AC<AD<AB,

•••6<AD<10.

故诜：C.

【变式2】（24-25七年级下•广东佛山•期中）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图，游戏时宾主依

次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜.若四位投壶者分别站在直线/上的点A,B,C,。处

往点夕处的壶内投箭矢，小明认为站在点。处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（）

A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.同角的余角相等

D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

【答案】D

【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

求解即可.

【详解】解•：若四位投壶者分别站在直线上的点A,B,C,。处往点处的壶内投筋矢，小明认为站在

。点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂

线段最短.

故选D.

【变式3】（24-25七年级下•河南平顶山•期中）如图，是直角三角形，^ACB=90°,AB=

5,/IC=3,FC=4,点。是力B边上的一个动点，则CP的最小值是（）

A.2B.2.4C.3D.3.5

【答案】B

【分析】本题考查了垂线段最短，求直角三角形的面积，当CP垂直48时，C尸的最小值，根据SM8c

\AC.BC=\AB.CP即可求出答案.

【详解】解：当CP垂直4B时，CP的最小值，

•••Z.ACB=90°,AB=5,AC=3,BC=4,

即工x3x4=！x5.CP,

22

CP=2.4,

故选：B.

»平行线的相关概念

【例4】（24-25七年级下•河北唐山•期中）如图,MCWAB,NCWAB,则点M,C,N在同一条直线上，理

由是：（）

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行

【答案】D

【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可.

【详解】解：MCWAB，NCWAB,则点M,C,N在同一条直线上，理由是：过直线外•点有且只有

一条直线与已知直线平行.

故选：D.

【变式1】经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

【答案】B

【分析】本题考查平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行.根据平行公理:

经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，即可得到结果.

【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行•.

故诜：B.

【变式2]（24-25七年级下•宁夏银川・期中）a,b,c是直线,且allb,b\\c,则a||c,理由是

【答案】平行于同一直线的两条直线平行

【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线

也互相平行成为解题的关键.

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答.

【详解】解：:lb,b\\c（已知），

・・・allc（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

故答案为：平行于同一直线的两条直线平行.

»同位角，内错角和同旁内角的定义

[ft5）（24-25七年级下•浙江杭州•期中）图中，△1与乙2是同位角的有（）

【答案】C

【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“尸'形，内错角的边构成“本形，同旁

内角的边构成'7T形，根据同位角的意义，结合图形进行判断即可.

【详解】解.：A、是内错角，不是同位角，故此选项不符合题意；

B、不是同位角，故此选项不符合题意；

C、是同位角，故此选项符合题意；

D、不是同位角，故此选项不符合题意.

故选C.

【变式I】（24-25七年级下•河南郑州•期中）如图，下列判断正确的是（)

A.41和42是同位角

C.乙1和乙5是同旁内角D.22和44是对顶角

【答案】B

【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形

成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位

角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截

线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.两条直线被第三条直线所载形成的角中，若两个角都在两直

线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；若两个角有公共顶点，

且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此定义求解即可.

【详解】解：A.N1和42是内错角，故该选项不正确，不符合题意;

B.乙3和乙4是内错角，故该选项正确，符合题意；

C.N1和45不是同旁内角，故该选项不正确，不符合题意；

D.N2和44是不对顶角，故该选项不正确，不符合题意；

故选：B.

【变式2】（24-25七年级下•广西防城港•期中）如图，下列结论正确的是（）

A.43与乙4是邻补角B.乙1与乙4是同位角

C.42与乙3是同旁内角D.41与45是内错角

【答案】B

【分析】本题考查了邻补角，同位角，同旁内角，内错角，熟练掌握定义是解题的关键.根据三线八

角图认识几何概念，解答即可.

【详解】解：A.，3与44不是邻补角，本选项错误，不符合题意；

B.乙1与Z4是同位角，本选项正确，符合题意；

C.N2与43不是同旁内角.本选项错误,不符合题意：

D.与N5不是内错角，本选项错误，不符合题意：

故选：B.

【变式3】（24-25七年级下•辽宁盘锦・期中）图1为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用

来提升重物的装置.图2为其平面示意图，图2中与N1互为内错角的是（）

图1图2

A.z.2B.z3C.Z4D.z5

【答案】B

【分析】本题考查内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且

在第三条直线（截线）的两旁，则这样对角叫做内错角.根据定义判断即可.

【详解】解：图2中与N1互为内错角的是43.

故选：B.

»平行线判定

【例6】（24-25七年级下・贵州贵阳•期中）如图，下列条件能判定ACII8E的是（）

A

E、

DC

A.Z.C=Z-EBCB.Z.A=LEBDC.Z.C=Z.ABCD.Z71=Z-ABE

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解.

【详解】解：因为乙4=乙48£所以AC||BE（内错角相等，两直线平行.），故D符合题意；

A、B、C选项都无法判断4C||8E.

故选：D.

【变式1】（25-26七年级上•黑龙江绥化•期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图

的画法.这种画平行线方法的依据是（）

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，内错角相等D.两直线平行，同位角相等

【答案】A

【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键.

由己知可知/1=42,从而得出同位角相等，两直线平行.

【详解】解：如图，

VZ1二42,

：.ABIICD（同位角相等,两直线平行）.

故选：A.

【变式2】（24-25七年级卜・山东滨州•期末）如图，卜列条件中，能判断直线48||CD的是（）

E

H

F

A./.BAD=Z.ADCB.Z-ABC=Z.ADC

C./.ABC+Z.ABE=180°D.乙BCG+乙ABE=180°

【答案】A

【分析】此题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理依次判断即可.

【详解】解：A.由N氏4。=乙1DC可得AB||CD,符合题意;

B.由=4/10。不能得出.48||CD,不符合题意；

C.Z-ABC+/-ABE=180。不能得出AB||CD.不符合题意；

D.Z.BCG4-Z-ABE=180。不能得出力BIICD,不符合题意；

故选：A.

»利用平行线性质求角度

【例7】（24-25七年级下•吉林白山•期中）如图,已知QII6,若N1=58。，则42的度数为（）

A.122°B.32°C.42°D,58°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键.根据两直线平行，同位角

相等，进行解答便可.

【详解】解：•.♦allb,

•••z,1=z.2,

•••41=58。,

/.42=58°,

故选：D.

【变式I】（24-25七年级下•甘肃武威・期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它

的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点。处发出的光线OB、0C经反射后沿着与P。

平行的方向射出，已知乙4BO=42。，4DC。=68。，则乙BOC等于（）

A.138°B.120°C.112°D.110°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知力811OP，OP||DC,根据平行线的性质可得

乙BOP=/.ABO=42°,乙POC=乙DCO=68°,由此即求解出480C的度数.

【详解】解：由撅竟可■知：ABIIOP,OPIIDC,

而//IB。=42°,Z.DCO=68°,

乙BOP=/.ABO=42°,

Z-POC=Z-DCO=68°,

乙BOC=乙BOP+LPOC=42°+68°=110°.

故选：D.

【变式2】（24-25七年级卜..广东梅州，期中）某公司推出了一款护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽

略不计）如图所示，其中DE||AB.经使用发现，当4OCB=140。时，台灯光线最佳，则

此时,EOC的度数为（）

A.140°B.130°C.120°D.110°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，过C作CKIIAB,得到EDII48IICK,由垂直的定义

推出N8CK=180°-90°=90°,由，BCD=140°,推出NKCD=50°,由平行线的性质得到zCDE=

180。-50。=130。，即可求解.

【详解】解：过C作C'K||AB,

ED

*：ED||AB，

：.ED||AB||CK

yBCLAB

：,LCBA=90°,4BCK=180°—90°=90°

••"BCD=140°,

•••乙KCD=140°-90°=50°,

CK||ED

:.乙CDE=180°-50°=130°,

故选:B.

【变式3】（24-25七年级下•福建漳州•期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁

边观察，发现从某个角度看，工作篮底部48与支撑平台CD平行.若21=30。/3=150。，则乙2的度

数为（）

支撑平台

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过N2的顶点作直线3CD,，将N2分成44

和N5,则1II力B||CD,由平行线的性质得出N4=41=30。，Z5=180°-Z3=30°,即可得解.

【详解】解：如图，过N2的顶点作直线CD,2将42分成24和45,

Az4=Z1=30°,z5=180°-z3=30°,

.\z2=z4+z5=60°,

故选：A.

»平行线的判定与性质综合

【例8】(24-25七年级下•云南大理•期中)如图,ADWEF,Zl+Z2=180°.

⑴求证：DGIMF；

(2)若N1/CDG=2:3/408=110°,求NB的度数.

【答案】(1)见解析

(2)42°

【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角，掌握知识点是解题的关键.

(1)先求出4/ME+42=180。，再由41+42=180。，得到，1=4ZZ4E,则0G||48,即可解答;

(?)先推导出/COG=>4"=42。.再由。G||力/?.得到//?="OG=42。，即可解答.

【详解】(1)解：・・FD||EF,

：,Z-DAE+£.2=180°,

VZ1+Z2=180°,

.,.zl=Z.DAE

,\DG\\AB.

(2)VZ1:ZCDG=2:3,Z.ADB=110",

C.Z-CDG=-Z,ADC,Z-ADC=180°-Z-ADB=70°,

AZCDG=^x70°=42°,

'：DG\\AB,

，乙B=Z.CDG=42°.

【变式1](24-25七年级下•广东揭阳•期中)如图，EFWAB,Z-DCB=70°,Z-CBF=20°,Z-EFB=

(1)间直线CO与AB有怎样的位置关系？并说明理由；

⑵若ZTEF=70°,求心力C3的度数.

【答案】(1)COIIAB,理由见解析

(2)乙4cB度数为40。

【分析】本题考查了平行线的判定和性质定理，关键在于热练运用平行线的判定定理和性质定理.

(1)由题意推出乙4BF=180。-130。=50。，结合ZC8F=20。，推出NABC=70。，得至=

/-ABC,根据“内错角相等，两直线平行''即可推出CDII4B；

(2)根据⑴推出的结论,推出“IICD,根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到/EC。=

110。，根据角的和差关系从而求得乙4cB的度数.

【详解】(I)解：CD\\AB,理由如下：

•••EF||AB,乙EFB=130°,

乙ABF=180°-130°=50°,

又•：乙CBF=20°,

•••LABC=乙ABF+乙CBF=70°,

•••乙DCB=70°,

AZ-DCB=Z.ABC,

CD||AB；

(2)解:•・•EF||AB,CD||AB,

•••EFIICD,

•••乙ECD=180°-乙CEF=180°-70°=110°,

LACB=乙ECD-乙DCB=110°-70°=40°,

:,乙4cB度数为40°.

【变式2](24-25七年级下•浙江温州•期中)如图，已知4门|肛AB与DF交于前G,点E、C分别在

DG、08上，连结EC、AC,£2=40GB,Z1=z2.

F

(1)判断CE与4B是否平行，并说明理由；

(2)Z-FAB=2/-BAC,z3=72°,求4ACE的度数.

【答案】(1)CEIIAB,详见解析

(2)36°

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

(1)根据题意，结合图形，得到NDGB=N1,利用同位角相等，两直线平行，证得结论；

(2)根据题意，先计算出4FAC=108。，再得到=4c=36。，利用两直线平行，内错角相

等，得到结果.

【详解】(1)解：CEWAB,理由如下：

•••Z.2=乙DGB,z.1=Z.2,

•••乙DGB=z.1,

ACE||AB,

(2)解：-AF||BD,

43+Z-FAC=180°,

•••Z3=72°,

•••^.FAC=108°,

•••乙卜'AB=2乙BAC,

Z.BAC/-FAC=36°,

•••CE||AB,

•••/-ACE=Z.BAC=36°.

»判断命题的真假

【例9】（24-25七年级下•广东中山•期中）下列命题中，真命题是（）

A.相等的角是对顶角；B.若两个角的和为180。，则这两个角互为邻补角；

C.同位角相等；D.在同一一平面内.若a上b,c工b,则aIIc

【答案】D

【分析】本题主要考查了真假命题，

根据真假命题的定义逐项判断即可.

【详解】解：因为相等的角不一定是对顶角，该命题是假命题，所以A不符合题意；

因为若两个角的和为180。，则这两个角互为补角，该命题是假命题，所以B不符合题意；

因为同位角不一定相等，该畲题是假命题，所以C不符合题意：

因为在同一平面内，若a_L瓦clb,则alie,该命题是真命题，所以D符合题意.

故选：D.

【变式1】（24-25七年级下.江西南昌・月考）下列命题是真命题的是（）

A.同位角相等

B.相等的角是对顶角

C.互为相反数的两个数的绝对值相等

D.过一点有且仅有一条直线与已知直线平行

【答案】C

【分析】本题考查命题，正确的命题叫真命题：错误的命题叫假命题，根据同位角性质、对顶角定

义、绝对值意义和平行公理判断即可得到答案，熟悉学过的相关性质定理是解决问题的关键.

【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，故本选项符合题意；

D、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行-，则原命题是假命题，故本选项不符合题意：

故选：C

【变式2】（24-25七年级下•四川南充•期中）下列说法中：

①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；

②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

③过•点有且只有•条直线与已知直线垂直；

④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

真命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】此题考查了命题的真假，邻补角的定义，角平分线性质，平行线的性质，垂直定义等知识，

①根据邻补角的定义及角平分线性质判断：②考虑平行线条件下的同位角关系；③明确垂直定义中的

前提条件；④依据平行公理的条件限制.

【详解】解：①互为邻补角的两个角的和为180。，其角平分线将每个角分为一半，即各为原角的一

半，

・•・两角平分线形成的夹角为两半角之和，即竺f=90。，故互相垂直，①正确；

②两条直线被第三条直线所裁，只有两直线平行时同位角才相等，若两直线不平行，同位角不等，②

错误；

③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，需在同一平面内成立，题目未限定平面，故表述不严

谨，③错误；

④平行公理要求“过直线外•点''才有且只有•条平行线.题目中“过•点”未排除点在直线上，此时无

平行线，④错误.

综上，真命题仅①，个数为1.

故选：A.

【变式3】（24-25七年级下•天津东丽・期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（）

①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线

平行；⑤如果a=b,b=c,那么a=c.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查命题，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，根据锐角、钝角、直角的概

念、平行线的判定定理以及等式的传递性判断即可得到答案，熟悉学过的相关性质定理是解决问题的

关键.

【详解】解：命题①：两个锐角之和一定是钝角，

锐角是小于90。的角，若两个锐角分别为30。和20。，和为50。，仍为锐角，故命题①为假命题；

命题②：直角小于钝角，

直角为90。，钝角大于90。且小于180。，显然直角小于钝角，故命题②为真命题；

命题③：同位角相等，两直线平行，

根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，故命题③为真命题；

命题④：内错角互补，两直线平行，

平行线判定定理中要求内借用相等，而非互补，若内错角互补（如100。和80。），两直线不平行，故

命题④为假命题；

命题⑤：若a=b,b=c,则a=c,

根据等式的传讲性，该命撅成立，故命撅⑤为真命题：

综上所述，真命题为②③⑤，共3个，

故选：C.

»写出命题的题设与结论

【例9】（24-25七年级下•福建厦门•期中）命题“内错角相等”是命题，改写成“如果……那

么……”的形式：.

【答案】假如果两个角是内错角，那么这两个角相等

【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，命题写成“如果…，那么...”的形式，“如果”后面接的部分

是题设，“那么”后面解的部分是结论，解题的关键是了解有关的定义及定理.

【详解】解：命题“内错角相等“是假命题，把此命题改写成“如果…那么的形式为：如果两个角是

内错角，那么这两个角相等，

故答案为：假；如果两个角是内错角，那么这两个角相等.

【变式1】（24-25七年级下•北京•期中）将“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果

，那么这两个角相等.

【答案】两个角是同一个角的补角

【分析】本题考查命题的改写，根据如果后面是条件，那么后面是结论，进行改写即可.

【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.

故答案为：两个角是同一个角的补角

【变式2】（24-25七年级下•广东湛江•期中）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那

么”句式为.

【答案】如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行

【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键.利用命题可以写成“如果……那么

……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答.

【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行''中，改成"如果……那么……”句式为“如果两直线被第三

条直线所载形成的同位角相等，那么这两条直线平行”.

故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行.

【变式3]（24-25七年级下•黑龙江绥化•期中）把命题“互为邻补角的两个角的平分线相互垂直”改写成“如

果....那么……”的形式是.

【答案】如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直

【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的后面

接的部分是题设，“那么”的后面接的部分是结论，由此即可得解.

【详解】解：把命题“互为邻补角的两个角的平分线相互垂直''改写成"如果……，那么……的形式是

如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直，

故答案为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直.

逻辑与推埋

【例10】（24-25七年级下•福建福州•期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断

正确的密码是.

①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确；

②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确；

③3、4、2、9四个数字都不正确；

④I、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确.

【答案】0518

【分析】本题考查了逻辑推理，根据己知推断求解即可.

【详解】解：由③可知，3、4、2、9四个数字都不正确，

即密码中没有3、4、2、9四个数字；

由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确，

即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确；

由①可知，6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确；

即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或5在第二位；

若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为5在第二位；

由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。

则数字1在第三位，

即正确的密码是0518，

故答案为:0518.

【变式1】（24-25七年级下•山东泰安・期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三

个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）.小明说：“硬币在我手上”：小刚说：“硬币不在我

手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”.三个同学只有一个说对了，则硬币在的手上.

【答案】小刚

【分析】本题考查了逻辑推理与论证.解题的关键在于对信息的综合理解.由题意知，若小明正确，

则小刚正确，小明、小刚说法均正确，不符合要求；若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则

小华说法正确，小刚、小华同学说法均正确，不符合要求；若小华正确，小明错误，小M错误，则硬

币在小刚手上，进而可得答案.

【详解】解•：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求；

若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要

求；

若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上，

工当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上，

故答案为:小刚.

【变式2】（24-25七年级下•广东广州•月考）甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫

净，事后教师问他们是设做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的“：丙说："不是我做

的如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗.（）

A.甲B.乙C.丙D.无法判断

【答案】C

【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，首先可以假设甲说的真话，进而可得乙、丙的真假，通过

推出互相矛盾得到甲说的假话，进而确定乙是真话和丙是假话，据此可得答案.

【详解】解：假设甲说的真话，那么乙说的假话，丙说的真话，不符合题意；

・•・甲说的假话，即不是乙干的,

・••乙说的是真话,

・•・丙说的是假话,

・•・活是丙干的，

故选：C.

【变式3］（24-25七年级上•湖南长沙•月考）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五

名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次.

甲猜：乙第三名、丙第五名;

乙猜：戊第四名、丁第五名;

丙猜：甲第一名、戊第四名;

丁猜：丙第一名、乙第二名;

戊猜：甲第三名、丁第四名.

老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（）

A.甲B.乙