高考数学一模试题分类汇编：计数原理与概率统计（原卷版）

专题08计数原理与概率统计

☆8大考点概览

考点01统计

考点02概率

考点03排列组合

考点04二项式定理

考点05随机变量及其分布

考点06正态分布

考点07独立性检验

考点08概率与其他知识交汇问题

.♦考点1

1.（2026・三省三校•一模）样本数据2,8,14,16,20的第60百分位数是（）

A.14B.15C.16D.18

2.（2026•辽宁沈阳•一模）样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数次为（）

A.7B.9C.9.5D.10

3.（2026•黑龙江海伦市六中•一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175,178,177,174,

176,175,179,180,178,176,则十名护旗手身高的80%分位数为（）

A.177.5B.178C.178.5D.179

4.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）统计学中，常以前〃个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产

的零件以〃个为一箱，成箱出售（〃eN.）.每箱中的零件按照生产顺序，从1至心连续编号.现从一箱中随

机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12,15,33,38,55,60,则下列4个选顷中，作为〃

的估计值，最合适的一项是（）

A.61B.70C.98D.120

5.（2026・吉林白城•一模）（多选）有一组样本数据与x?,…,三,其平均数为4,方差为s；,中位数为〃?.在

这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2,余下6个数据的中位数为小方差为广，极差为，，则

()

A.m=nB./<4C.31<4s；D.s；之1

6.（2026•内蒙古锡林郭勒盟二中•一模）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方

图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（）

7.（2026.辽宁辽阳•一模）（多选）某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数

逐年增力口.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人

数的扇形统计图（图2）,己知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（）

A.2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万

B.2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和

C.2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千

D.2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线

考点2概率

1.（2026•黑龙江研远联合•一模）从I,2,3,4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之用为5的概率

是（）

2.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bol》惊艳全球！其中，机器人以“似倒

非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统口志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存

在三种互斥的情况：

①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；

②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏,90%能站稳；

③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳.

则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）

A.0.9B.0.91C.0.92D.0.93

3.（2026.辽宁沈阳.一模）（多选）已知事件A,A满足P（A）=05,P（B）=0.2,则下列结论正确的是（）.

A.若BqA,则P（48）=0.5

B.若4与8互斥,则P（A+8）=0.7

C.若P（AB）=0.1,则A与3相互独立

D.若A与B相互独立，则P（A班=0.9

4.（2026・辽宁大连•一模）从某小区抽取10（）户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在

50~350kW.h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间〕，画出如图所示的频率分布直方图.

⑴求频率分布直方图中工的值；

（2）估计月用电量样本数据的中位数；

（3）在该小区所有居民用户中随机抽取一用户已知M的月用电量落在区间［100.250）中，估计M的月用

电量恰好落在区间「00,150）中的概率.

考点3排列组合

1.（2026.黑龙江哈尔滨•一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由

同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1,2,3,4,5,6,7这七个数字分别填入这七个圆中，且

满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有种.

2.（2026•黑龙江•一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、

体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配

方法种数为（）

A.81B.72C.36D.12

3.（2026•内蒙古呼和浩特•一模）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小

罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两

项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）种.

A.120B.60C.24D.36

考点4二项式定理

（1\5

1.（2026•吉林白城联合体•一模）二项式x---的展开式中常数项为

k-x）

2.（2026•辽宁沈阳•一模）已知。＞0,二项式卜的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常

数项为.

3.（2026•三省三校•一模）（多选）已知（2-%）*=%+41+。/2+…+4丁，则（）

A.③=2'B.4+%+…+仆=1

C.同+同+同+…+同=38D.q+2a2+3%+…+86=-8

4•考点5随机变量及其分布列

1.（2026♦黑龙江•一模）（多选）4对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近Inm工艺之后面临

的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测,

假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示:

生产线次品率产量（件/天）

甲2%200

乙3%500

丙1%300

试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由

计算机随机等可能生成数字“0”或“I”，连续生成4次，把4次的数字相加,若和小于3,则该天检测方式和

前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）

A.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为2.2%

B.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为，

C.若计算机4次生成的数字之和为则夕（4<3）=匚

Io

D.设A,表示事件第〃天该企业产品检测选择的是智能检测,则外

2.（2026•辽宁辽阳•一模）在边长为1cm的正方形A8C。中，一点从A处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若

向上的点数等于6,则该点沿平行于8c的方向（正反方向均可）移动1cm：若向上的点数小于6,则该点

沿平行于A8的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷2〃（〃eN）次股子后，该点回到A,B,C处的概率分

别为%,4,cn.

⑴求％.

（2）设掷4次骰子，该点经过。处的次数为X,求X的分布列.

⑶若随机变量X,服从两点分布，且外%=1）=1-*',.=0）=4，»=1.2,...,〃，则才£%]=£外,记掷前

Ir-17M

2〃次骰子（即从第1次到第2〃次掷骰子）的过程中，该点经过。处的次数为y,求E（y）.

3.（2026•内蒙古呼和浩特•一模）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个

红球和2个白球.根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球.若

选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球.

（1）按照上述规则摸球3次.当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数X的分布列及期望上（X）；

（2）按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球.求3次之内（含3次）停止摸球的概率.

4.(2026•黑龙江•一模)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(ArtificialIntelligence,简称AD已

然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI

工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：

第一组第二组第三组第匹组第五组

年龄[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

人数3()150906030

(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；

(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记

抽到第一组的人数为〃第二组的人数为〃.设X=|〃?-求X的分布列；

(3)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的/(3VW12,且，eN)个.若从这20个问题中随机抽

取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时.「的取值.

考点6正态分布

1.(2026•黑龙江哈尔滨•一模)已知随机变量X~N(1Q2),P(l<X<3)=0.3,IJIlJP(X>-1)=

考点7独立性检验

1.(2026.黑龙江哈尔滨.一模)为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层

抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图I所示.若认

为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级

有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占80%.

(1)求。的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的卜.囚分位数：

(2)根据样本数据完成下方2x2列联表，依据小概率值。=0.001的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是

否有关.

认真完成作业不认真完成作业

成绩优秀

成绩不优秀

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2.12026・三省三校•一模)截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%.某

城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联

4

表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%,女性驾驶员的样本占样本总数的不，偏好燃

油汽车的男性驾驶员的样本有120人.

偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计

男性驾驶员120

女性驾驶员

合计300

(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值。=0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能

源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.

(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8

人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X,求X的分布列及数学期望.

n(ad-be)'

参考公式及数据：/2=

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+h+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

3.(2026•吉林白城联合体•一模)为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中

随机抽取2000名得到如下列联表：

效果明显效果不明显合计

甲方案10002001200

乙方案600200800

合计16004002000

(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；

⑵在80()名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机

抽取4人，设X表示4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望.

附:上国罂篇E

n=a+b+c+d.

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

考点8概率与其他知识交汇问题

1.(2026・三省三校•一模)有〃个编号分别为1,2,…，〃的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其

余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第I个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一

球放入第3个盒子，以此类推，贝!从第2个盒子中取到白球的概率是______,从第〃个盒子中取到白球的概

率是______

2.（2026•辽宁大连♦一模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为g）,当向上的

结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-

正面“，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为X,若石（X）＜M为正整数），则M的最小值为

3.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）如图，一动点P从点八出发，在正方形48co的各顶点上移动.每次移动时，

2I

动点尸有♦的概率沿水平方向向左或右移动一次，有;的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.

设动点P移动了2〃