机械能守恒定律及其应用（讲义）解析

5.3机械能守恒定律及其应用

出知识填充

一、重力做功与重力势能

1.重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。(2)重力做功不

一起物体机械能的变化。

2.重力势能(1)公式：稣=迎

(2)特性：①标矢性：重力势能是运量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在

参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。②系统性：重力势能是物体和地球

所组成的“系统”共有的。③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变

叱是绝对的,与参考平面的选取无关。

3.重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少;重力对物体做负功，重力势能就增加。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。lVG=Enl-En2=-AEPo

二、机械能守恒定律

1.机械能

动能和势能统称为机械能,其中势能包括重力势能和弹性势能。

2.机械能守恒定律

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内.动能和势能可以互相转化，而总的机械能

，呆持不变。

(2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。

(3)守恒表达式：mgh1+1彳=rngln+ynV2o

上考点速查

热点题型一机械能守恒的理解与判断

【题型要点】1.利用机械能守恒定律判断(直接判断)

分析动能和势能的和是否变化。

2.用做功判断

若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，

则机械能守恒。

3.用能量转化来判断

若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械

能守恒。

【典例1】（2021•浙江选考）奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法不正确的是（）

A.加速助跑过程中，运动员的动能增加

B.起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加

C.起跳上升过程中，运动员的重力势能增加

D.越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加

【答案】B

【解析】加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑杆从开始形变到撑杆恢复形变时，

先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，杆的

弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的

重力势能增加，C正确：当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势

能被转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。

【变式1］（2021・天津新华中学模拟）如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水

平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧

和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是（）

ZA软顺领JU帅B—~

力〃〃）〃〃〃/〃〃/，〃〃〃）〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃，〃〃,

A.子弹射入物块8的过程

B.物块8带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达到最大的过程

C.弹簧推着带子弹的物块3向右运动，直到弹簧恢复原长的过程

D.带着子弹的物块8因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达到最大的过程

【答案】BCD

【解析】子弹射入物块8的过程中，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机

械能转化成了内能，所以机械能不守恒；在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧

的过程中，对于4、8、弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个弹力作用，系统的外力之

和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转

化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止；当弹簧恢复原长后，整个系统将向

右运动，墙壁不再有力作用在4上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机

械耙守恒，故选项B、C、D正确.

热点题型二单物体的机械能守恒问题

【要点诠释】机械能守恒问题的各种表达形式

最适合的

形式表达式意义

研究对象

〃喏/?+/7八，2=

守恒运动过程中初、末两

单个物体

形式mgh'+//2状态的机械能相等

转化动能的增加量等于势一个或

△Ek=—AEP

形式能的减少量多个物体

A物体增加的机械能

转移

△EA=—>EB等于8物体减少的机两个物体

形式

械能

【特别提醒】用“守恒形式”时，需要规定重力势能的参考平面。用“转化形式”和“转移形

式”时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。

【典例2】（2017•全国卷II・19）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地

面垂直.一小物块以速度u从凯道下端滑入软道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到就

道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度大小为g）（）

F77777777777777777777/

V2-

AC.网

B.

D.-，

勿

【解析】设小物块的质量为〃7,滑到轨道上端时的速度为0.小物块上滑过程中，机械能守恒，

有才〃v2=V?+2mgR①

小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为%下落时间为f,有

2我=%尸②

x=v\t③

22

联立①②③式整理得f=（泉2—（4"罚2

可将X有最大值£ir对应的轨道半径宠=v也-

【变式2］（全国卷III改编）如图所示，在竖直平面内有由;圆弧A8和g圆弧8c组成的光滑固定

R

轨道，两者在最低点8平滑连接。AB弧的半径为R,BC弧的半径为,。一小球在A点正上方

R

与A相距a处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

（1）求小球在8、A两点的动能之比；

⑵通过计算判断小球能否沿轨道运动到。点。

R

【解析】（1）设小球的质量为阳，小球在A点的动能为及人，由机械能守恒定律得反共=〃吆a

设小球在B点的动能为EkB,

同，里有EkB=mfTT'②

由①②式得万一=5。③

tLkA

(2)若小球能沿凯道运动到C点,则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N20

设小球在C点的速度大小为VC,由牛顿第二定律和向心加速度公式有N+〃吆=〃玲

2

由④⑤式得，PC应满足〃2gW加平⑥

R1

由机械能守恒定律得机q=5m正⑦

由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。

热点题型三连接体的机械能守恒问题

【题型要点】1.多过程问题的分析方法

(1)将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。

(2)对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。

(3)根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。

(4)分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。

(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。

2.利用动能定理求解多过程问题的基本思路

末

他

合

外力

初

明'

的总

状

做

动

变

研

志

能

功

差

象

对

之

3.连接体问题一般可分为三种

(1)速率相等的连接体：如图甲所示，两物体在运动过程中速率相等，根据系统减少的重力势

能等于系统增加的动能列方程求解。

(2)角速度相等的连接体：如国乙所示，两球在运动过程中角速度相等，线速度大小与半径成

正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

(3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，8穿过竖直光滑杆PQ下

滑，将3的速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图丁所示，其中沿绳子方向的速度以

与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

【例题3】如图所示，光滑固定的竖直杆上套有小物块〃，

不可伸长的轻质细绳通过大小可忽略的定滑轮连接物块a和小物块bt虚线cd水平.现由

静止释放两物块，物块。从图示位置上升，并恰好能到达。处.在此过程中，若不计摩擦和

空气阻力，下列说法正确的是（）

A.物块a到达c•点时加速度为零

B.绳拉力对物块a做的功等于物块a重力势能的增加量

C.绳拉力对物块人先做负功后做正功

D.绳拉力对物块b做的功在数值上等于物块Z?机械能的减少量

【答案】BD

【解析】：当。物块到达c处时，由受力分析可知：水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作

用，所以根据牛顿第二定律得知，。物块的加速度4=g,故A错误；从。到C,。的动能变化

量为零，根据功能关系可知，绳拉力对物块。做的功等于物块。的重力势能的增加量，故8

正确；物块a上升到与滑轮等高前，A下降，绳的拉力对〃做负功，故C错误；从〃到c,b

的动能变化量为零，根据功能关系：除重力以为其他力做的功等于机械能的变化量，故绳拉力

对）做的功在数值上等于〃机械能的减少量，故D正确.

【变式3】如图所示，滑块a、/?的质量均为〃2,。套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距九

匕放在地面上。〃、匕通过较链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，〃可视为质

点，重力加速度大小为g。则（）

A.〃落地前，轻杆对〃一直做正功

B.。落地时速度大小为，茄

C.aF落过程中，其加速度大小始终不大于g

D.〃落地前，当4的机械能最小时，/?对地面的压力大小为"Zg

【答案】BD

【解析】由题意知，系统机械能守恒，设某时刻4、力的速度分别为％、V/,,此时轻杆与竖直

杆的夹角为8,分别将以八以分解，如图所示。

因为轻杆不可伸长，所以沿轻杆的分速度n〃与/〃是相等的，即izcos6=i%sin8。当〃滑

至地面时6=90°,此时即=0,由系统机械能守恒得卷解得Va=\j2gh：选项B正

确：由于〃初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即轻杆对〃先做正功后做负

功，选项A错误；轻杆对/＞的作用先是推力后是拉力，对。则先是阻力后是动力，即。的加

速度在受到较杆的向下的拉力作用时大于g,选项C错误；〃的动能最大时，轻杆对〃、b的

作用力为零，此时。的机械能最小，力只受重力和支持力，所以对地面的压力大小为mg,

选项D正确。

【变式4](2021•安徽巢湖市质检)如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B

点相切连接，半圆轨道半径为R,轨道AB、8c在同一竖直平面内.一质量为m的物块在A

处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C已知物块在到达8点之前

已泾与弹簧分离，重力加速度为g.求：

C

AB

(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离;

(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；

(3)物块在A点时弹簧的弹性势能.

【答案】(1)2/?(2)6加g(3嬴H

【解析】(1)因为物块恰好能通过。点，则有：〃际=〃方

1,

x=vct,2R=^r

解博x=2R

即物块在水平凯道上的落点到B点的距离为2R：

(2)物块由B到C过程中机械能守恒，

则有%质=2〃zgR+

设物块在R点时受到的半圆轨道的支持力为FN,

v於

则有：FN—mg=m不,

解得FN=6〃ig

由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小B/=FN=6，ng.

(3)由机械能守恒定律可知，物块在4点时弹簧的弹性势能为

Ep=2mgR+p??vc2,解得吆R.

热点题型四用机械能守恒定律解决非质点问题

【题型要点】1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物

体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为

质点来处理。

2.物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，

可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重

力势能的变化列式求解。

【典•例4】(2021•山西康杰中学模拟)如图所示，两物块〃、Z?质量分别为"?、2〃?，用细绳相

连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦。开始时，两物块〃、〃距离地面高度

相同，用手托住物坎儿然后突然由静止释放，直至物块口、〃间高度差为〃(物坎〃尚未落地)。

在此过程中，下列说法正确的是()

2

A.物块Z?重力势能减少了2mghB.物块b机械能减少了ymgh

C.物块。的机械能逐渐减小D.物块。重力势能的增加量小于其动能的增加量

【答案】B

【解析】物块4、人间高度差为人时，物块。上升的高度为白，物块〃下降的高度为4，物块〃

重力势能减少了2mg•与=升忡,选项A错误；物块h机械能减少了2Eb=2mg•4一枭2〃后

对物块。、b整体，根据机械能守恒定律有0=—2mg•4+〃培•义+卜3〃假得/1廿=，皿,

22

公Eb=w，ngh,选项B正确；物块Q的机械能逐渐增加”g/?,选项C错误；物块Q重力势能的

JJ

增加量XEpa=mg・$=%ngh,其动能的增加量△反“=盆/=%吆/?,得AEp«>△Eka,选项D错

【变式5](2021•江苏泰州一中模拟)如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一动度系数为

#=2()()N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板。上，另一端连接一质量为6=4kg的物体A,一

轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为〃z的物体8相连，细绳与斜面平

行，斜面足够长.用手托住物体8使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放.求：

(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度;

(3)物体A的最大速度的大小.

【答案】(1)3()N⑵20cm(3)1m/s

【解析】(1)恢复原长时

对8有mg—FT=ma

对A有Fj—mgsin30°=ma

解潺Fr=30N.

.〜〃吆sin30°

(2)初态弹簧压缩xi=------7-------=10cm

K

当A速度最大时mg=kx2-^mgs\n30°

理迄及K相g-mgsin30°

弹簧伸长X2=------%-----------=10cm

所以A沿斜面上升XI+X2=20cm.

(3)因幻=12,故弹性势能改变量△£□=(),

由系统机械能守恒

"2g(xi+x2)-〃zg(xi+x2)sin30°=^X27n•v2

得v=g1m/S，

热点题型五机械能守恒定律的综合应用

【典例5】(多选)高考全国卷II改编)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能以与

重力势能稣之和.取地面为更力势能零点，该物体的E&和Ep随它离开地面的高度〃的变化

如图所示.重力加速度取1()m/s?.由图中数据可得()

A.物体的质量为2kgB.〃=0时，物体的速率为20m/s

C.〃=2m时，物体的动能瓜=40JD.从地面至4=4m,物体的动能减少100J

【答案