事件的关系和运算【教学课件】 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算目标素养1.结合具体实例,了解随机事件的包含、相等、互斥、对立、并事件、交事件的含义,提升直观想象和数学抽象素养.2.理解互斥事件和对立事件的区别和联系,能在具体实例中准确判断两个事件之间的关系,提升数学抽象素养.3.利用集合的形式表示具体实例中随机事件的并、交及混合运算,能用简单随机事件表示复杂的随机事件,提升直观想象素养.知识概览课前·基础认知1.包含关系

2.并事件(和事件)微思考1事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的?提示：事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中,或者在事件B中的样本点构成的.3.交事件(积事件)微思考2(1)投掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数,记事件A=“朝上的面的点数为2”,事件C=“朝上的面的点数为偶数”,事件D=“朝上的面的点数小于3”,则事件A,C,D有什么关系?提示：A=C∩D.(2)事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的?提示：事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中,也在事件B中的样本点构成的.4.互斥(互不相容)5.互为对立

微探究

互斥事件和对立事件有哪些区别与联系?提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们之间既有区别,又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,但不可能两个都发生;而对立事件必有一个发生,但是不可能两个同时发生,也不可能都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;但两个事件对立,它们一定互斥.课堂·重难突破一

事件的包含与相等,并事件与交事件典例剖析1.盒子里有6个红球和4个白球(球除颜色外其余均相同),现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球、2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球、1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.求:(1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与事件A的交事件是什么事件?解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球,故C∩A=A.规律总结

事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.学以致用1.在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=“出现1点”,事件C2=“出现2点”,事件C3=“出现3点”,事件C4=“出现4点”,事件C5=“出现5点”,事件C6=“出现6点”,事件D1=“出现的点数不大于1”,事件D2=“出现的点数大于3”,事件D3=“出现的点数小于5”,事件E=“出现的点数小于7”,事件F=“出现的点数为偶数”,事件G=“出现的点数为奇数”.请根据上述定义的事件,回答下列问题:(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是另一些事件的和事件.解:(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.此外,D1⊆E,D2⊆E,D3⊆E,F⊆E,G⊆E,D1⊆D3,D1⊆G,且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为事件D2=“出现的点数大于3”=“出现4点或出现5点或出现6点”,所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.二

互斥事件与对立事件典例剖析2.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.解:(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.规律总结判断两个事件是不是互斥事件和对立事件的步骤(1)用集合的形式写出试验的样本空间.(2)用集合的形式表示具体事件.(3)判断A∩B是否为⌀,若A∩B=⌀,则A,B为互斥事件;若A∩B≠⌀,则A,B不是互斥事件.(4)在A,B互斥的前提下,判断A∪B是否为Ω,若A∪B=Ω,则A,B为对立事件.学以致用2.把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人,每个人分得1张,事件M=“甲分得红牌”与事件N=“乙分得红牌”之间的关系是(

)A.M⊆N

B.M⊇NC.对立事件 D.互斥但不对立答案:D解析:试验的所有可能结果如下表.甲乙丙红黑白红白黑黑红白黑白红白红黑白黑红∵M={(红,黑,白),(红,白,黑)},N={(黑,红,白),(白,红,黑)},∴M∩N=⌀,且M∪N≠Ω,∴M与N互斥但不对立.随堂训练1.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,设事件A=“出现奇数点”,事件B=“出现2点”,事件C=“出现奇数点或2点”,则下列关系成立的是(

)A.A⊆C

B.A∩B=⌀C.B∩C=⌀

D.A∪B=C答案:ABD解析:易知A∪B=C,B∩C=B,所以选项A,B,D中关系成立,选项C中关系不成立.2.1人在打靶中连续射击3次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是(

)A.至多有1次中靶

B.3次都中靶C.3次都不中靶

D.恰有1次中靶答案:C3.事件A与事件B互斥是事件A与事件B相互对立的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案:B解析:若事件A与事件B互斥,则A与B不一定相互对立;若A与B相互对立,则A与B一定互斥.4.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是(

)A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对答案:A解析:因为每人一个方向,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不可以同时发生,所以两事件为