列联表与独立性检验【课件】 2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

列联表与独立性检验（2课时）问题1

为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查,全校学生的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼;601名男生中有473名经常锻炼.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗?

用Ω表示该校全体学生构成的集合，则Ω为样本空间，定义一对分类变量X和Y如下:对于Ω中的每一名学生，分别令1124804320合计601473128男生（X=1）523331192女生（X=0）经常（Y=1）不经常（Y=0）合计锻炼性别该校的男生更经常锻炼，性别在体育锻炼的经常性方面有差异.“性别对体育锻炼的经常性有影响”即X与Y有关联(2025·达州高二期末)某省将从某年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3＋1＋2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高堆积条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是(

)CA．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C．样本中选择物理意愿的人数较多D．样本中男生人数少于女生人数

我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,在很多时候,这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义,本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题.列联表

我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表.2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.组别甲(Y＝0)乙(Y＝1)合计A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d以上表为例,2×2列联包含了X和Y的如下信息:最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}中样本点的个数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}中样本点的个数;中间的四个格给出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中样本点的个数;右下角格中的数是样本空间中样本点的总数.变式训练课本127页

假设在本小节“问题”中，只是随机抽取了44名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表:性别锻炼合计不经常经常女生51520男生61824合计113344(1)据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性；(2)说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因.解：(1)根据列联表中的数据，计算得男女生中不经常锻炼和经常锻炼的频率分别为通过对比发现，男生中不经常锻炼和经常锻炼的频率与女生中不经常锻炼和经常锻炼的频率分别相等，依据频率稳定于概率的原理，可以推断P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响.(2)推断可能犯错误.因为样本是通过随机抽样得到的，频率具有随机性，因此推断可能犯错误.例1为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对于Ω中每一名学生，定义分类变量X和Y如下：我们将所给数据整理成2×2列联表(单位：人).学校数学成绩合计不优秀(Y＝0)优秀(Y＝1)甲校(X＝0)乙校(X＝1)合计43458833103877117因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为还可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果：通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率.依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断：P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).

因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.

{X=0}和{Y=1}独立寻找更合理的判断方法，同时对犯错的概率进行控制或估算{X=0}和{Y=0}独立

{X=1}和{Y=1}独立{X=1}和{Y=0}独立数学家构造出如下的统计量：

上述表达式是χ2的计算公式，

χ2读作“卡方”.基于小概率值α的检验规则是:（1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；（2）当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，简称独立性检验.

寻找更合理的判断方法，同时对犯错的概率进行控制？怎样判断χ2大小的标准呢?

χ2取值较大时推断H0不成立，χ2取值较小时推断H0成立，P(χ2≥xα)=α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大.下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

独立性检验．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828独立性检验步骤：

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828AA.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关零假设H0:爱好跳绳与性别无关3（45）3（42）

(2025·聊城高二期末)某学校调查学生对神舟二十号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了1000名学生，进行独立性检验，计算得到χ2≈7.936，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是(

)A.零假设H0：对神舟二十号的关注与性别独立B.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别无关C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005D.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别独立α0.0500.0100.0050.001xα3.8416.6357.87910.828ACD

学校数学成绩合计不优秀(Y＝0)优秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合计711788

α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828例1和例2都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，说明其中的原因.

【例3】某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.

疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136

吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者2099492148合计9874919965

独立性检验的思想与反证法之间的异同反证法独立性检验先假设结论A不成立提出零假设在A不成立的前提下进行推理在成立的条件下进行推理推出矛盾，意味着结论A成立与相矛盾的小概率事件发生，意味着不成立没有找到矛盾，不能对A下任何结论与相矛盾的小概率事件没