二项分布【课件】 2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布第六章

计数原理新知学习问题

1下列一次随机试验的共同点是什么？试验出现的结果共同点掷一枚硬币检验一件产品飞碟射击医学检验正面朝上、反面朝上合格、不合格中靶、脱靶阴性、阳性只包含两个结果概念生成

伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做

n次；(2)各次试验的结果相互独立，实验结果互不影响.将一个伯努利试验独立地重复进行

n次所组成的随机试验称为

n重伯努利试验.“重复”意味着各次试验的概率相同新知学习问题

2下面3个随机试验是否为

n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？重复试验的次数是多少？每个试验“成功”的概率是多大？1.抛掷一枚质地均匀的硬币

10

次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击

3

次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取

20

件.新知学习随机试验伯努利试验事件AP(A)重复试验的次数n各次试验是否独立123掷硬币正面朝上0.510是射击中靶0.83是有放回抽产品抽到次品0.0520是1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.新知学习思考1伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？伯努利试验做一次试验，n重伯努利试验做n次试验.在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生；在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X.思考2在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？A.一批产品的次品率为5％，有放回地随机抽取20件，其中次品的个数.B.假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学生一年内恰发生意外伤害事故的人数．C.一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球)，从中不放回的依次摸四个球，其中红球的个数.D.实力相等的甲、乙两人进行5局乒乓球比赛.例1

下列随机试验不是伯努利试验的是()C典例剖析练习1下列试验中是

n重伯努利试验的是(

)A.依次抛掷

4枚质地不同的硬币，3次正面向上B.某射击运动员击中目标的概率是0.9，他连续射击10次，击中

7次C.口袋中装有质地、大小相同的5个白球和4个黑球，依次从中抽取

5个球，恰好取出

3个红球D.甲、乙两个篮球运动员各罚球一次，甲进球而乙没有进球B变式训练新知探究探究

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为

0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？用

Ai表示“第

i

次射击中靶”(i＝1，2，3)，则

X的概率分布列为P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.83P(X＝2)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝3×0.82×0.2P(X＝0)＝P(A1A2A3)＝0.23由于3次射击恰好1次中靶(2次中靶)的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为P(X＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝3×0.8×0.22P(X＝k)＝C3×0.8k×0.23-k，k＝0，1，2，3k概念生成

二项分布的定义一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为

p，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量

X

的分布列具有上式的形式，则称随机变量

X

服从二项分布，记作X～B(n，p).P(X＝k)＝Cn

pk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，nk典例剖析例2

将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10，0.5).解析：(1)恰好出现5次正面朝上的概率为(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为P(X＝5)＝C10×0.55×(1－0.5)55P(4≤X≤6)＝C10×0.510＋C10×0.510＋C10×0.510456►课本P74典例剖析►课本P74例3

如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.►课本P74

X的概率分布图如图所示：因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5)，于是X的分布列为解析：P(X＝k)＝C10×0.510，k＝0，1，2，…，10k典例剖析方法归纳确定二项分布模型的步骤：①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；②明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；③设

X

为

n

次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p).典例剖析►课本P74例4

甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，

乙获胜的概率为0.4，那么采用

3局

2胜制还是采用

5局

3胜制对甲更有利?若采用

3局

2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分，2∶0

或2∶1.因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：解析：同理，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0或3∶1或3∶2，因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：p1＝0.62＋C2×0.62×0.4＝0.6481p2＝0.63＋C3×0.63×0.4＋C4×0.63×0.42＝0.6825622变式训练练习2鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果

5只鸡接种了疫苗，求：(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.解析：

设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.2).(1)没有鸡感染病毒的概率为P(X＝0)＝0.85＝0.32768(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为P(X＝1)＝C5×0.2×0.84＝0.40961►课本P77二项分布和两点分布有什么联系？两点分布是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布；二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.二项分布应注意的问题：(1)对于公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.变式训练►课本P77练习3判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X～B(12，0.25)；(2)100件产品中包含

10件次品，不放回地随机抽取

6件，其中的次品数Y～B(6，0.1).(1)正确.理由如下：每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案(2)错误.理由如下：每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.解析：的概率为0.25，故猜对答案的题目数

X服从二项分布，即X～B(12，0.25).新知探究思考

假设随机变量

X服从二项分布X～B(n，p)，则X的均值和方差各是什么?(1)当n＝1时，X服从X～B(1，p)，分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)

＝p，因此，E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)(2)当n＝2时，X服从X～B(2，p)，分布列为

P(X＝0)＝(1－p)2，P(X＝

1)＝2p(1－p)，P(X＝2)＝p2.

E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.

D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).概念生成

二项分布的均值与方差若

X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)二项分布的应用非常广泛．例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险的人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述.典例剖析►课本P74例5

抛掷一枚骰子，当出现

5

点或

6

点时，就说这次试验成功，求在

30

次试验中成功次数

X

的均值和方差．解析：由题试验成功的次数

X服从二项分布，且X～B(30，

)所以E(X)＝30×

＝10，D(X)＝30×变式训练►课本P76练习4将一枚质地均匀的硬币连续抛掷

4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.21解析：由题意知，X服从二项分布，即X～B(4，0.5).(1)X的分布列为P(X＝k)＝C4×0.54，k＝0，1，2，3，4k(2)E(X)＝4×0.5＝2，D(X)＝4×0.