华北理工轧制原理教案

图4推导Orowan方程图示整理后式中，“-”为前滑区；“+”为后滑区，将上式写成导数的形式：（24）若对该式积分必须首先找出与的关系。先研究一下水平力。①弧上的水平力=?由图1可知,弧上的水平力等于与在水平方向上的投影之和，即由于因起的水平分力与引起的水平分力相比甚小，可略去，则由图4可知，（25）②求与的关系：即确定=？根据平面变形时的Mises屈服条件：将假定④代入上式有因以轴对称，故与无关，又在接触面上，可知在小弧条上处处皆有，则上式为：（26）将（26）式代入（25）式,水平力为：对上式积分，得（27）其中将（27）式代入（23）式,得（28）这就是著名的Orowan单位压力微分方程式．式中的曾在工程法中讨论过，它主要取决于接触面上的摩擦状态：当，且，则当5.3.2Orowan方程的Sims解这里将推出Sims单位压力的分布函数式。1．假定条件：①摩擦规律——接触面全粘着：，这只有热变形才有可能。②接触弧方程（关系）——圆弧Sims认为，较大时，若仍以弦代弧，将带来较大偏差，故应采用接触面的实际形状——圆弧，其方程为③平面变形抗力为常数：，热变形适合。④无张力，非连轧，仅用于单道次或可逆式轧制。2．Sims式的通解：由Orowan方程（28）式，因对的接触面，，故(5)式可写成：两边除以，然后对左边求导：式中代入上式并整理后，得则通解为：（29）3．Sims式的特解（积分常数C的确定）：根据（27）式，单元体上的水平力为（30）由边界条件：①入口处：，水平力，代入（30）式有由于，必有，代入（29）式有（31）②出口处：，水平力，代入（30）式有由于必有，代入（29）式有（32）将（31）、（32）两式分别代入（29）式，可得到前、后滑区的分布函数式：后滑区：（33）前滑区：（34）这就是适用于热轧中厚板的Sims单位压力分布函数式。4．利用Sims式确定中性角的计算模型：在中性面上，有，将（33）、（34）两式代入，则整理一下式中：所以（35）因为所以代入（35）式有（36）这就是利用Sims单位压力分布函数式得到的中性角计算模型。5.3.3Karmann方程与Orowan方程的比较Karmann方程：Orowan方程：1．二者在形式上的差别仅是Orowan方程有，而Karmann方程则没有。反映的是接触面的摩擦状况，其取值在1～之间。当时（接触面摩擦系数较小的情况），两个方程一致；当时（接触面摩擦系数较大的情况），二者差别最大。可见Orowan方程更具有一般性，而Karmann方程仅适用于接触面上摩擦系数较小的情况。2．虽然两个方程的建立采用的都是工程法，但从平衡方程的建立，边界条件的确定以及屈服条件的应用来看，Orowan方程更为严谨，Karmann方程用的是近似工程法，这也是它适用范围受限的原因。5.4Stone方程及其Stone解关于冷轧薄件的单位压力的分布式是通过求解Stone方程得到的。本节将重点建立Stone方程，并以Stone自己对方程的求解作为例子，来讨论求解Stone方程的方法。要求：1．对Stone方程应能独立完成推导；2．对Stone得到的解析解——的分布式，应能进行理论上的分析，并能掌握求解Stone方程的基本方法。5.4.1Stone单位压力微分方程式作为作业由学生自己完成。5.4.2求解Stone方程的Stone解Stone单位压力的分布函数式在《塑性加工力学》中利用近似工程法已导出过，这里作为作业由学生自己完成。以上仅是求出了单位压力沿接触弧分布的函数，还不能直接求得轧制压力，的计算需对单位压力积分求得，但工程上一般通过计算平均单位压力来求，即是接触面的水平投影面积，故只要得到的计算模型即可。下一章将建立的具体模型。

第六章平均单位压力计算模型由于轧制压力的计算需用平均单位压力，即，其中是水平投影面积，。本章将建立大量实用的用于计算平均单位压力的数学模型，模型的推导需用到第五章得到的单位压力的分布函数式。6.1采利柯夫平均单位压力计算式以采利柯夫的无张力单位压力的分布函数式为例：后滑区：前滑区：其中，6.1.1求轧制压力根据轧制压力的定义，可由下式求得：（1）其中分别是前滑区和后滑区的单位压力分布函数式。只需将采利柯夫单位压力的分布函数式代入（1）式积分即可求得。积分时需作变量代换，即将变量变换成，根据采利柯夫以弦代弧的假定：，则由，有写成微分关系：将这些关系都代入（1）式：将此式积分后，整理：（2）（2）式中的和为未知，但根据中性面上时，必有，则可推出：代入（2）式，轧制压力为：而其中的在第五章已推出：6.1.2平均单位压力的采利柯夫计算模型与图表为方便实际应用，有人根据上式作出了的曲线图，即由某道次的、之值，可在曲线图上查得，从而求得。详见教材p48。6.2Sims平均单位压力计算模型6.2.1求轧制压力根据Sims单位压力的分布函数式：后滑区：前滑区：将该二式代入下式：并注意到，作用在弧段上的压力为：，如图１所示。，则上式可写成因，则（3）注意，此式中轧件的平均宽度=1。这样处理的目的是为了推导简便，并不影响后面的计算。将前，后滑区的单位压力函数式均代入（3）中，积分后得（4）其中可利用求得：6.2.2平均单位压力的Sims模型（5）其中（6）由(5)式推出(6)式的过程如下：(5)式中的第一项:(5)式中的第二项：将解出即可．因(以弦代弧)，则为：将其代入，则(5)式中的第三项：(5)式中的第四项：其中6.2.3应力状态影响系数（7）由于Sims的计算式求解很烦，故有人作出了（7）的曲线图，根据该图（详见P298）。对某道次，首先算出和，然后从图上查出应力状态影响系数之值，从而可得。6.2.4Sims式的简化式1．志田茂式志田茂在实验的基础上,对复杂的Sims式进行了大刀阔斧的修正和改造：后来他根据沃克维特和他自己的实测数据，又将上式修正为：其中按下式计算：当当对厚件轧制的情况，即较小时，上式还需补充一项，为2．五弓，斋藤式：五弓和斋藤认为，对Sims式还可进一步简化。经实验，在Sims式中所包含的各参数中，最重要的是，从而提出如下的计算模型：3．适合轧制厚件的计算模型：利用Karman方程和Orowan方程，从不同的假设条件出发，所推出的各种平均单位压力的计算模型，基本未对轧件外端的影响予以考虑，然而对厚件轧制，外端的影响是主要的（外摩擦的影响甚至可以忽略），对这样的轧制过程，可采用滑移线理论中得到的模型：该式仅适于轧制厚件，即的情形。6.3Ekelund平均单位压力计算式此式是Ekelund在整理实验数据的基础上，经回归分析得到的，故也称半经验式：式中，，主要反应外摩擦对的影响。对钢辊：，对铸铁辊：，为粘度系数，是温度（℃）。其中是与轧制速度有关的系数：取法见《工艺》P74，《原理》301。，为平均变形速度（是轧辊的线速度）。使用条件：①热轧状态：T>800℃；②轧件：低碳钢③轧制速度：<20(m/s)④在Φ500轧机上用此式计算近似较好（比采利柯夫好）6.4轧辊弹性压扁时的计算若不考虑轧辊的弹性压扁时，变形区长度为：；但由于冷变形时，轧制压力大，轧辊产生弹性压扁，此时的变形区长度6.4.1对弹性压扁问题的分析图1如图1所示，因存在弹性压扁和轧件的弹性压缩，致使该道轧制没有达到预期所需要的出口厚度，实际出口厚是，二者的差值，其中：是轧辊的弹性压扁值，若不考虑，则轧辊应处在的位置，若同时也不考虑，则轧后为所预期的。是轧件的弹性压缩值，由于的存在，使轧件的出口厚度增大，如图所示。和在实际的冷轧生产中必然存在，这导致变形区的长度由变为，前已述及，是计算轧制力的重要参数，故该值的正确确定十分重要。6.4.2的计算如图所示，考虑有和时，变形区长度为＝=其中，；=（8）可见，若，则，，只需确定，故需先确定和，这里将用到《弹性力学》的结果。如图2所示，Ⅰ的弹性量：Ⅱ的弹性量：其中，，即将ａ看作，将Ⅰ和Ⅱ看作轧辊和轧件，则图2平方后，解出若不考虑轧件的弹性变形，则上式为其中，为平均单位压力，为轧辊的波松比和弹性模量。所以轧辊压扁后的变形区弧长为（9）这就是采利柯夫压扁弧长的计算式。根据变形区弧长的定义，压扁后其值可由下式计算（10）其中为压扁后的轧辊半径。可见若能得到，则易求得。现求：将平均单位压力代入(9)式，并与(10)式联立，有（11）该式可写成即将移到等式左边并平方得将左边展开整理得（12）该式称为Hitchcock式（西奇库克）。计算时需用迭代法，步骤如下：1．首先计算不考虑弹性压扁时的轧制压力；2．根据求出，利用(11)式；3．再由计算：；4．根据求出，利用(11)式；5．比较与当很小时计算停止。一般令即可。当材料的变形抗力大导致轧制压力较大时，或对产品精度要求较高时，如冷轧薄板，轧辊和轧件的弹性变形所引起的变形区长度的变化不可忽视，故此时应计算或。6.5Stone平均单位压力计算式Stone平均单位压力计算模型只适用于冷轧薄板的变形过程，其依据有二：①冷轧薄板时，很大，故轧辊的弹性压扁大；②因加工硬化使很大，使轧制压力大，故轧辊的弹性压扁严重。鉴于此，常将接触面看作平面（而非弧面），如此处理既简化了计算又符合现场实际。6.5.1Stone平均单位压力计算模型若将接触面看作平面，推导过程就与平砧压缩矩形薄件（工程法）完全相同，在＂塑性加工力学＂中已得到，其结果为：有张力时：(13)无张力时：(14)其中，6.5.2确定的图解法根据6.4节中的（9）式，弹性压扁后的变形区弧长为其中。将该式的两边乘以，有（15）移项后平方，并整理（16）将（13）式或（14）式代入，消去，以免去反复迭代的麻烦，整理后：（17）令则（17）式可写成：（18）有人利用该式作出了查值的图表，见Ｐ71。用法如下：对给定的轧制情况，均为已知，故可求出与的值，在两坐标上连接两点，与曲线之交点即是．例如=0.15，=0.35，连接后得=0.7，由此可求出。6.6孔型中轧制时水平投影面积的确定平辊轧制时，，故水平投影面积为但孔型中轧制时，接触面的形状较复杂，水平投影面积的计算一般利用图解法或近似法，因前者过于繁杂，故后者多用。近似法的计算式与上式相似：其中是当量半径，是平均压下量。如左图所示，其中，—是两个轧辊的最大半径（即辊环处的半径）；——是轧后轧件的平均高度，；——是轧制前、后轧件的断面积；——是轧制前、后轧件的宽度。也可采用经验式：菱→菱：方→椭：（扁椭）（圆椭）椭→方：椭→圆：

第七章轧制力矩与电机负荷力矩的计算何谓轧制力矩？轧制时，为克服金属的变形抗力和摩擦阻力，使轧辊转动所需的力矩就是轧制力矩。它是确定电机负荷力矩的重要参数之一，也是在进行工艺、设备设计时，所必须计算的力能参数。因此是要求掌握的重要内容。下面通过对辊系的受力分析，来看不同轧制情况下的轧制力矩的概念和计算。7.1辊系受力分析与轧制力矩前面讨论的所有问题都是研究轧件的受力，而现在为求得轧制力矩，需进行辊系受力分析，即研究轧辊的受力。7.1.1简单轧制时的辊系受力分析及轧制力矩１、不考虑辊颈处摩擦时：①辊系受力分析：Ⅰ.轧件给轧辊的作用力，即轧制力Ｐ:方向：垂直（因Ｆ为水平投影面积）图１.简单轧制时的轧辊受力图２.轧辊轴承处的支反力作用点：距垂直对称轴为ａ处（ａ是力臂），若接触面上的单位压力ｐ均匀分布，即时，则Ｐ作用在处，如图1所示。Ⅱ.轧辊轴承处的支反力Ｐ′:Ｐ′＝Ｐ，如图2所示。②轧制力矩：２、考虑辊颈处摩擦时：①辊系受力分析：如图３所示，轧辊的受力有两个，即轧制力Ｐ和轧辊轴承处的支反力Ｐ的作用特点与前同，而支反力与无摩擦情况比，其作用点发生了变化（如图３所示）。图中的ρ是偏移的距离。与轴承处摩擦力Ｔ的关系为:②轧制力矩：由以上力的分析，取力矩平衡ΣＭo＝０，则此时的轧制力矩(对一只辊)为数值上。③ρ的确定：轧辊转动需克服的力矩是摩擦阻力Ｔ引起的，而非引起的(因处无力臂)。故摩擦阻力矩的大小：其中d是轧辊辊颈直径，ρ称为摩擦圆半径。则驱动两只辊所需力矩为:(4)7.1.2带有张力时的辊系受力分析与轧制力矩有张力时已不是简单轧制情况了。现设Ｑh＞ＱH，即前张力大于后张力的情况。１、辊系受力分析：与简单轧制情况相比，除Ｐ向出口处偏移外，其他相同，如图４所示。２、轧制力矩：这里，注意书中有错，应是β而非ψ，只有当Ｐ偏移的方向恰好通过轧辊圆心时书中才是正确的，只有此时才有β＝ψ，但轧制力矩为零，故不可能。式中的，这是由于对轧件的受力应考虑上下两个轧辊，则有两个Ｘ，即。由式（４）可见，↑，Ｘ↑，而Ｙ↓，故Ｍ↓，当达到某一定值时Ｍ＝０，此时不需电机驱动即可进行轧制——辊拔，而成为变形力（辊拔力）。图5.四辊轧机辊系受力分析示意（无偏移）图6.四辊轧机辊系受力分析示意(有偏移)7.1.3四辊轧机辊系受力分析与轧制力矩在辊系受力分析中，四辊轧机的受力分析与轧制力矩的确定是重点。四辊轧机的驱动形式有两种：工作辊驱动或支撑辊驱动。现以工作辊驱动为例，讨论轧辊的受力。如图５所示，图中未考虑工作辊和支撑辊的偏移，连轧时，为保证轧制的稳定性，应考虑这一偏移量；一般可逆式轧制时不必考虑之。本例为简便未予考虑。１、支撑辊受力：它受有工作辊作用的力，①作用点：接触点处。②方向的确定：根据轧辊轴承处的受力分析可知，支反力由摩擦力Ｔ和正压力Ｎ构成，而由力平衡：，故其方向可定——必沿摩擦园的切向。注意：为何不垂直？因若垂直，则也必垂直，此时支撑辊的力矩不平衡，即的作用线为ｙ轴，无力矩。支撑辊受力分析要点：１、来自工作辊的力：①作用点：两个辊的接触处；②作用方向：从如下三方面判断之：Ⅰ.不可能通过支撑辊的轴心点，这是因将产生力矩使支撑辊发生转动，可知不垂直，那么它往何方向偏斜？Ⅱ.达到偏斜方向将导致其对点力矩的方向，即对支撑辊的力矩应是顺时还是逆时?——顺时，因工作辊为逆时。这必然向入口方向偏斜（如图）。Ⅲ.如何确定其作用方向？利用辊颈轴承处的支反力来分析，可知必有一个力与相平衡，则的方向可定——沿摩擦圆的切线方向。③.上支撑辊摩擦圆半径的确定：对点取力矩平衡：，有注意，这里的ｆ是机械摩擦系数。则（＊）式为：其中，为辊颈直径。２、工作辊受力：①支撑辊给工作辊的力，前已分析；②轧制力Ｐ：因无张力，故垂直向上。③工作辊轴承座处的支反力Ｘ由力的平衡分析可知，的垂直分量与轧制力相平衡（垂直方向），那么的水平分力与谁平衡呢？如图６所示，，即Ｘ与的水平分力相平衡；Ｘ的作用方向若不水平，则它必有垂直方向的分力，那么垂直方向将不能够保持力的平衡。由以上分析可知，驱动一支工作辊所需的外力矩需克服如下三种力矩：１、轧制力矩：Ｐａ；２、使被动的支撑辊转动所需的摩擦力矩：；３、工作辊轴承中的摩擦阻力矩：Ｘ。即(6)式中各项参数按如下确定∶①∶可根据工作辊Ｙ方向的力平衡ΣＹ＝０求得：②Ｘ∶可根据工作辊Ｘ方向的力平衡ΣX＝０求得：③∶Ⅰ.若不考虑工作辊与支撑辊之间的滚动摩擦，根据图５中的几何关系即可确定：Ⅱ.若考虑工作辊与支撑辊之间的滚动摩擦，则为:其中，是工作辊与支撑辊之间的滚动摩擦系数。④β∶根据图５，可由下式计算∶⑤∶工作辊的摩擦圆半径可由下式计算∶若考虑工作辊与支撑辊之间的偏移，如图６所示。则驱动一只轧辊所需力矩为：可见与(6)式相同，但其中各项参数值不同∶①∶同样可根据工作辊Ｙ方向的力平衡ΣＹ＝０求得：②Ｘ∶同样可根据工作辊Ｘ方向的力平衡ΣX＝０求得：③∶Ⅰ.若不考虑工作辊与支撑辊之间的滚动摩擦，根据图６中的几何关系即可确定：Ⅱ.若考虑工作辊与支撑辊之间的滚动摩擦，则为:，是工作辊与支撑辊之间的滚动摩擦系数。④θ和γ∶根据图６中的积关系，可由下式计算∶⑤偏移量e：⑥∶工作辊的摩擦圆半径可由下式计算∶7.２轧制力矩Ｍ的计算计算轧制力矩Ｍ的方法有三种：１、若能确定力臂ａ，则Ｍ可定：。通过以上的辊系受力分析可知，计算轧制力矩需确定两个量，一是轧制压力Ｐ，二是力臂ａ。前者的计算已完成，故计算轧制力矩的关键是如何确定ａ。２、利用能耗曲线，后面将详细介绍。３、通过计算变形功求得轧制力矩。下面分述之。一、通过确定ａ来计算轧制力矩：１、经验法：其中，ξ称为力臂系数；是变形区长度。由(1)式,只需确定ξ，则ａ值可定。根据经验∶①热轧：Ⅰ.简单断面∶Ⅱ.复杂断面∶②冷轧：Ⅰ.带润滑∶Ⅱ.不润滑∶２、理论计算法：根据定义，轧制压力的为：则根据图1，轧制力矩为因轧制力矩的大小为将该二式联立，有将力臂ａ解出，该式的分母是静矩，分子是单位压力ｐ的分布图形面积，二者之商为形心坐标，如图２所示。力臂ａ的几何意义：ａ是ｐ分布图的图形的形心与轧辊中心线的距离，见图２。小条面积之积是对中心线的静矩，故ａ是形心的ｘ方向的坐标值。而力臂系数。综上，几何意义为∶①轧制压力Ｐ是单位压力分布图形的面积；②轧制力矩Ｍ是Ｐ对中心线（出口）的静矩；③ａ是单位压力ｐ分布图的ｘ方向的形心坐标。二、通过变形功来计算轧制力矩：轧制时，轧辊转动需克服轧制力矩而做功，即Ａ＝Ｍθ其中θ是轧件通过轧辊期间（纯轧时间内），轧辊转过的角度。故下面分别确定Ａ和θ。①求θ∶其中ｔ为纯轧时间，(L是轧件的长度)，是出口速度。根据前滑的定义，，有其中Ｌ是轧件长度。②求该道次的变形功Ａ：变形功的确定在《塑性加工力学》中已学过，见Ｐ184式(11-44)。所以轧制力矩为：三、利用能耗曲线确定轧制力矩∶1、能耗曲线及其测定方法∶①概念∶能耗曲线是指轧制过程中，轧件的单位重量（按每吨计）的积累电耗()与总延伸系数()之间的关系曲线，即和的关系。对板材轧制，能耗曲线为和ｈ之间的关系。能耗曲线来源于现场实测，作为工程技术人员应掌握本厂所生产的钢种的能耗曲线。②实测方法∶以型钢轧制为例，其主要步骤为：Ⅰ.首先计算出各道次的延伸系数∶；Ⅱ.然后测出各道次的电流与电压值(根据电机负荷可得到)及时间ｔ，则单位电耗为∶，其中是某道次所消耗的电能()，Ｇ是轧件的重量。Ⅲ.计算积累能耗和总延伸系数∶以例说明，如当，即可第二道，则，，将各道均算出，然后列出计算表∶道次电耗单耗积累单耗１２３Ⅳ.根据上表绘出能耗曲线∶该曲线的横轴为，纵轴为，即总延伸系数与积累能耗的关系曲线。这就是能耗曲线的测定过程。那么，怎样利用该曲线求得轧制力矩呢?图3.能耗曲线示意2、利用能耗曲线求轧制力矩Ｍ的步骤：①通过现场实测或查找资料，得到与现场生产相等或相近的能耗曲线；②计算各道次的总延伸系数∶例如，若计算第八道次的轧制力矩，则③在能耗曲线上查得，如图3所示。④计算该道次的单位能耗和总能耗：⑤计算轧制力矩Ｍ∶式中v为轧辊的线速度，t为纯轧时间，它与轧件的出口速度有关，而又与前滑有关，故需作如下变换。其中是轧件的长度。注意∶如此计算出的轧制力矩Ｍ，并非是纯的轧制力矩，其中还包括有轧机传动机构中（即各传动零部件）的附加摩擦力矩。这是因为能耗曲线是通过实测电机的电流和电压（即电机的负荷）而得到的。为区别之，用表示利用能耗曲线求得的轧制力矩。若仅将轧辊轴承处的摩擦力矩考虑在内（忽略其他传动部件中的摩擦力矩），则轧制力矩为其中，i是速比；是辊颈处的附加摩擦力矩；Ｍ是纯的轧制力矩。这是因为是电机上的，而Ｍ和是轧辊上的，而者之间的关系相差一个速比ｉ，换算到电机上时，需除以i。7.３电机传动所需的力矩和功率轧制力矩和功率是合理选择轧钢电气设备的依据，要求必须掌握。本节将介绍如何确定这些重要参数。一、电机传动轧辊所需力矩：图1.轧机传动系统示意如图１所示，在轧制过程中，主电机传动轧辊所需的力矩(也称扭矩)由如下四部分组成：其中，∶轧制力矩，是用于使轧件塑性变形所需之力矩，其中包括金属本身的变形抗力造成的变形阻力矩和接触面摩擦造成的金属流动阻力矩，的计算及其讨论前面已完成。∶附加摩擦力矩，是克服轧制时发生在轧辊轴承及传动机构轴承内的摩擦力矩，与金属塑性流动所受的摩擦阻力矩相比，该力矩为额外增加的部分，故称附加摩擦力矩；∶空转力矩，是由整个传动系统的各个零部件的自重所引起的摩擦阻力矩，即轧机启动后，待轧时（还未过钢）电机轴上所负荷的力矩。∶动力矩，是轧制过程中因轧辊的转速发生变化而产生的惯性力矩。很多轧制过程都要求轧辊的转速要不断变化，例如四辊可逆式中板崐轧机，其速度的变化规律为：低速咬入，高速轧制，低速抛出。低速咬入