河南省2025-2026学年高二数学上学期10月调研考试B卷-附答案

2025-2026学年高二上学期十月调研考试数学试题（B卷）一、单选题1．直线的斜率是（

）A． B． C． D．2．点关于平面对称的点是（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．4．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（

）A． B． C． D．或5．直线一定经过点（

）A． B． C． D．6．已知，，，四点共面，则实数（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（

）A． B．C． D．10．已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（

）A． B． C．-2 D．211．已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则平面C．平面与平面夹角的大小与，，都有关D．若，则点P到平面的距离是三、填空题12．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为．13．已知，是直线上的两点，若，则．14．如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为．四、解答题15．已知直线，直线经过点．(1)若，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．16．如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点．

(1)证明：直线平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，．

(1)用，，表示，，；(2)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值．18．在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求：(1)点的坐标；(2)边所在直线的方程；(3)中的角平分线所在直线的方程．19．如图，在四棱锥中，，，，平面．

(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥体积的最大值；(3)若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值．

题号12345678910答案BAADBDCABCABC题号11答案ABD1．B将直线方程化为，即可得斜率.【详解】因为直线方程为，即，所以直线的斜率为．故选：B．2．A根据给定条件，利用空间直角坐标系中对称的特征直接求解.【详解】在空间直角坐标系中，关于平面对称的两点的x轴，y轴坐标相同，z轴坐标互为相反数，所以点关于平面对称的点是.故选：A3．A根据向量平行的性质，即若两向量平行，则对应坐标成比例，列出关于的方程组，解方程组即可求得的取值，进而可求得的值.【详解】因为，所以，所以，解得，，，所以．故选：A4．D通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系【详解】因为，，所以，所以或．故选：D．5．B将直线方程化为，进而分析定点.【详解】直线可化为，令，解得，所以直线过定点．故选：B．6．D先计算向量、、的坐标，再根据空间向量共面定理列出方程，最后解方程求出的取值.【详解】根据题意，，，，则，，，因为四点共面，所以存在实数，使得，所以，解得，所以．故选：D7．C由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可.【详解】当时，；当时，，所以线段的最左端是，最右端是，表示点与点连线的斜率，当点在点A处时，；当点在点B处时，；

结合图象可知，的取值范围是．故选：C．8．A根据题意，先求出点关于轴的对称点，关于直线的对称点，将折线转化为直线，通过两点之间线段最短求解即可.【详解】如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，

易得的坐标为，设点的坐标为，则，解得，所以，因为，，所以的周长为，所以当、、、四点共线时，的周长最小，最小值为．故选：A9．BC根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可.【详解】因为，且直线的方程为，设直线的方程为，，根据题意得，解得或，所以直线的方程为或．故选：BC．10．ABC利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可.【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为，其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，，又点在直线上，所以，又的面积为2，所以，即或．当时，，即，解得或；当时，，即，解得．故选：ABC．11．ABD建系标点，根据题意可得．对于A：利用向量可得，即可判断垂直；对于B：利用向量可得，进而判断线面平行；对于C：分别求平面与平面的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断；对于D：求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【详解】如图，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，可得，，，则，即．对于选项A：若，，即，，，则，故，即A正确；对于选项B：若，，则，，因为，可知，且平面，平面，所以平面，故B正确；对于选项C：设平面的法向量，则令，则，可得，又因为平面的一个法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为，即平面与平面夹角的大小与无关，故C错误；对于选项D：设平面的法向量为，因为，，可得，即，取，可得，，可得是平面的一个法向量，因为，则点到平面的距离为，又因为，可得，故D正确．故选：ABD．12．/先根据过两点的直线斜率公式求出直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角.【详解】由直线经过，两点，得直线的斜率，设直线的倾斜角为，所以，解得．故答案为：13．13根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解.【详解】因为，在直线上，则，．又因为，则，所以．故答案为：13.14．根据题意，将正三棱台的侧棱延长，补成三棱锥，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设球心，半径为，则，列方程求解，得，再结合球体的表面积公式即可求解.【详解】如图，延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连接，过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在正三棱台中，，，则，，，设上底面的中心为，在直角梯形中，，，，所以，即，又，，即，，因为，分别是，的中点，所以，，设球的球心坐标为，半径为，则，即，，，，解得，，，，所以球的表面积为．故答案为：15．(1)；(2)或．（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程；（2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程.【详解】（1）因为，所以可设直线的方程为．因为直线经过点，所以，解得．所以直线的方程为．（2）已知直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，设直线的方程为，因为直线经过点，所以，此时直线的方程为，即．若直线不过原点，设直线的方程为．因为直线经过点，所以，所以．此时直线的方程为，即．综上所述，直线的方程为或．16．(1)证明见解析(2)（1）连接，则，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）连接，因为E，F分别是，的中点，则，且平面，平面，所以直线平面．（2）在直三棱柱中，可知平面，平面，则，，且，即，，两两垂直，故以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，则，，，，且E，F分别是，的中点，可得，．因为平面，则是平面的一个法向量，因为，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，可知是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)，，；(2).（1）利用向量的线性运算及向量基本定理，将，，用，，表示出来即可；（2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间夹角公式，代入求值即可.【详解】（1）如图，连接，结合向量线性运算及向量基本定理，可得，，．

（2）由题意，得，，，又由（1）得，，，所以，，所以，设异面直线与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为．18．(1)(2)(3)【详解】（1）设，因为边上的中线所在直线：经过点A，所以，因为边上的高所在直线的方程为：，所以，即，又，所以，即，由得所以点A的坐标为．（2）设，因为边上的高所在直线：经过点C，所以．因为边上的中线所在直线的方程为：，所以边的中点在：上，即，所以，由得所以点C的坐标为．因为边所在直线的斜率，所以边所在直线的方程为，即．（3）因为边所在直线的斜率，所以边所在直线的方程为，即．因为：过B，C两点，所以边所在直线的方程为．设是的角平分线所在直线上任意一点，由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，即．所以或．因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点，所以的角平分线所在直线的斜率，所以不符合，符合，所以中的角平分线所在直线的方程为．19．(1)证明见解析；(2)；(3).【详解】（1）因为平面，平面，所以，又，且与相交于点，平面，所以平面，又平面，故平面平面．（2）如图，在中，作，垂足为H，连接，因为平面平面，平面与平面相交于，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，因为，所以．因为，所以，因为，所以，当且仅当取等号，所以．又，所以．所以四棱锥的体积，即四棱锥体积的最大