2025-2026学年广东省部分学校高二下学期5月联考数学试题 含答案

/高二数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=2x+7在[2,5]上的平均变化率为A.1 B.2 C.3 D.62.市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者(均已完成基础培训),现要从男、女志愿者中各选1人,组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作,则不同的搭档组合种数为A.27 B.66 C.105 D.1803.下列求导正确的是A.(2cosx)'=-2sinx B.(9+lnx)'=9+1C.(x3)'=3x D.(e2x+1)'=e2x+4.如图,点A,B,C,D,E,F六等分圆O的圆周,从OA,OB,OC,OD,OE,OF这6个向量中随机抽取2个向量,则这2个向量不共线的取法种数为A.9 B.12C.15 D.185.若等差数列{an}的公差不为0,a4=10,且a1,a2,a6成公比为q的等比数列,则q=A.2 B.3 C.4 D.56.若曲线y=x3+3ax-9在点(0,-9)处的切线与曲线y=x2相切,则正数a=A.12 B.1 C.2 D.7.若z=cosα+isinα,z2=1,其中α∈[0,π],则满足题意的α有A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个8.已知函数f(x)=x3+2x2-4x,关于x的方程[f(x)]2-3mf(x)+2m2=0有且仅有4个不同的实根,则正数m的取值范围为A.(4,8) B.(0,4) C.(2,4) D.(8,16)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若函数f(x)有极大值点x1和极小值点x2,则其导函数f'(x)的大致图象可能为10.已知正整数m,n满足m<n,则下列结论正确的是A.Cn1=n+Cn0 B.Cn+1C.若An2-m=Anm,则m=1 D.若Cn11.在空间直角坐标系Oxyz中,已知正四面体SABC的四个顶点的分别A(0,0,0),B(26,0,0),C(6,32,0),S(m,n,t)(t>0),点N(x1,y1,z1)在四面体SABC外接球的球面上,且CN⊥平面ABC,点H(x2,y2,z2)在四面体SABC内切球的球面上,则A.mnt=83B.|HN|的最大值是最小值的2倍C.四面体SABC外接球的体积为108πD.当|HN|取得最小值时,点H的坐标为(6,523,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)=2ex+x2-f'(0)x,则f'(0)=▲.

13.已知函数f(x)=x2+2x在(4-m,m)上单调递增,则m的取值范围是▲14.图中矩形的个数为▲.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=ex-tx+1,且f(x)在x=0处的瞬时变化率为0.(1)求t的值;(2)求f(x)在[0,1]上的值域.16.(15分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,(1)求C的方程.(2)已知数列{an}是正项数列,a1=2,点Pn(an+1,an+1)(n∈N*(ⅰ)证明{an}为等比数列,并求{an}的通项公式;(ⅱ)过点P3且斜率为1的直线l与C的另一个交点为M,求|P3M|.17.(15分)为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”,推进县域义务教育优质均衡发展,某省教育厅组织8名优秀教师(3名银龄教师和甲、乙、丙等5名青年骨干教师,且这5名青年骨干教师不是银龄教师),按照以下要求将其分配到省内3个乡村振兴重点帮扶县的A,B,C三所新建乡村学校任教.(1)要求分配2名银龄教师和1名青年骨干教师给A校,分配1名银龄教师和2名青年骨干教师给B校,分配2名青年骨干教师给C校,问共有多少种不同的分配方案?(2)要求至少分配2名教师给每所学校,且至少分配1名银龄教师给每所学校,青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校,问共有多少种不同的分配方案?(3)要求A,B,C三所学校中,其中分配4名教师(含1名银龄教师)给1所学校,各分配2名教师给另外2所学校,问共有多少种不同的分配方案?18.(17分)已知函数f(x)=12x2-(a+2)x+2aln(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性;(3)若f(x)的极大值大于-52a,求a的取值范围19.(17分)若函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为(0,+∞),对任意x∈(0,+∞),xf'(x)-λf(x)>0恒成立,则称f(x)为“λ系超越函数”.(1)试判断函数f(x)=x2lnx是否为“2系超越函数”.(2)证明:函数φ(x)=xex+a-x2lnx-ax2为“1系超越函数”.(3)若g(x)为“1系超越函数”,证明:当t<0时,存在唯一的实数x1∈(0,+∞),使得tg(lnx1-4x1t+t-2)=(tlnx1-4x1+t2-2t)

题序1234567891011121314答案BDABCCBABCBCDABD1(2,3]82【评分细则】【1】第1~8题,凡与答案不符的均不得分.【2】第9题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得3分;第10,11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得2分.【3】第12,14题,其他答案均不得分;第13题,答案还可以写为“{m|2<m≤3}”.1.B【解析】本题考查平均变化率,考查数学运算的核心素养.ΔyΔx=f(5)-f2.D【解析】本题考查分步乘法计数原理,考查逻辑推理的核心素养.根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为15×12=180.3.A【解析】本题考查导数的计算,考查数学运算的核心素养.(2cosx)'=-2sinx,A正确.(9+lnx)'=1x,B错误.(x3)'=3x2,C错误.(e2x+1)'=2e24.B【解析】本题考查平面向量与组合的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.根据题意可得这2个向量不共线的取法种数为C62-3=5.C【解析】本题考查等差数列与等比数列,考查数学运算的核心素养.设{an}的公差为d,由a1a6=a22,得a1(a1+5d)=(a1+d)2,所以3a1d-d2=0.因为d≠0,所以3a1=d.因为a4=10,所以a1+3d=10,解得d=3,a1=1,则a2=6.C【解析】本题考查导数的几何意义,考查数学运算的核心素养.设f(x)=x3+3ax-9,则f'(x)=3x2+3a,则f'(0)=3a,所以曲线y=f(x)在点(0,-9)处的切线方程为y-(-9)=3ax,即y=3ax-9.由y=3ax-9,y=x2,得x2-3ax+9=0,则Δ=9a2-7.B【解析】本题考查复数与三角函数,考查数学运算的核心素养.由题意得z2=(cosα+isinα)2=cos2α+i2sin2α+2isinαcosα=cos2α-sin2α+isin2α=cos2α+isin2α.因为z2=1,所以cos2α=1,sin2α=0,因为α∈[0,π],所以2α∈[0,2π],则2α=0或2α=2π,解得8.A【解析】本题考查函数的零点,考查数学运算与直观想象的核心素养.易得f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).当x<-2或x>23时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-2<x<23时,f'(x)<0,f(x)单调递减.f(-2)=8,f(23)=-4027.作出f(x)的图象,如图所示.方程[f(x)]2-3mf(x)+2m2=0可化为[f(x)-m][f(x)-2m]=0,得f(x)=m或f(x)=2m.因为m>0,所以0<m<8且2m>9.BC【解析】本题考查函数的极值,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.对于A,f'(x1)>0,A不符合题意.对于B,当x∈(-∞,x1)时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)≤0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点,B符合题意.同理可得C符合题意.对于D,当x∈(-∞,x1)时,f'(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,x1为f(x)的极小值点,D不符合题意.10.BCD【解析】本题考查排列数与组合数,考查数学运算的核心素养.Cn1=n,Cn0=1,A错误.Cn+1nCn+11=(n+1)2,B正确.若An2-m=Anm,则2-m=m,解得m=11.ABD【解析】本题考查空间几何,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.四面体SABC的直观图如图所示.设顶点S在底面ABC上的射影为D,连接SD,则SD⊥平面ABC,连接CD并延长,交AB于点E,易得E为AB的中点.因为AB=26,所以CD=23CE=22,所以SD=(26)2-(22)2=4,则S(6,2,4),则mnt=6×2×4=83,A正确.设四面体SABC外接球的球心为O1,则O1在SD上,设O1D=k,则(4-k)2=k2+(22)2,解得k=1,所以四面体SABC外接球的半径为3,四面体SABC外接球的体积为4易得四面体SABC内切球的半径r=|O1D|=1,内切球的球心为O1,则|HN|的最大值为3+1=4,最小值为3-1=2,B正确.因为CN⊥平面ABC,所以N(6,32,z1),又因为O1N=3,所以(6-6)2+(32-2)2+(z1-1)2=9,解得z1=2或z1=0(舍去),N(6,32,2).当|HN|取得最小值时,O1N=3O1H,即(0,22,1)=3(x2-6,y2-2,z2-1),得H(6,5212.1【解析】本题考查导数的计算,考查数学运算的核心素养.由题意得f'(x)=2ex+2x-f'(0),则f'(0)=2e0-f'(0),解得f'(0)=1.13.(2,3]【解析】本题考查导数的应用,考查逻辑推理的核心素养.由题意得f'(x)=2x-2x2=2(x3-1)x2m>4-m,4-14.82【解析】本题考查组合的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.在矩形ABNK中,含有矩形的个数为C42C52;在矩形KHGE中,含有矩形的个数为C32;在矩形BNEC中,含有矩形的个数为C32.除去上面考虑的情况,在矩形ACEK中,含有矩形的个数为C32C41;在矩形ACGH中,含有矩形的个数为C15.【解析】本题考查瞬时变化率与函数的值域,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.解:(1)由f(x)=ex-tx+1,得f'(x)=ex-t.2分因为f(x)在x=0处的瞬时变化率为0,所以f'(0)=e0-t=0,4分解得t=1.5分(2)由(1)得f(x)=ex-x+1,f'(x)=ex-1.6分当0≤x≤1时,f'(x)≥0,则f(x)在[0,1]上单调递增,8分所以当x=1时,f(x)取得最大值,f(1)=e-1+1=e,10分当x=0时,f(x)取得最小值,f(0)=e0-0+1=2,12分所以f(x)在[0,1]上的值域为[2,e].13分【评分细则】第(2)问中,未通过求导得到f(x)在[0,1]上单调递增,而直接写出f(x)在[0,1]上的值域为[2,e],扣4分.16.【解析】本题考查双曲线与数列的综合,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.解:(1)由题意得2c=23,则c=3.1分因为C的离心率为3,所以a=1,2分则b2=c2-a2=2,3分所以C的方程为x2-y22=1.(2)(ⅰ)因为点Pn(an+1,an+1)在C上,所以an+1-a即an+1=2an,6分所以{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,7分则an=2·2n-1=2n.9分(ⅱ)由(ⅰ)易得a3=8,a4=16,所以P3(3,4),10分则直线l的方程为y=x+1.11分由y=x+1,x2-y22=1,得x2-2x-因为P3(3,4),所以M(-1,0),13分所以|P3M|=(3+1)2+(4-0)2=【评分细则】【1】第(2)(ⅰ)问中,未说明{an}的首项和公比,不扣分.【2】第(2)(ⅱ)问还可以这样解答:由(ⅰ)易得a3=8,a4=16,所以P3(3,4),10分则直线l的方程为y=x+1.11分由y=x+1,x2-y22=1,得x2-2x-3=0,则xM+xP=根据弦长公式可得|P3M|=1+12×22-4×(-3)=417.【解析】本题考查排列组合的实际应用,考查逻辑推理的核心素养.解:(1)分配2名银龄教师和1名青年骨干教师给A校,有C32C5分配1名银龄教师和2名青年骨干教师给B校,有C11C4剩余的2名青年骨干教师都被分到C校,有C22=1种分配方案,所以共有15×6×1=90种分配方案.5分(2)至少分配1名银龄教师给每所学校,有A33=6种分配方案,青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校,剩余的2名青年骨干教师分别被分到另外2所学校,有A33=6种分配方案,所以共有6×6=36种分配方案.10分(3)8名教师按2,2,4(1名银龄教师和3名青年骨干教师)分为三组,有C31C5所以共有90A33=540种分配方案.【评分细则】第(2)问还可以这样解答:将这8名优秀教师分成三组,1名银龄教师与甲、乙、丙为一组,剩余2名银龄教师与两名青年骨干教师分为两组,每组各1名银龄教师与1名青年骨干教师,有C31C2再将这3组分配到3所学校,有A33=6种分配方案,所以共有6×6=36种分配方案.10分18.【解析】本题考查导数的几何意义、函数的单调性与极值,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.解:(1)当a=2时,f(x)=12x2-4x+4lnx,f'(x)=x-4+4x,则f(1)=12-4=-72,f'(1)=1-4+4=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+72=x-1,即y=x-92.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+2)+2ax=x2-(a若a≤0,则当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.6分若0<a<2,则当0<x<a时,f'(x)>0,当a<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.8分若a=2,则f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.9分若a>2,则当0<x<2时,f'(x)>0,当2<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.10分(3)由(2)得当a≤0或a=2时,f(x)无极大值.当0<a<2时,f(x)的极大值为f(a),则f(a)=12a2-(a+2)a+2alna>-52a,得4lna-a+1>0.设h(a)=4lna-a+1(0<a<2),则h'(a)=4a-1=4-aa>0,所以h(a)在(0,2)上单调递增因为h(1)=0,所以由4lna-a+1>0,得h(a)>h(1),所以1<a<2.14分当a>2时,f(x)的极大值为f(2),则f(2)=2-2(a+2)+2aln2>-52a,15分解得a>44ln2+1,因为ln2>lne=12,所以44ln2+1<4综上,a的取值范围是(1,2)∪(2,+∞).17分【评分细则】第(1)问中,所求切线方程还可以写为2x-2y-9=0.19.【解析】本题考查新定义与导数的综合,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)解:f'(x)=2xlnx+x2·1x=2xlnx+x,则f(x)与f'(x)的定义域都为(0,+∞),1分则xf'(x)-2f(x)=2x2lnx+x2-2x2lnx=x2>0,3分所以f(x)=x2lnx是“2系超越函数”.4分(2)证明:φ'(x)=ex+a+xex+a-(2xlnx+x)-2ax,5分则xφ'(x)-φ(x)=xex+a+x2ex+a-(2x2lnx+x2)-2ax2-(xex+a-x2lnx-ax2)=x2ex+a-x2lnx-x2-ax2,6分所以要证φ(x)是“1系超越函数”,即证xφ'(x)-φ(x)>0,即证x2ex+a-x2lnx-x2-ax2>0,即证ex+a-lnx-1-a>0.7分设μ(x)=ex-x-1,则μ'(x)=ex-1,当x>0时,μ'(x)>0,μ(x)单调递增,当x<0时,μ'(x)<0,μ(x)单调递减,所以μ(x)≥μ(0)=0,则ex≥x+1,所以ex+a≥x+a+1.8分设ω(x)=lnx-x+1(x>0),则ω'(x)=1x-1=1-xx,当0<x<1时,ω'(x)>0,ω(x)单调递增,当x>1时,ω'(x)<0,ω(x)单调递减,所以ω(x)≤ω(1)=0,所以lnx≤x-所以ex+a-lnx-1-a≥x+a+1-(x-1)-1-a=1>0,得证.11分(3)证明:设r(x)=lnx-4xt