2022-2023学年北京市顺义区牛栏山一中高二(下)期末数学复习试卷

2022-2023学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）期末数学复习试卷一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x≤4}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}2．（5分）设命题p：∀x∈R，lnx≤x﹣1，则￢p为（）A．∃x0∈R，lnx0＞x0﹣1 B．∀x∈R，lnx＞x﹣1 C．∃x0∈R，lnx0＜x0﹣1 D．∃x0∈R，lnx0≤x0﹣13．（5分）在的展开式中，常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．1604．（5分）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.455．（5分）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞） B．奇函数，且值域为R C．偶函数，且值域为（0，+∞） D．偶函数，且值域为R6．（5分）已知a＝20.2，b＝log0.20.5，，则（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b7．（5分）小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A． B． C． D．8．（5分）若曲线y＝f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A． B．y＝sinx C．y＝xex D．y＝x+lnx9．（5分）已知{an}是等比数列，则“∀t∈N，at＜at+2”是“{an}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ksinx，x∈（0，π]，给出下列三个结论：①f（x）一定存在零点：②对任意给定的实数k，f（x）一定有最大值；③f（x）在区间（0，π）上不可能有两个极值点．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）函数的定义域为．12．（4分）不等式的解集是．13．（4分）若函数f（x）＝x3+ax2+2在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．14．（4分）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为6m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为元．15．（4分）已知数列{an}的每一项均不为0，其前n项和为Sn，且3Sn＝anan+1+10．①当a1＝1时，a3＝；②若对任意的n∈N*，Sn≥S4恒成立，则a1的最大值为．三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（10分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤4}．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题．（1）当a＝3时，求∁R（A∩B）；（2）若_____，求实数a的取值范围．17．（10分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，满足a1＝1，d＞0，且a1，a2，S3成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）记，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（10分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%（Ⅰ）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；（Ⅱ）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）19．（10分）已知函数f（x）＝（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤x﹣对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若x2lnx1+x1lnx2＝0（x1≠x2），证明：x1+x2＞2．20．（10分）已知n为正整数，数列X：x1，x2，⋯，xn，记S（X）＝x1+x2+⋯+xn，对于数列X，总有x∈{0，1}，k＝1，2，⋯，n，则称数列X为n项0﹣1数列．若数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，均为n项0﹣1数列，定义数列A*B：m1，m2，⋯，mn，其中mk＝1﹣|ak﹣bk|，k＝1，2，⋯，n．（Ⅰ）已知数列A：1，0，1，B：0，1，1，直接写出S（A*A）和S（A*B）的值；（Ⅱ）若数列A，B均为n项0﹣1数列，证明：S（（A*B）*A）＝S（B）；（Ⅲ）对于任意给定的正整数n，是否存在n项0﹣1数列A，B，C，使得S（A*B）+S（A*C）+S（B*C）＝2n，并说明理由．

2022-2023学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x≤4}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】直接利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x≤4}，所以A∩B＝{1，2，3，4}．故选：C．2．（5分）设命题p：∀x∈R，lnx≤x﹣1，则￢p为（）A．∃x0∈R，lnx0＞x0﹣1 B．∀x∈R，lnx＞x﹣1 C．∃x0∈R，lnx0＜x0﹣1 D．∃x0∈R，lnx0≤x0﹣1【考点】全称命题的否定．【答案】A【分析】根据题意，由全称量词命题的否定方法，分析可得答案．【解答】解：根据题意，因为p：∀x∈R，lnx≤x﹣1，是全称量词命题，所以¬p为：∃x0∈R，lnx0＞x0﹣1．故选：A．3．（5分）在的展开式中，常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160【考点】二项式定理．【答案】C【分析】由题意，在二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：在的展开式中，通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为T4＝•（﹣2）3＝﹣160，故选：C．4．（5分）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.45【考点】全概率公式．【答案】B【分析】根据题意，假设第1天去A餐厅为事件A，第1天去B餐厅为事件B，第2天去A餐厅为事件C，由全概率公式P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B），计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设第1天去A餐厅为事件A，第1天去B餐厅为事件B，第2天去A餐厅为事件C，P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝0.5×0.5+0.5×0.9＝0.7．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞） B．奇函数，且值域为R C．偶函数，且值域为（0，+∞） D．偶函数，且值域为R【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值域．【答案】B【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x﹣）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．6．（5分）已知a＝20.2，b＝log0.20.5，，则（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法进行比较即可．【解答】解：因为a＝20.2＞20＝1，b＝log0.20.5＜log0.20.2＝1，，所以c＞a＞b．故选：B．7．（5分）小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】C【分析】可以利用对立事件求，先求两次都是龙朝上的概率P（A），再求两次都不是龙朝上的概率P（B），再求1﹣P（A）﹣P（B）即可．【解答】解：设A表示两次都是龙朝上，B表示两次都不是龙朝上．C表示恰好出现一次龙的图案朝上的概率．则P（A）＝＝；P（B）＝＝．故P（C）＝1﹣﹣＝．故选：C．8．（5分）若曲线y＝f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A． B．y＝sinx C．y＝xex D．y＝x+lnx【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】对函数求导，然后判断该导数等于1是否有根即可．【解答】解：对于A，令＝1得x＝±1，故A不符合题意；对于B，令y′＝cosx＝1得x＝2kπ，k∈Z，故B不符合题意；对于C，令y′＝（x+1）ex＝1，易知，x＝0是该方程的一个根，故C不符合题意；对于D，令（x＞0），显然该方程没有实数根，故D满足题意．故选：D．9．（5分）已知{an}是等比数列，则“∀t∈N，at＜at+2”是“{an}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；等比数列的性质．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式，分类讨论at＞0与at＜0，结合公比q的取值情况判断得充分性成立，再利用递增数列的定义判断必要性成立，从而得解．【解答】解：因为{an}是等比数列，设公比为q（q≠0），则an≠0，当∀t∈N，at＜at+2时，，即，若at＞0，则q＜﹣1或q＞1，注意到，当q＜﹣1＜0时，at+1＝atq＜0，与假设矛盾，舍去，故q＞1，此时at+1＝atq＞at，则{an}为递增数列；若at＜0，则﹣1＜q＜1，注意到，当﹣1＜q＜0时，at+1＝atq＞0，与假设矛盾，舍去，故0＜q＜1，此时at+1＝atq＞at，则{an}为递增数列；综上：当∀t∈N，at＜at+2时，{an}为递增数列，即充分性成立；当{an}为递增数列时，at＜at+1＜at+2，即∀t∈N，at＜at+2成立，即必要性成立；所以“∀t∈N，at＜at+2”是“{an}为递增数列”的充分必要条件．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ksinx，x∈（0，π]，给出下列三个结论：①f（x）一定存在零点：②对任意给定的实数k，f（x）一定有最大值；③f（x）在区间（0，π）上不可能有两个极值点．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得f（x）的零点判断①；利用导数并分类讨论判定f（x）是否有最大值判断②；举反例否定③．【解答】解：①当k＝0时，f（x）＝lnx，由f（1）＝ln1＝0，可得f（x）在（0，π]存在零点，当k＞0时，f（x）＝lnx﹣ksinx，由f（1）＝ln1﹣ksin1＝﹣ksin1＜0，f（π）＝lnπ﹣ksinπ＝lnπ＞0，可得f（x）在（0，π]存在零点，当k＜0时，y＝﹣ksinx在（0，1]单调递减，值域[ksin1，0），又y＝lnx在（0，1]单调递增，值域（﹣∞，0]，则y＝﹣ksinx与y＝lnx的图象在（0，1]必相交，则f（x）＝lnx﹣ksinx在（0，π]存在零点，综上，f（x）一定存在零点判断正确；②当k＝0时，f（x）＝lnx，x∈（0，π]，f（x）在（0，π]单调递增，存在最大值；当k≠0时，f（x）＝lnx﹣ksinx，则在（0，π]上单调递减，值域，当时，y＝kcosx在（0，π]上值域则在（0，π]上恒成立，则f（x）在（0，π]单调递增，存在最大值；当时，y＝﹣kcosx在（0，π]上单调递减，则在（0，π]上单调递减，，则，使得，则x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，x∈（x0，π）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，π）单调递减，f（x）存在最大值；当时，y＝﹣kcosx在（0，π]上单调递增，当时，恒成立，则f（x）在单调递增，当时，y＝﹣kcosx在（0，π]上单调递增，当时，恒成立，则f（x）在单调递增，当时，y＝﹣kcosx单调递增，值域为（﹣k，0）又当时，单调递减，值域为则当时，若，则f（x）在单调递增，则f（x）在（0，π]单调递增，f（x）存在最大值；若，使得x∈（0，x0）时f′（x）＞0；时f′（x）＜0；则f（x）在（0，x0）单调递增，在单调递减，又f（x）在单调递增，则f（x）在（0，π]有最大值；综上，对任意给定的实数k，f（x）在（0，π]有最大值．判断正确；③令，则，在（0，π]上单调递减，值域，在（0，π]上单调递增，值域，又，则，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，则当x∈（0，x1），或x∈（x2，π）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）在区间（0，π）上有两个极值点．判断错误．故选：C．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）函数的定义域为（﹣1，1）．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【答案】（﹣1，1）．【分析】利用具体函数的定义域求法求解即可．【解答】解：因为，所以，解得﹣1＜x＜1，所以的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．12．（4分）不等式的解集是（2，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【答案】（2，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【分析】不等式可化为即＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，由此求得它的解集．【解答】解：不等式，即＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，求得x＞2，或x＜﹣1，故不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，﹣1），故答案为：（2，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．13．（4分）若函数f（x）＝x3+ax2+2在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是[﹣，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】[﹣，+∞）．【分析】求出函数的导数，问题转化为a≥﹣x在[1，+∞）上恒成立，从而求出a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）＝x3+ax2+2在区间[1，+∞）上单调递增，则f′（x）＝3x2+2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，则a≥﹣x在[1，+∞）上恒成立，而y＝﹣x在[1，+∞）上的最大值是﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）．14．（4分）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为6m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】4880．【分析】设AB＝xm（x＞0），由题意可得BC＝m，则矩形ABFE的面积为3xm2，矩形BCGF的面积为m2，写出总造价，再由基本不等式求最值．【解答】解：设AB＝xm（x＞0），由题意，AB•BC＝BC•x＝6，可得BC＝m，则矩形ABFE的面积为3xm2，矩形BCGF的面积为m2，可得简易工作房的总造价为y＝2•3x•80+2•120+2000＝480x++2000＝4880，当且仅当480x＝，即x＝3时取等号．∴一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元．故答案为：4880．15．（4分）已知数列{an}的每一项均不为0，其前n项和为Sn，且3Sn＝anan+1+10．①当a1＝1时，a3＝4；②若对任意的n∈N*，Sn≥S4恒成立，则a1的最大值为1．【考点】数列递推式．【答案】4；1．【分析】①由已知可得an+1﹣an﹣1＝3，可求a3的值；②由①知序号为奇数的项构成以a1为首项公差的等差数列，序号为偶数的项构成以a2为首项公差的等差数列，设a1为m，可得a2＝3﹣，由题意计算可得结论．【解答】解：①由3Sn＝anan+1+10．得3Sn﹣1＝an﹣1an+10（n≥2）．可得3Sn﹣3Sn﹣1＝anan+1﹣an﹣1an，∴3an＝anan+1﹣an﹣1an，∴an+1﹣an﹣1＝3（n≥2），∴a3﹣a1＝3，当a1＝1时，a3＝4；②由①知序号为奇数的项构成以a1为首项公差的等差数列，序号为偶数的项构成以a2为首项公差的等差数列，设a1为m，可得a2＝3﹣，对任意的n∈N*，Sn≥S4恒成立，故有S1≥S4，即m≥m+3﹣+m+3+6﹣①，故有S2≥S4，即m+3﹣≥m+3﹣+m+3+6﹣②，故有S3≥S4，即m+3﹣+m+3≥m+3﹣+m+3+6﹣③，同时成立，解之可得m≤1，经验证，m＝1时，对任意的n∈N*，Sn≥S4恒成立，故a1的最大值为1．故答案为：4；1．三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（10分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤4}．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题．（1）当a＝3时，求∁R（A∩B）；（2）若_____，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】（1）∁R（A∩B）＝{x|x＜2或x＞4}；（2）答案见解析．【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解．【解答】解：（1）当a＝3时，A＝{x|2≤x≤7}，而B＝{x|﹣2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x≤4}，则∁R（A∩B）＝{x|x＜2或x＞4}；（2）选①：因为A∪B＝B，所以A⊆B，当A＝∅时，则a﹣1＞2a+1，即a＜﹣2，满足A⊆B，则a＜﹣2；当A≠∅时，a≥﹣2，由A⊆B得，解得；综上：a＜﹣2或，即实数a的取值范围为；选②：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，当A＝∅时，则a﹣1＞2a+1，即a＜﹣2，满足题意，则a＜﹣2；当A≠∅时，a≥﹣2，则，且不能同时取等号，解得；综上：a＜﹣2或，即实数a的取值范围为；选③：因为A∩B＝∅，所以当A＝∅时，则a﹣1＞2a+1，即a＜﹣2，满足A∩B＝∅，则a＜﹣2；当A≠∅时，a≥﹣2，由A∩B＝∅得2a+1＜﹣2或a﹣1＞4，解得或a＞5，又a≥﹣2，所以或a＞5；综上：或a＞5，实数a的取值范围为．17．（10分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，满足a1＝1，d＞0，且a1，a2，S3成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）记，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）Tn＝+n2﹣．【分析】（Ⅰ）先根据已知条件及等比中项的性质列出关于公差d的方程组，解出d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式：（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法即可计算出前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知a2＝1+d，S3＝3×1+d＝3+3d，∵a1，a2，S3成等比数列，∴＝a1•S3，即（1+d）2＝1•（3+3d），化简整理，得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝﹣1（舍去），或d＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ），得＝2n﹣1+22n﹣1，则Tn＝b1+b2+…+bn＝（1+21）+（3+23）+…+（2n﹣1+22n﹣1）＝[1+3+…+（2n﹣1）]+（21+23+…+22n﹣1）＝+＝+n2﹣．18．（10分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%（Ⅰ）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；（Ⅱ）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析；；（Ⅲ）2019、2021．【分析】（Ⅰ）根据汽车销量图可知7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，根据古典概型公式计算即可；（Ⅱ）根据图表算出新能源汽车每年的销量，再求出X的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的概率分布列及期望公式计算即可；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中计分别算出前两年的销量与第三年比较即可．【解答】解：（Ⅰ）由汽车销量图可知7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，则这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为；（Ⅱ）根据图表可知新能源汽车2015﹣2021年的销量如下表：年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16由表可知新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，则随机变量X可能取值为：0，1，2，P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；∴X的分布列为：X012P∴E（x）＝0×+1×＝．（Ⅲ）由（Ⅱ）中表可知：2015年与2016年新能源汽车销量之和为0.0625+0.112＝0.1745＞0.168，2017年不符合要求，2016年与2017年新能源汽车销量之和为0.112+0.168＝0.28＞0.275，2018年不符合要求，2017年与2018年新能源汽车销量之和为0.168+0.275＝0.443＜0.456，2019年符合要求，2018年与2019年新能源汽车销量之和为0.275+0.456＝0.731＞0.54，2020年不符合要求，2019年与2020年新能源汽车销量之和为0.456+0.54＝0.996＜1.16，2021年符合要求，故“爆发年”为2019、2021．19．（10分）已知函数f（x）＝（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤x﹣对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若x2lnx1+x1lnx2＝0（x1≠x2），证明：x1+x2＞2．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；（Ⅱ）[1，+∞）；（Ⅲ）证明过程见解析．【分析】（Ⅰ）利用导数直接计算即可；（Ⅱ）分离参数，然后研究函数g（x）＝，x＞0的最大值即可，通过二次求导不难解决问题；（Ⅲ）构造函数m（x）＝lnx﹣x2+x，（x＞0），研究其单调性和最值，得到，（当且仅当x＝1时取等号），再结合已知条件不难证明结论．【解答】解：由已知得，定义域（0，+∞），，（Ⅰ）令f′（x）＝0得x＝e，因为a＞0，f′（x）＞0⇒0＜x＜e，f′（x）＜0⇒x＞e，所以f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；（Ⅱ）结合a＞0，由已知得lnx﹣ax2+x≤0在x∈（0，+∞）恒成立，即当x＞0时恒成立，令g（x）＝，x＞0，，显然g′（1）＝0，再令h（x）＝﹣2lnx﹣x+1，，故h（x）在（0，+∞）上单调递减，结合h（1）＝0，当0＜x＜1时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，当x＜1时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，故g（1）＝1是g（x）的极大值，也是g（x）的最大值，故a≥1即为所求，故a的取值范围是[1，+∞）；（Ⅲ）证明：由x2lnx1+x1lnx2＝0（x1≠x2）得，且x1≠1，x2≠1，当a＝1时，令m（x）＝lnx﹣x2+x，（x＞0），显然m（1）＝0，＝，x∈（0，1）时，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，故m（1）＝0是m（x）的极大值，也是最大值，即lnx﹣x2+x≤0（x＝1时取等号），所以，（当且仅当x＝1时取等号），所以，＜x2﹣1，两式相加得+＜x1+x2﹣2，即x1+x2﹣2＞0，故x1+x2＞2．20．（10分）已知n为正整数，数列X：x1，x2，⋯，xn，记S（X）＝x1+x2+⋯+xn，对于数列X，总有x∈{0，1}，k＝1，2，