高一数学函数专题复习提纲及习题

高一数学函数专题复习精要与典型例题解析函数作为高中数学的核心内容，贯穿于整个高中数学的学习过程，是进一步学习高等数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。本复习提纲旨在帮助同学们系统梳理高一阶段所学的函数知识，巩固基础，提升能力，掌握解题规律与方法。一、函数的基本概念1.1函数的定义在一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。从集合的观点来看，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。理解要点：*定义域、值域、对应法则是函数的三要素，缺一不可。*“任意”与“唯一”是判断是否为函数关系的关键。前者强调定义域的遍历性，后者强调对应关系的确定性。1.2函数的表示方法函数的常用表示方法有三种：解析法、列表法和图像法。*解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+1。其优点是简洁、精确，便于进行理论分析和运算。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如三角函数表。其优点是直观，可直接查得函数值。*图像法：用图像来表示两个变量之间的对应关系。其优点是形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势。在解决实际问题时，常常需要根据具体情况选择合适的表示方法，有时也会综合运用多种方法。1.3函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，即集合A。在研究函数时，首先要考虑定义域，离开了定义域谈函数是没有意义的。常见基本初等函数的定义域：*整式函数（如一次函数、二次函数）的定义域为全体实数。*分式函数的定义域是使分母不为零的实数集合。*偶次根式函数的定义域是使被开方数非负的实数集合。*由实际问题确定的函数，其定义域还需考虑自变量的实际意义。求定义域的步骤：1.列出使函数表达式有意义的所有条件（如分母不为零、偶次根式被开方数非负等）。2.解由这些条件组成的不等式（组）。3.写出函数的定义域（通常用集合或区间表示）。1.4函数的值域函数的值域是函数值的集合{f(x)|x∈A}。求函数的值域是函数学习中的一个难点，需要根据函数的解析式特点灵活选择方法。常见求值域的方法：*观察法：对于结构简单的函数，通过观察直接得出值域。*配方法：适用于二次函数或可化为二次函数形式的函数，通过配方求出其最值，进而确定值域。*单调性法：利用函数的单调性求出其在定义域上的最值，从而确定值域。*换元法：通过引入新的变量，将原函数转化为熟悉的函数类型，再求值域。*判别式法：适用于可化为关于x的二次方程的分式函数（注意使用条件）。1.5函数的对应法则对应法则f的作用是指明从自变量x到函数值y的具体映射方式。在函数的表达式y=f(x)中，f即代表对应法则。理解对应法则是理解函数概念的核心。例如，f(x)=2x+1表示“自变量乘以2再加1”的对应关系。二、函数的基本性质2.1函数的单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或f(x₁)>f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。区间D称为函数f(x)的单调区间。理解与判断：*单调性是函数在某个区间上的局部性质，一个函数可能在不同区间具有不同的单调性。*判断函数单调性的主要方法：1.定义法：取值、作差（或作商）、变形、定号、下结论。2.图像法：函数图像在某区间上从左到右上升，则为增函数；下降，则为减函数。3.利用已知函数的单调性：如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接应用。单调性的应用：比较大小、解不等式、求函数的最值等。2.2函数的奇偶性定义：设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。理解与判断：*函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称。若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。*奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。*判断函数奇偶性的步骤：1.检查定义域是否关于原点对称。2.计算f(-x)，并与f(x)、-f(x)进行比较。3.下结论：若f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；否则，非奇非偶。常用结论：*既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式必为f(x)=0，且定义域关于原点对称。*在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。2.3函数的周期性（初步）对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。（高一阶段对此要求不高，主要在三角函数中深入学习）三、基本初等函数3.1一次函数与正比例函数*正比例函数：形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数。其图像是过原点(0,0)的一条直线。当k>0时，函数在R上是增函数；当k<0时，函数在R上是减函数。*一次函数：形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数。其图像是一条直线，斜率为k，在y轴上的截距为b。当k>0时，函数在R上是增函数；当k<0时，函数在R上是减函数。定义域和值域均为R。3.2反比例函数形如y=k/x(k是常数，k≠0)的函数。其图像是双曲线。定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。当k>0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。3.3二次函数定义：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数。图像与性质：*图像是一条抛物线，对称轴为直线x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。*当a>0时，抛物线开口向上，函数在(-∞,-b/(2a)]上是减函数，在[-b/(2a),+∞)上是增函数，当x=-b/(2a)时，函数取得最小值(4ac-b²)/(4a)，值域为[(4ac-b²)/(4a),+∞)。*当a<0时，抛物线开口向下，函数在(-∞,-b/(2a)]上是增函数，在[-b/(2a),+∞)上是减函数，当x=-b/(2a)时，函数取得最大值(4ac-b²)/(4a)，值域为(-∞,(4ac-b²)/(4a)]。*解析式的三种形式：1.一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)2.顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)，其中(h,k)为顶点坐标。3.零点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)，其中x₁,x₂是抛物线与x轴交点的横坐标（即方程ax²+bx+c=0的两个实根）。二次函数的最值问题：*当定义域为R时，最值在顶点处取得。*当定义域为某个闭区间[m,n]时，需要比较顶点横坐标与区间[m,n]的位置关系，结合函数单调性来确定最值。二次函数、二次方程、二次不等式的关系：三者紧密相连。二次方程ax²+bx+c=0的根是二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交点的横坐标；二次不等式ax²+bx+c>0(或<0)的解集，是二次函数y=ax²+bx+c的图像在x轴上方（或下方）时对应的x的取值范围。四、函数的图像4.1函数图像的画法*描点法：列表、描点、连线。注意选取有代表性的点，如顶点、与坐标轴的交点、对称点等。*利用基本函数图像变换：*平移变换：y=f(x)→y=f(x+h)+k(h影响左右平移，k影响上下平移)。*对称变换：y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称。*翻折变换：（如y=|f(x)|，y=f(|x|)，高一阶段可初步了解）。4.2函数图像的应用函数图像能直观地反映函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。利用函数图像解决问题，体现了数形结合的重要思想。例如，利用图像解不等式、求方程的近似解、比较函数值大小等。五、函数与方程5.1函数的零点对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。六、典型例题与习题6.1基础巩固题例1：求函数f(x)=√(x+2)+1/(x-1)的定义域。分析：要使函数有意义，需满足偶次根式被开方数非负，且分式分母不为零。解答：依题意，得：x+2≥0且x-1≠0解得x≥-2且x≠1所以函数的定义域为[-2,1)∪(1,+∞)例2：判断函数f(x)=x³-x的奇偶性。分析：首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)的关系。解答：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-(x³-x)=-f(x)所以函数f(x)是奇函数。例3：已知二次函数f(x)的图像过点(0,3)，对称轴为x=2，最小值为-1，求f(x)的解析式。分析：已知对称轴和最值，可设顶点式。解答：设f(x)=a(x-2)²-1(a>0)因为图像过点(0,3)，所以3=a(0-2)²-1即3=4a-1，解得a=1所以f(x)=(x-2)²-1=x²-4x+3习题：1.求函数f(x)=√(4-x²)/(x+1)的定义域。2.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。3.判断函数f(x)=|x|/x(x≠0)的奇偶性，并说明理由。4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x，求f(-1)的值。5.画出函数f(x)=x²-4x+3的图像，并根据图像指出其单调区间。6.2能力提升题例4：已知函数f(x)=x+1/x(x>0)，判断其在(0,1]和[1,+∞)上的单调性，并求出其最小值。分析：利用单调性定义或导数（高一未学导数，故用定义）判断。解答：设0<x₁<x₂≤1f(x₁)-f(x₂)=(x₁+1/x₁)-(x₂+1/x₂)=(x₁-x₂)+(x₂-x₁)/(x₁x₂)=(x₁-x₂)(1-1/(x₁x₂))=(x₁-x₂)(x₁x₂-1)/(x₁x₂)因为0<x₁<x₂≤1，所以x₁-x₂<0，x₁x₂-1<0，x₁x₂>0所以f(x₁)-f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)所以f(x)在