《“进一法”与“去尾法”解决问题（二）》（教案）人教版小学数学五年级上册

《“进一法”与“去尾法”解决问题（二）》（教案）人教版小学数学五年级上册一、教学内容概述【基础】【核心概念】本课是人数版小学数学五年级上册第一单元“小数乘法”及第三单元“小数除法”之后，专门设置的一节实际应用课型——解决问题（二）。其核心教学内容并非单纯的计算技能训练，而是引导学生在经历小数乘除法的计算基础上，面对现实生活中的实际问题时，能够根据具体情境的具体要求，灵活选择“进一法”或“去尾法”来对计算结果取近似值，从而得出合理的答案。这不仅仅是对“四舍五入法”的补充，更是对“求一个数的近似数”这一数学概念在真实世界应用边界的深度拓展。【难点】【思维转折】在此之前，学生已经熟练掌握了“四舍五入”这一数学规则来求近似数，容易形成思维定式，认为这是唯一的取近似值的方法。本节课的核心转折点在于打破这种思维惯性，让学生认识到数学规则服务于生活实际，当问题情境涉及到“容器装物”、“包装礼盒”、“用料裁布”、“车辆运输”等具体活动时，必须要考虑实际情况的限制。例如，剩下的油虽然不够装满一瓶，但仍需要一个瓶子来装；剩下的布料不够做一件衣服，就不能勉强做成一件。【高频考点】本课所涉及的“进一法”和“去尾法”是小学数学高年级及至小升初考试中的一个高频实际应用题考点。通常不单独考查概念，而是融入在生活场景中，考查学生分析问题、提取信息以及根据实际意义处理数据的能力。错误率往往集中在学生机械地使用“四舍五入”，而忽略了“需要几个瓶子”必须是整数，且必须满足所有油的装载需求这一现实逻辑。【跨学科视野】本课具有极强的跨学科融合属性。它不仅仅是一节数学课，更渗透了工程学中的“余量”概念、经济学中的“成本核算”思想以及劳动教育中的“统筹规划”意识。例如，在制作手工、裁剪布料时，“去尾法”体现了节约和精度；在安排车辆运输、准备容器时，“进一法”体现了安全冗余和必须满足需求的原则。通过本节课，学生将初步体会到数学决策在现实生产生活中的具体应用。二、学情精准分析【基础认知】五年级的学生已经具备了较强的整数、小数四则运算能力，并且在实际生活中接触过诸如“打车付费”、“超市购物”、“水电费缴纳”等初步的数学活动。他们对“大约”、“差不多”这样的模糊概念有直观感受，但对精确计算的“余数”如何处理缺乏系统的数学方法。学生在之前的学习中，对“四舍五入”法掌握得非常牢固，这既是本课的基础，也是本课需要克服的“思维固化”障碍。【心理特征】该年龄段的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对新鲜事物充满好奇，喜欢动手操作，但对纯理论的讲解容易产生倦怠。因此，本课的设计必须摒弃枯燥的说教，通过实物演示、情境代入、辩论辨析等方式，让学生在“认知冲突”中自发地建构新知识。【潜在误区】学生最容易出现的误区主要有三个：一是对所有除法应用题的结果不加分析，直接采用“四舍五入”；二是在理解了需要“进一”或“去尾”后，不知道如何对计算结果进行处理，例如算得6.25个瓶子，不知道是应该写成7个还是6个；三是对题目中的关键词把握不准，不能区分“最多能买几个”与“至少需要几个”的本质区别。三、教学目标设定（一）知识与技能（基础目标）1.通过具体的生活情境，使学生理解“进一法”和“去尾法”的含义，掌握在解决实际问题时，需要根据具体情况采用不同的方法求商的近似数。2.能正确区分“进一法”、“去尾法”与“四舍五入法”的使用场景，并能熟练地解决相关的三步计算实际问题。（二）过程与方法（核心目标）1.经历“猜想—计算—验证—辩论—归纳”的探究过程，引导学生通过小组合作、实物模拟，分析在什么情况下用“进一法”，什么情况下用“去尾法”。2.培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力，能够有理有据地阐述自己选择某种取近似值方法的理由，并能对他人的解题策略进行合理的评价。（三）情感、态度与价值观（育人目标）1.【重要】体会数学与生活的紧密联系，感受数学的实用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。2.培养严谨求实的科学态度和全面分析问题的思维习惯。通过“去尾法”渗透节约资源的意识；通过“进一法”培养学生考虑周全、负责到底的做事态度。3.在解决实际问题的过程中，培养独立思考、合作交流的学习习惯。四、教学重难点剖析1.【教学重点】理解并掌握根据实际问题的具体情况，采用“进一法”或“去尾法”求商的近似值。这是本课的知识核心，必须通过大量的实例对比，让学生从感性认识上升到理性认同。2.【教学难点】准确区分什么情况下使用“进一法”，什么情况下使用“去尾法”。这是学生思维上的最大障碍，也是本课需要反复辨析、深入探讨的关键点。难点的突破在于引导学生回归问题本源，思考“商”在这个具体情境中代表的实际意义，以及余数是否还能继续分配。五、教学方法与准备【教法】情境教学法、问题驱动法、对比辨析法。利用多媒体课件创设生动的生活场景，通过层层递进的问题链驱动学生思考，在不同方法的对比中凸显本质。【学法】自主探究法、小组合作法、操作验证法。学生通过亲手模拟装油、包装礼盒等活动，在实际操作中感悟道理，通过小组辩论澄清认识。【教学准备】1.教具：多媒体课件（包含装油动画、丝带包装礼盒动画）；实物道具：玻璃瓶模型、量杯、水（模拟油）、细绳（模拟丝带）、小礼品盒。2.学具：学习任务单、计算器。六、教学实施过程（核心环节）（一）激活经验，引入冲突（预计5分钟）1.【情境创设】课件展示：小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可盛0.4千克。需要准备几个瓶子？2.【自主尝试】请学生独立列式计算，并汇报结果。教师巡视，挑选典型的答案板演。预设学生出现两种答案：A.2.5÷0.4=6.25（个）≈6（个）（使用四舍五入）B.2.5÷0.4=6.25（个），6个瓶子只能装2.4千克，还剩0.1千克，还需要1个瓶子，所以需要7个。3.【制造冲突】教师不直接评判，而是将两个答案并列写在黑板上：6个？7个？到底哪个对？请同意6个的同学举手，同意7个的同学举手。随即抛出核心问题：瓶子是整数个，但计算结果却是小数，我们到底该怎么办？由此引出课题。（二）操作辨析，建构模型（预计20分钟）1.【实物验证，初识“进一法”】（1）小组合作：请各小组用学具（用水代替油，用量杯代替瓶子）动手装一装。组长负责操作，记录员记录过程。（2）汇报展示：一个小组上台演示。先用量杯量出0.4千克的水倒入第一个“瓶子”，连续倒6次。此时，大家看到容器里还剩一些水。（3）关键提问：剩下的这些水（约0.1千克）怎么办？还要不要装？如果不装，这瓶香油还完整吗？如果装，需要几个瓶子？（4）学生顿悟：剩下的虽然不到一瓶，但也是香油的一部分，必须用一个瓶子装起来。所以，在装东西的时候，不管剩下多少，都要多用一个容器。（5）概念揭示：教师板书：6.25≈7。像这样，在解决实际问题时，无论小数部分是多少，都要向前一位进一取整数，这种求近似数的方法叫做“进一法”。【非常重要】【高频考点】2.【迁移类推，对比“去尾法”】（1）情境转换：看来装油的问题我们解决了。现在王阿姨也遇到了麻烦，请大家帮帮她。课件展示：王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装几个礼盒？（2）独立计算：学生列式计算：25÷1.5=16.666……（个）（3）小组辩论：按照刚才的思路，16.666……个，小数部分是0.666，也要进一，所以需要17个。你们同意吗？（4）实物模拟：请学生上台用绳子模拟包装。用尺子量出1.5米剪断，模拟包装一个礼盒。连续包装16个后，让学生观察剩下的绳子还有多长？（剩下1米）还能再包装一个礼盒吗？（不能，因为1米＜1.5米）（5）辨析本质：同样是取近似数，为什么这里不能用“进一法”？引导学生讨论。生：因为包装一个礼盒必须用够1.5米丝带，剩下的1米不够做一个礼盒，不能再包装一个，所以只能做16个。（6）概念揭示：教师板书：16.666……≈16。像这样，在解决实际问题时，无论小数部分是多少，都要直接舍去（即使尾数是5或更大），只取整数部分，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。【非常重要】【高频考点】3.【对比归纳，揭示规律】（1）对比分析：将两道例题并列呈现在黑板上。问题一（装油）：2.5÷0.4=6.25（个）→7个（进一法）问题二（包装）：25÷1.5=16.666……（个）→16个（去尾法）（2）小组讨论：同样是除法，同样是求近似数，为什么结果处理的方法截然不同？你能用一句话概括一下，什么时候用“进一法”，什么时候用“去尾法”吗？（3）师生总结：【难点突破】进一法：求需要多少容器、多少辆车、多少人等问题时，为了保证任务完成（如把所有物品装完、把所有人员都运走），无论余数多少，都必须多加一个单位。核心是“无论余多少，都得加一个”。【难点突破】去尾法：求能做多少件衣服、能买多少本书、能包装几个礼盒等问题时，因为材料不够、钱不够、长度不够，不足一份的条件，就必须舍去余数。核心是“不够一份，就不能算一份”。（三）分层练习，深化理解（预计10分钟）1.【基础辨析题】快速判断，下面各题该用“进一法”还是“去尾法”？只列式，不计算。（小组抢答，并说明理由）（1）果农要将680千克的葡萄装进纸箱运走，每个纸箱最多可以盛下15千克。需要几个纸箱？（680÷15，进一法）（2）服装厂做一件男上衣用2.5米布料，现在有42米布料，可以做多少件这样的男上衣？（42÷2.5，去尾法）（3）张老师带100元去为学校图书馆买新字典，每本字典18.5元，他可以买回几本？（100÷18.5，去尾法）（4）李师傅领了4千克面粉做蛋糕，每个蛋糕需要0.32千克面粉，他最多可以做几个生日蛋糕？（4÷0.32，去尾法）（5）有52吨货物，小卡车每次最多运8吨，需要运多少次才能全部运完？（52÷8，进一法）2.【综合应用题】课件出示：一辆汽车从甲地开往乙地，计划每小时行50千米，7.5小时到达。实际3.5小时行了175千米。提问题：根据这些信息，你能提出哪些数学问题？并试着解答其中一个。（开放性设计，旨在培养学生提出问题的能力。可能会提出：实际平均每小时行多少千米？照这样的速度，行完全程需要几小时？等。在解答“需要几小时”这类问题时，可以再次强化“进一”或“去尾”的意识，但此题主要是复习归一问题，作为思维的缓冲。）（四）回归生活，拓展延伸（预计5分钟）1.【小小设计师】请你当一名“节能小卫士”，设计一个“阶梯水费”或“阶梯电费”的简单计费规则。背景介绍：出示家庭用电账单，介绍“阶梯电价”的概念——为了节约能源，把用电量分成几段，每段的价格不一样。用的越多，价格越高。任务：如果某市规定，每月用电量不超过100千瓦时（度），每千瓦时0.5元；超过100千瓦时的部分，每千瓦时0.6元。小明家上个月用电120千瓦时，应该交多少钱？（这道题引入了“分段计费”的概念，虽然不属于今天的“进一去尾”范畴，但它是后续学习的重点，且同样属于“解决问题”的范畴。在此处作为拓展，旨在打开学生视野，让学生看到现实世界中数学问题的多样性。教师简要引导，指出这也是解决问题的一种常见模型，激发学生课后探究的兴趣。）2.【课堂小结】通过今天的学习，你有什么收获？除了数学知识，你还明白了什么道理？（引导学生说出：数学规则要服从生活实际，做事要考虑周全，要学会节约等。）七、板书设计主板书：“进一法”与“去尾法”解决问题（二）【例1】装油：2.5÷0.4=6.25（个）6个只能装2.4kg，还剩0.1kg，必须再加一个。——>需要准备7个。（无论小数部分是多少，都向前一位进一）【进一法】关键词：至少、需要、装完【例2】包装：25÷1.5=16.666…（个）包装16个用24m，剩1m不够1.5m。——>最多包装16个。（无论小数部分是多少，都直接舍去）【去尾法】关键词：最多、可以做、买回副板书：对比辨析：求容器/运货/载人→进一求制作/购买/包装→去尾八、作业设计1.【基础巩固】完成课本练习九相关习题。要求：先判断用什么方法取近似数，再列式计算，最后写出答语。2.【实践调查】课后调查一下，自己家里每个月的水费或电费单据，看看上面的“用水量”、“用电量”和“金额”之间的关系。尝试向家长或社区的工作人员了解一下，水费和电费是按照什么规则收取的？是不是分段计算的？把你调查的结果记录下来，下节课我们一起来分享生活中的数学。【热点】【跨学科】3.【挑战题】一种瓶装橙子粉，每冲一杯需要16克橙子粉和9克方糖。一瓶橙子粉450克，冲完这瓶橙子粉，大约需要多少克方糖？（提示：先算出一瓶橙子粉能冲多少杯？这里要用什么法？然后再算方糖的总量。这是一道两步计算题，考查学生的综合分析能力。）九、教学反思（预设）本课的设计始终围绕着“生活需求决定数学方法”这一核心展开。通过“装油”和“包装”两个经典案例的强烈对比，成功地制造了认知冲突，让学生在动手操作中深刻体会到，“四舍五入”并不是万能的。在