十字架模型-初中数学模型与解题方法专练（原卷版）

专题29十字架模型

一、单选题

1.如图，将一边长为12的正方形纸片48co的顶点月折叠至0C边上的点区使。E=5,若折痕为PQ,

则PQ的长为（）

A.13B.14C.15D.16

2.如图，在正方形AACQ中，点/在A8边上，AF1DE，交OE于G,交BC于点、F.若4£=15,BE=5,

则AAEG的面积与四边形BFGE的面积之比是（）

AD

39

4-D.一

16

3.如图，正方形/收力的边长为3,£为回边上一点，比'=1.将正方形沿G五折叠，使点/I恰好与点£重合,

连接力"EF,征；则四边形月6仔’的面积为（）

A.2>/ioB.2x/5C.6I）.5

4.如图，将正方形A8C。沿E/F斤叠，使8落在CD上点〃处，连接4P、BH,则下列结论一定成立的是

（）

@AE+CH=FH；②BP=BH；③AP+CH=PH；@PE+PG+EG=HD.

I

A.①@B.①③④C.①②④D.②®④

5.如图，在正方形A8CO中，3D为对角线，£为48上一一点，过点£作律〃AO,与B。，DC分别交于

点从F,G为“。的中点，连接GE,GF,GC,EC.下列结论：@EH=FC；②为等腰直角三角

形；③AEFGs^CGF：④若芸=；,贝I2%EGC=25SARC.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个I）.4个

6.如图,将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,折痕为PQ,则PQ的

长为（)

C.14I).15

7.如图，将边长为3的正方形力比〃纸片沿用折叠，点C落在川7边上的点G处，点〃与点〃重合，CG与

交于点只取切的中点。，连接々，则△G”的周长最小值是（）

C.—+2>/3

2

2

8.如图，在正方形A8CO中，AB=2jl5，E,尸分别为8C,C£＞的中点，连接AE、BF,4E交毋―于点

G,将ABCF沿BF翻折得到ABPF，延长EP交84延长线于点。，连接约，则公QGF的面积是（）

A.—B.25C.20D.15

2

9.如图，在正方形48CO中，AO=6,点E是边C。上的动点（点E不与端点重合），4E的垂直平分

线柘分别交ADAE,8于点£”,G,当坐时，的长为（）

912

A.2B.-C.—D.4

55

二、填空题

10.如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC力的点E处，点A落在点F处，折痕为MN,

若MN=4行，则线段CN的长是.

11.如图，在正方形ABCQ中，A/?=12,点反产分别在边8C,CQ上，AE与加'相交于点G,若BE=CF=5,

3

12.如图，在矩形ABCD中，点E在边AO上，把把沿直线随翻折，得到△GBE,8G的延长线交CO于

点F,尸为CQ的中点，连接CG,若点EG,C在同一条直线上，9=1,则cos/DEC的值为.

13.如图，在正方形4a力中，点E是加上一点，BFJLAE交DC千点、F,若AB=5,BE=2,则AF=

14.如图，现有一张边长为8的正方形纸片A8CQ,点七为正方形C。边上的一点（不与点A,点。重合）

将正方形纸片折叠，使点A落在8边上的G处，点6落在，处，HG交BC于P,折痕为防，连接用，，AG.

则APGC的周长是.

15.如图，将正方形A8CO折叠，使顶点A与CQ边上的一点“重合（“不与端点C,。重合），点8落在

点。处，折痕交A。于点E,交BC于点F,边A8折叠后与边BC交于点G,设正方形A8CQ的周长为x,

△W7E的周长为丁，aGF。的周长为z,则二的值为

x

16.如图，将一块边长为12cm正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的E点，使DE=5,折痕为PQ,

则PQ的长为cm.

4

4c为边分别作正方形ACGF,连接。C、BF.证明：CD=BF.

18.如图，点G是正方形A8C。对角线C4的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形4WU,连

接EB,G。相交于点，.

⑴猜想破与£>G之间的关系，并证明；

⑵若AB=3^，AG=3,求所的长；

(3)若点A为。G中点，求证：AE.0G互相平分.

5

19.如图，在四边形ABC。中，E,分别是AO,AC的中点，G,//分别是对角线8。，AC的中点，依次

(1)求证：四边形反才H是平行四边形：

⑵当A8=C。时，政与GH有怎样的位置关系？请说明理由;

20.小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探窕产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1,

我们把两条对角线(相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是.

⑵问题解决：如图2,分别以RtAACB的直.角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

连接CG,BE,GE,已知AC=4,AB=5.

①求证：四边形3CGE为垂美四边形；

②求出四边形8CGE的面积.

6

21.图，已知以AA8C的边A3、AC分别向外作等腰RtZVW。与等腰Ri^ACE,其中NZMZ)=NO场=90。,

连接BE、CD,应:和C。相交于点。.

(1)求证：BE=CD；

(2)求N80C的大小；

(3)连接OE,取8£的中点R再连接人尸，猜想A尸与BC的关系，并证明.

22.正方形，仍笫中，点反F在BC、CD上,RBE=CF,AE与即交于点、G.

(1)如图1,求证力/LL/F；

(2)如图2,在GE上截取GM=GB,/物〃的平分线交⑺于点〃交即于点、N,连接CN,求证：AN^CN=&

BN：

7

23.如图，正方形/以T边长为4,点G在边力〃上(不与点/!、。重合)，阳的垂直平分线分别交/区、切于

E、尸两点，连接EG.

(1)当力店1时，求用的长；

(2)当/G的值等于—时，般8—21方；

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(3)过G点作GMLEG交⑦于加①求证：GB平分4AGM；②改力俏x,C^y,试说明----------1的值为

xyxy

定值.

8

24.如图1,在正方形A8C£＞中，E为BC上一点、,连接人石，过点8作8G_LAE于点〃，交CD于点G.

c

(1)求证：AE=BG：

(2)如图2,连接AG、GE,点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、所的中点，试判断四边形MNPQ

的形状，并说明理由；

(3)如图3,点尸、R分别在正方形ABCQ的边AB、C。上，把正方形沿直线网翻折，使得BC的对应边

夕「恰好经过点A,过点A作AO_LFR于点。，若A£=l,正方形的边长为3,求线段"的长.

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25.(1)如图1,已知/BC,以AB,AC为边向外作正方形和正方形ACGE,连接施，CD,请

判断线段即与线段C。的数最关系和位置关系，并说明理由：

图1图2

(2)如图2,若正方形A3F。的边长为3,正方形ACGE的边长为5,连接BC,DE,请直接写出4c2十。£

的值为;

(3)运用上面解答中所积累的经验和知识，完成下题：

①如图3,已知NA8C=45。，ZC4E=90°,AB=BC=5,AC=AE,请直接写出庭:的长为；

②如图4,△ABC是等腰直角三角形，/HAC=90。，〃是平面内一点，D4=8,OC=4,请直接写出线段3。

的及大值为.

10

26.已知E是矩形ABC。的边BC上的一点.

(1)如图1,若四边形A8c。是正方形，BF上AE交CD于点、F,求证；AE=BF；

(2)已知A8=4,BC=6,GH1AE分别交A4,CD于G,〃两点，且GH平分矩形A3CQ的面积.

①如图2,若BG=1,求AE的长；

②如图3,4E与G”交于点P,连接8尸，求出线段8P长的最小值.

27.如图，点反尸分别在正方形A8CO的边8C、A8上，AE=DF,A石与。尸相交于点0.求/。。石的度

数.

11

28.如图，在正方形A8CQ中，点£在8C边的延长线上，点分在CD边的延长线上，且CE=D尸,连接人E

和肝相交于点MAE和责■'之间数量相等吗？请说明理由.

29.如图，在正方形ABCQ中，点M,N分别在AB,BC上，且BM=CV,AN与。例相交于点P,求4PM

的大小.

30.已知：如图，四边形A8C。中，/BAD=/BCD,ZABC+ZADC=.

图1图2图3

(1)如图1,求N4CO的度数；

(2)如图2,若NAC8=50°,ZBAE+NDAC=/DFC；求NG的度数

(3)如图3,在(2)的条件下，若AG=AC,S&e：S*=3:8,DC=5,则。G=

31.(1)发现：如图①所示，在正方形A8CO中，点及“分别是AB、AO上的两点，连接DE、CF,DE工CF.求

DE士

"的值；

CF

(2)探究：如图②.在矩形/WCZ)中，E为AO边上一点，且4)=10,48=6.将“