2024-2025学年广东深圳某高中高一年级下册期中数学试题（带答案）

2024・2025学年广东省深圳科学高中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.(5分)已知集合4={M-IVxVl},8={x|0WxW2},则月U8=()

A.(x\--l<x<2}B.{x\-\<x^2]C.{x|0WxV1)D.{x|0WxW2}

若复数守是纯虚数，则实数。二

2.<5分）=()

2+i

3322

A.—B.-C.D.-

2233

2sin40°—coslO°,.„.

3.（5分）---------77：——的值为（）

stnlO°

1

B.V3

A,5C.1D.2

(x-3,%>10

4.（5分）已知函数/(x)=l/[/(x+5)],x<10»其中xWN,则/(8)=()

A.2B.4C.6D.7

5.（5分）已知。>1,b>2,（Q-1）・"-2）=2,则。+力的最小值为（）

A.3V2B.2百C.3+2V2D.2+3V3

77

6.（5分）连掷两次骰子分别得到点数〃?，〃，则向量（〃?，〃）与向量（-1,1）的夹角的概率是（）

7.（5分）将一边长为2的正方形48C。沿对角线8。折起，若顶点儿B,C,。落在同一个球面上，则

该球的表面积为（）

4TI8A/27T

A.—B.-------C.4nD.8n

33

8.（5分）记△力8c的内角48的对边分别为a,b,则“a>2b”是“sinJ>sin28”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

（多选）9.（6分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2火相等，下列结

论正确的是（）

高中

B.圆锥的侧面积为石灯/?2

C.圆柱的侧面枳与球面面积相等

D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

（多选）10.（6分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果,

可能出现点数6的是（）

A.甲同学：第25百分位数为3,众数为5

B.乙同学：平均数为3,方差为2.4

C.丙同学：中位数为3,极差为2

D.丁同学：平均数为3,中位数为4

（多选）11.（6分）已知函数/（K）的定义域为R,对于任意非零实数x,y,均有/（x）>x,且

则下列结论正确的为（)

xy

A.f(0)=0B./（x）为奇函数

C.f（2X）/（2'x）>1D.f（2024x）2024/,（x）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）若△048的直观图是边长为2的等边△ON5,则△048的面积是.

13.（5分）若/'（x）=l川。+乙|+b是奇函数，则0+6=.

14.（5分）瑞士数学家欧拉在1?65年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上,

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线.已知在△力8C中，AB=《

71TTTT

AC=2,且乙8=一，设的外心为O,重心为G,垂心为〃，若入。G=。4+。8+0C,则实数入

4

=,I。，尸.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

TT-♦

15.（13分）已知悭|=5,回=2,（Q+3b）・（Q-2b）=6.

（1）求Q与b的夹角;

高中

(2)若向量1为W在^上的投影向量，求

16.(15分)某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名

学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分(得分均为整数，满分

为1()0分)进行统计.所有学生的得分都不低于60分，将这1()0名学生的得分进行分组，第一组［60,

70),第二组［70,807第三组［80,90),第四组［90,100］(单位:分)，得到如下的频率分布直方图.

(1)求图中，〃的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,

请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.(以每组中点作为该组数据的代表)

AB+RC

17.(15分)如图，在凸四边形W8co中，_^_=tNBAC+/D=R.

sinDsinB

(1)求证：/B=2/BAC；

(2)若AB=BC=2,求四边形/4CQ面积的最大值.

18.(17分)已知函数/(x)=rnsinx+&cosx.

(1)若〃?>0且/(x)的最大值为2,求函数y=/(x)在［0,/上的单调递增区间；

(2)若〃?=0,函数y=/(%)+/(X+勺一亡在［一^,刍上有且仅有一个零点,求实数/的取值范围；

(3)已知y=/(x)的一条对称轴方程为x=3，令F3=(x-6)?・f2x),存在常数“6R,使得

函数为偶函数，求最小的正数3的值.

19.(17分)若函数/(x)满足：对于s,但［0,+8),都有/(S)20,/(/)20,且/(s)+f(t)可

(s+z),则称函数/(x)为“r函数”.

(I)试判断函数/i(x)=/与力(x)=ln(A+1)是否为“丁函数”，并说明理由；

(2)设函数/«)为“T函数”，且存在沏日0,+8),使/(/(沏))=xo,求证：f(x0)=xo：

(3)试写出一个“7函数”，满足/(2)=4,且使集合打心=/(工)，0〈xW2｝中元素最少(只需写出你

的结论).

高中

2024・2025学年广东省深圳科学高中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BABDCDDA

二.多选题（共3小题）

题号91011

答案ABCABACD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.【答案】B

【解答】解：VJ={x|-8={x|0/xW2},

：.AUB={x|-1<x<1}U{x|04W2}={x|-1VxW2}.

故选:B.

2.【答案】A

_a+3i(a+3i)(2—i)2a+3+(6—a)i2a+36-a口――皿

【解答】解：V——==/=———~~1=——+是纯虚数，

2+i(2+z)(2—I)4—1255

(2a+3=03

***l6-a=0，解得a=---

故选：A.

3.【答案】B

公2sir240。-cos]。。2sirz(100+30。)-uoslO。2(乌siolO°+gc0s1O°)-coslO。

[解c】解：s勿10°=sinio°=sinio°

^™=V3,

sinl00

故选：B.

4.【答案】D

【解答】解：・・・/(x)=t/[/(x+5)],%<10，其中xWN,

⑻=/[f(13)]

=/(10)

=7.

故选：D.

5.【答案】C

【解答】解：b>2,所以2>0,

所以QT：0—2>7(a-l)(f)-2)=五,

即a十匕妾3十2万，当且仅当a・1=)-2,即4=1十五，8=2+后时取等号.

故选：C.

6.【答案】D

【解答】解:由题意可知,向量(小，〃)的可能组合有36种,

要使向量(〃?，〃)与向量(-1,1)的夹角eg,

则(〃？,/?),(-1,1)=n-w<0»BPn<m,

满足条件的情况如下：

当机=2时，〃€{1},

当m=3时，〃€{1,2},

当〃7=4时，«€{1,2,3},

当m=5时，〃£{1,2,3,4},

当机=6时，〃W{1,2,3,4,5},

综上所述，共有15种，

故向量(…)与向量(・1,I)的夹角。的概率是理=17.

23612

故选：D.

7.【答案】D

【解答】解：由已知，△3CQ和△44。均是以4。为斜边的直角三角形，故线段8。中点到4,B,C,

〃距离相等，

所以线段中点是所求外接球的球心，外接球半径/?=?=五，所以该球的表面积为41次2=81T.

故选：D.

8.【答案】A

【解答］解：若a>2b,贝I」sinJ>2sin822sin8cos8=sin28,

故ua>2bn是“siM>sin28”的充分条件,

若sinJ>sin28,则sinJ>2sin8cos8,所以4>2/)cos8,

当cosBVl时，〃>2人不成立，

故((a>2bn是“sin力>sin28"的不必要条件，

综上：'%>26”是“siM>sin2夕’的充分不必要条件.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.【答案】ABC

【解答】解：依题意球的表面积为4山?2,

圆柱的侧面积为2TTXRX2R=4TTR2,所以力。选项正确.

圆锥的侧面积为JTXRx］标+(2外2所以8选项正确.

圆锥的表面积为江/?2+局R2=(I+Vs)7r/?2V4TTR2,

圆柱的表面积为4n/?2+2n/?2=6n7?2,所以。选项不正确.

故选：ABC.

10.【答案】AB

【解答】解：根据题意，依次分析选项:

对于儿若甲掷骰子所得的点数为1,3,5,5,6,

由于5X0.25=1.25,其笫25百分位数为3,

众数为5,满足题意，

故甲的结果可能出现点数6,』正确;

对于8若乙掷骰子所得的点数为2,2,2,3,6,

2+2+2+3+6

其平均数为=3,

5

(2-3)2+(2—3)2+(2―3)2+(3-3)2+(6—3)

方差为=2.4,

5

故乙的结果可能出现点数6,8正确;

对于C,若出现6,且极差为2,则最小数为4,则中位数不可能为3,故C错误;

对•于。，因为平均数为3,所以5个数总和为15,

若要出现6,且中位数为4,则剩余三个数之和为5,则剩余三个数都比4小，

那么中位数不可能是4,矛盾，故。错误.

故选:AB.

11.【答案】ACD

【解答】解：对于儿因为对于任意非零实数五，/均有/个？)、」+「

fWf(y)xy

令y=-x,则奉,=工一工=0,可得/(())=0,故/正确；

f(x)f(r)xx

对于8,例如/(x)=x*3x,显然/(0)=0,

对于任意非零实数x,y,

且中签=里陪=四=工+之符合题意

x・3'>x,

x-3xy-3yxy-3x+yxyxy

1

又/⑴=3,/(-1)=

所以/(I)W-1),

所以/(x)不为奇函数，故8错误;

对于c,因为黑拱=工+士整理可得/(%)•/。)二竺四乜2

f(x)f(y)xyx+y

-/口X-r2x-2-x-f(2x+2-x)f(2x+2-x)

令Ax=2、>0,y=2->0,可得f(2、)/(2")=——-^――二八),

又因为乃+27>0,/(x)>x,

所以/(2、+27)>2x+2-x,

可得/*(2丫)/(27)='£+：：)>1，故C正确;

对于。，若x=0,由/(0)=0,

则/(2024x)=/(())=0,

2024f(x)=2024/,(0)=0,

所以f(2024x)22024/(x)成立;

若如’由号怒芸+去整理可得g,)=(…等等

令y=2023x,可得f(2024x)=2024/(%)•与翳丛，

当x>0时，由/(x)>x>0,可知四>1,即笛竽"］，

x2023x

所以/(2024%)=2024/(%).>2024/(%)；

乙U4D人

当xVO时，对于/(：：,)、二」+工,

f(x)f(y)与y

令y=・2x>0,则/(・2x)>0,/(-x)>0,

f(r)11可知

可得=^-<0,/(x)<0,

2x)x2x4人

由/(x)>x,可知即oj哈詈)<1

x2023x

一3f(2023x)

可得/'(2024%)=2024/(%)[，>2024f(x)；

乙U乙

综上所述：对VxCR，/(2024.x)22024/(x)，故。正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】2遍.

【解答】解：根据题意，△0/4的直观图是边长为2的等边△OR9,

则直观图的面积S'=1x2X2x^y=V3,

乙乙

故△。力8的面积是S=2&S'=2V2x>/3=2后.

故答案为：2V6.

13.【答案】一5十E2.

【解答】解：依题意，/(-x)-Ff(x)=ln\a+T~~I+b+Ina+T7—I+b=0,

JL1人JL人

则伍|(a+±)(a+±)|+2%=0,即仇I创平立光I=-2b,

则,(。+?2-：2身为定值,

1—x2

所以解得a=二，则b=ln2,

112

经检验符合题意.

1

所以a+b=--+/2.

乙

故答案为：一寺+仇2.

乙

14.【答案】3；百一1或百+1.

【解答】解：如图1,设BC口点为E,ADLBC,垂足为。，

则4E=g(48+4C),KOE1BC,.

由重心的性质知AG=2GE=夕E=+AC),

所以流；_&=-(0B-0A+0C-0A),

3

整理得：鼠=!(。7+而+云)，^OG=OA+OB+OC,

3

囚为人儿=04+后+及，所以入二3：

4c=2,且用=了

ARAC

所以由正弦定理一二二—^,

sinCstnB

ABsinB_V3

得s出C=

AC2~2

又因为Ce(0,TT),所以或C=w

2nnTCn.

当。=寸，Z.BAC=兀后丁运T则rl"EC=2.

且由余弦定理可知,

7T

=BC2+AB2-2AB-BCCCS^,

4

代入可得，4=BC2+6-276x=靖-29。+6,

整理可得〃。2―2百9c+2=0,

解得BC二百±1(舍去BC=百+1>2),

所以BC二百一1.

如图1,Q/=QC=1,BKA.AC,CK=BCcos^=<1,BK=8面鸣=S

3232

建立直角坐标系,

-V3-1—V3—13-V3

则C(-1,0),A(1,()),K(，「，0),F(-^—.T")・

一遍一1

不妨设”(■

~~2-0,

一遍一3八CRZ-V3+13-A

则，

4"=('2­0C8=(---,—^―)-

因为

所以，AH.CB=0,

-V3-3-V3+13-v3

即有•——z——X——I--------F-C=0>

222

础俎1+V3由卜|□/V3+16+1、

解得c=—―,所以H(——f——).

p「(.八、,八、z6+13-V3

乂C(-l,()),AA(1♦())»2D(-------,—--),

所以G（-与i,三乎）.

66

所以，涌=（—警1._粤）,

））（年）、

所以，|向=」（一粤i

3

又由欧拉定理可知，同|=｝丽=耳工

乙O

所以，|OH|=|GH|+|GO|=、W+1.

当二二守寸，/8力。二兀一三一3二瑞3，贝IJ夕C>/C=2.

且由余弦定理可知，

力C?=BC2+ABZ-2AB•BCcc^-,

4

代入可得，4=BC2+6-276x争C=BC2-2y/3BC+6,

整理可得8c2一2百8c+2=0,

解得8C=百±1（舍去8。=百一1<2）,

所以8C=百+1.

如图1,O\A=O\C=\,BKVAC,CK=BCcos^=^^>l,BK=BCsirv^=

建立直角坐标系,

则C(・1,0),4(1,0),K(^i,0),

乙乙乙

不妨设”(，?1,b)»

乙

I出晶"一3惑V3+13+伍

则A〃二(",b),CB=(—―,-^―).

乙乙乙

因为4/_L8C,

所以，AH.CB=0t

^.V3-3V34-1,3+V3,

即HI1有x——+——0,

乙乙乙

解得匕二5尸，所以〃（当1,*L）.

又C(-l,0),A(1,0),£(—-—,—-~),

所以G(qi,史马.

66

谆［、1ruV3-1V3-3,

所以，GH=Z(—―,——),

所以，曲=

又由欧拉定理可知，|启|二｝/|=4二，

乙O

故答案为：3：百-1或百+1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【答案】（1）提

,175

⑵丁

TTTTTT

【解答】解：（1）\a\=5,\b\=2,（a+3b）・（a-2b）=6,

，一一，---_

则a+a•b—6b=6,即25+Q•b—24=6,解得a•b=5,

设：与，的夹角为e,0G[O,IT],

T-♦

则cose=二"=2=＜，解得e=p

|a||b|2X523

"*T71

故a与b的夹角为了

◊

（2）向量c为a在b上的投影向量,

则三亚、2=汽

向w4

TTTq_*TT21T171

故|a+C|=|Q+：b|=|Q|2+^a•b+§冏2=受.

4Z164

16.【答案】(1)0.01；82.5；

(2)平均值为82,520名学生获奖.

【解答】解：(1)由图知第组频率为1-(0.03十0.04+0.02)X10=0.10,

所以第一组矩形的高为〃若=0.01.

因为前两组的频率为(0.01+0.03)X10=0.4<0.5,

前三组的频率为(0.01+0.03+0.04)X10=0.8>0.5,

所以得分的中位数在笫三组内，

设中位数为x,(0.01+0.03)X10+(x-80)X0.04=0.5,解得x=82.5,

所以估计此次得分的中位数是82.5分.

(2)由频率分布直方图知，学生得分的平均值为±=65X10X0.01+75X10X0.03+85X10X0.04+95X

10X0.02=82.

参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为1000X[0.02X10+(90-82)X0.04]=520,

所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的1000名学生中有520名学生获奖.

17.【答案】(1)证明见解析；

(2)272.

【解答】(1)证明：因为N%C+NQ=TT,所以sin0=sin(TT-ZBAC)=sinZBAC,

ACAB+BCACAB+BC

由----=--------，则--------=--------,

sinDsinBsinZ-BACsinB

根据正弦定理得空学，则/。2=力比8。+8c2,

BCAC

又根据余弦定理力。2=力解+如2-2"・3Ccos8,

所以AB2+BC2-2AB・BCcosB=AR・BC+Be,

即BC=AB-2BCcosB,

再由正弦定理得sinN84C=sinN4C8-2sin/A4Ccos4,

即sinN8/lC=sin(N8/C+NB)-2sinN8/lCcos8,

=sin8cosZBAC+cos5sinABAC-2sinZBACcosB

sinBcosZBAC-cosBsinZBAC

=sin(3-ZBAC),

即sinN比!C=sin(ZB-ZBAC),

因为N86(0,ir),ZBACE(0,n),则(-TT,n),

所以NB4C=NB-/84C或TT-NBAC=NB-ZBAC,

得N8=2/84。或N8=TT(舍)，

故NB=2/B4C；

(2)解：根据(1)ZB=2ZBAC,又AB=BC=2,

所以N4/1C=N/1C&所以=Z.BAC=LACB=

24

所以S&wc=\x2x2=2,旦AC=2衣，

乙

,.37r

在△A4C。中，Z.D=—,

4

根据余弦定理AC2=AD1+DC2-2AD*DCCOSD,

即8=4。2+。。2+我力。・oc2(2+&)AD*DC,

所以4D•DC<—,当且仅当AD=DC=J©2一际时等号成立,

2+V2丫

，।1.37r18V2l

所以S&ACD=-*/)Csin—<-X-----—=2V2-2.

2422+V22

所以四边形力8CQ面积的最大值为2女.

18.【答案】(1)[0,-].(2){2}U[-V2,V2).(3)o)=—.

424

【解答】解：(1)若小>0且f(x)的最大值为2,

则，m?+2=2,即〃?2+2=4,得"3=2,即〃7二五，

则/(x)=6sinx+V2cosx=2sin(x+^),

i,一n,nTT37r

当OWx<77时，—<x+—<—»

2444

由+时，/(x)为增函数，此时OWxW?,

即函数尸/(X)在[0,夕上的单调递增区间是[0,和

(2)若〃?=0,f(x)=V2cosx,

y=f(x)+f(x+—)-t=VZcosx+&cos(x+—)-t=Vzcosx-V2sinx-r,

乙乙

由VScosx—''/Ssinx-f=0,得，-VSco&x—VJsiav=2cos(x+1),

4

设。(x)=2cos(x+-),

4

ITTC,,.7T7T37r,rI7rli7T37T

当x£［一—1，则一工工工+:三丁，设8=》+7，则一:工^工丁，

22444444

作出函数y=2cosB,—孚的图象如图：

44

当。=一^•时，y=2cos(--)=五，当8=丁时，y=2cos~^-二一交,

当6=0时，^=2cos0=2,

则要使函数在［-与手上有且仅有一个零点，

乙乙

则，=2或一五W/<VL即实数，的取值范围{2}U［-我,灭).

(3)・・，=/(x)的一条对称轴方程为％=全

n