广东广州市南沙区2025-2026学年第二学期九年级数学习题（试卷+解析）

2025-2026学年第二学期九年级习题

数学

本试卷共25小题，满分120分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液,不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

5.考试时不可使用计算器.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.己知同=2,则。的值是（）

A.2B.-2C.±2D.j

2.多项式X+孙+1的次数是（）

A.3B.2C.1D.0

3.如图所示，OC是24。8内的任意一条射线，能正确反映图形的关系式是（）

A.NAOC=/BOCB.乙AOC>4B0C

C.ZAOB=2ZAOCD.ZAOB=ZAOC+ZBOC

4.有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全

部成绩的（）

A,平均数B.中位数C.众数D.方差

5.如果一个多边形的内角和是540。，则这个多边形是（）

A,四边形B.五边形C.六边形D.八边形

6.如图，一个小球从力点沿指定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最

终到达〃点的概率是（）

7.把函数p=L的图象绕坐标原点旋转90。，所得图象对应的函数解析式是（）

X

A.y=--B.y=—+90C.y=--90D.y=—

XXXX

8.如图，放置在正方形网格中，则cosN/08的值为：）

ic.NiD.正

255

9.均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度〃随时间/变化的函数

图象大致是（）

10.如图，面积为2的矩形N8C。在第一象限，3c与X轴平行，反比例函数y=±（%wo）经过4、。两

X

点，直线4。所在直线》=-履+人与X轴、y轴交于£、F两点,且8、。为线段痔的三等分点，则/）的

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.计算：（a2b-加）+ab=.

12.如图，AB//CD,直线/平分/BOE,Zl=40°,则N2=

13.下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）：

30,20,15,20,20,25,30,5,25,20,10,15,20,45,10,20,12,30,20,15,20,20,10,

5,8,20,20,5,20,15.

若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是分钟.

14.已知。在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与V12?C关于V轴对称，那么点4的

15.老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确

的性质：

小张：函数图象不经过第三象限；

小赵：函数图象经过第一象限；

小王：当x<2时，y随x的增大而减小；

小马：当x>2时，y>0.

请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式.

16.如图，在矩形48C。中，AB=2,ZBOC=\20°,点£是4。上一个点，连接0E,

ZBOE=90。，若△OEC绕点O顺时针旋转，旋转角为。，点E对应点G,点C对应点F.①当（尸<a<180°

时，。等于。时，^AOG^COE；②当0。<。0360。且3G长度最大时，Z）厂的长度为

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步

骤）

3x-2>l

17.解不等式组:

2x+l<5

18.如图，［。和CB相交于点。，AB//CD,OB=OC,求记：OA=OD.

（）

D

19.已知「=一+（先辿+a）

（1）化简尸；

（2）若|""6,且点（。力）在第二象限，求P的值.

20.台州某校七（1）班同学分三组进行数学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况、八年级300

名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇

形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据.根据以上信息，请回答下列问题：

九年级同学完成家庭作业时间情况统计表

时间1小时左右1.5小时左右2小时左右2.5小时左右

人数508012050

七年级同学最喜欢喝的饮料八年级同学零花钱最主要

种类情况统计图用途情况统计图

A人数

125

/25%25%100

可口可乐雪碧75

50

25

0

买学买零买文其他类别

习资食具

料

（1）七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？

（2）补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图：

（3）九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时（结果保留•位小数）？

21.某商场在世博会上购置48两种玩具，其中3玩具的单价比4玩具的单价贵25元，且购置2个4玩

具与1个力玩具共花费200元.

（1）求儿〃玩具的单价；

（2）若该商场要求购置8玩具的数量是力玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商

场最多可以购置多少个力玩具？

22.气象台发布的卫星云图显示，代号为力的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45。方向的8点生成，

测得08=100巫km.台风中心从点B以40km///的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C

处.因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/力的速度向北偏西60°方向继续移动，以。为原点建立

如图所示的直角坐标系.

（1）台风中心生成点8的坐标为（），台风中心转折点。的坐标为（）；（结果保留根号）

（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市（设为点4）位于点。的正北方向

且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？

观察思考

某种在同•平面进行传动的机械装置如图14-1,图14-2是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑

道1上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆

动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的OO上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴

含的数学知识，过点O作OHJJ于点H,并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米.

解决问题

（1）点Q与点O间的最小距离是分米；点Q与点O间的最大距离是分米；点Q在1上滑

到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米.

如图14-3,小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与00是相切的.”你认为他的判断对吗？为

什么？

（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P至IJ1的距离最小.”事实上，还存在着点P至IJ1距离

最大的位置，此时，点P至心的距离是分米；

②盟OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面枳最大时圆心角的度数.

4

24.已知点在函数y=一一（x<0）的图像上.

X

（1）若〃7=-2,求〃的值;

⑵抛物线y=与x轴交于两点N在N的左边），与y轴交于点G,记抛物线的

顶点为E.

25

①加为何值时，点E到x轴的距离为丁；

4

②若〃?+〃=£,平面内是否存在点凡使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存

在请说明理由，若存在，请直接写出点尸的坐标（说明理由）.

25.如图，在菱形中，ZDAB=60°,44=4,点石为边3C上一个动点（不与点心、。重

合），边45关丁月石对称的线段为力产，连接。尸.

（1）当加7平分NTU石时，求/艮4后的度数为；

（2）延长。/，交射线4E于点G,当8£=2时，求/G的长;

（3）在（1）的条件下，连接8尸交力E于点M,作EN_L48交45的延长线于点N,连接A/N.试

探究7777是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

MN

2025-2026学年第二学期九年级习题

数学

本试卷共25小题，满分120分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液,不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

5.考试时不可使用计算器.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.己知同=2,则。的值是（）

A.2B.-2C.±2D.j

【答案】C

【解析】

【分析】根据绝对值的定义即可求解.

【详解】解：时二2,即求到原点距离为2的数，

.•.符合条件的数有两个，分别是2和一2,即。=±2.

2.多项式x+9+l的次数是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】找出多项式中次数最高项的次数即可得到答案.

【详解】解：的次数为1,号中X的指数为I,V的指数为］,次数为1+1=2,常数项1的次数为0,

•••该多项式次数最高项的次数为2,

即该多项式的次数是2.

3.如图所示，OC是/403内的任意一条射线，能正确反映图形的关系式是（）

A.NAOC=NROCB.ZAOC>ZBOC

C.ZA0B=2ZA0CD.AA0B=ZA0C+ZB0C

【答案】D

【解析】

【分析】利用角的和差进行求解.

【详解】解：是/4O8内的任意一条射线，

・•・乙4OB=乙4OC+/BOC.

4.有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全

部成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】根据总人数判断哪个统计量对应前8名的分界位置即可求解.

【详解】解：MS个成绩按大小排序后，中位数是排序后的第8个成绩，

•••小明只需将自己的成绩和中位数比较，若自己的成绩大于等于中位数，就进入前8名，否则不能进入，

因此只需要了解全部成绩的中位数即可.

5.如果一个多边形的内角和是540。，则这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C,六边形D.八边形

【答案】B

【解析】

【分析】利用〃边形内角和公式列方程求解边数即可，〃边形内角和公式为（"-2）x180。.

【详解】解・：设这个多边形的边数为〃，

根据题意可得方程，（〃-2）x1800=540。，

解得〃-5,

・•・这个多边形是五边形.

6.如图，一个小球从4点沿指定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最

终到达〃点的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】把题中图形看作树状图，则可得到有4种等可能的结果，小球最终到达〃点的结果数为1,丁是

根据概率公式可计算出小球最终到达〃点的概率.

【详解】解：共有4种等可能的结果，其中小球最终到达〃点的结果数为1,

所以小球最终到达〃点的概率=；.

4

7.把函数y=1的图象绕坐标原点旋转90。，所得图象对应的函数解析式是（）

x

A.y=一■-B.j^=—+90C.-90D.y=—

XXXX

【答案】A

【解析】

【分析】利用点绕原点旋转9（）。的坐标变换规律，代入原函数关系推导旋转后新函数的解析式.

【详解】解：•••在函数y的图象上任取一点（/6）,

X

满足b，即M=1,

a

将点（〃"）绕坐标原点旋转90°后，所得新点坐标为（一84）或他一。），

k

设旋转后函数解析式为歹=一，

X

情况1:若新点为（-8,。），可得。=与

将“Z?=1代入得k=-ab=-1,

1

v=—；

X

情况2：若新点为(b.-a),可得

b

将ab=1代入得k=—ab=—1,

1

v=——；

X

旋转后所得图象对应的函数解析式为y=-1.

x

8.如图，放置在正方形网格中，则cos/408的值为()

A.2B.yC.D

25T

【答案】D

【解析】

【分析】借助网格图，构造直角三角形，利用勾股定理以及锐角三角函数求解.

【详解】解：如图所示，

：.0D=[,CD=2

・•・0C=yj0D2-^CD2=Vf+4=V5»

・・s4。入空

OCy/55

9.均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度〃随时间/变化的函数

图象大致是()

-----〜

：XZZ1^

【解析】

【分析】根据水面上升高度的快慢进行判断函数图象即可.

【详解】解：根据立体图形可知，底部圆柱的半径较小，力增加较快;

中部圆柱的半径较大，力增加较慢；

10.如图，面积为2的矩形N8CD在第一象限，4C与X轴平行，反比例函数），二々4工0）经过8

、。两

JC

点，直线8。所在直线卜=-辰+〃与x轴、y轴交于£、/两点，且8、。为线段跖的三等分点，则b的

A.472B.4百C.6>/2D.6G

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据8、。为线段七厂的三等分点，力的面

积为2,可求出反比例函数的关系式，确定〃的值，再利用一次函数与x轴、），轴的交点坐标，及AEOF的

面枳即可求出6的值.

【详解】解：延长4艮。。交x轴于点。、P,延长/。、8c交少轴于点“、M

•・苇、。为线段跖的三等分点,

：・BE=BD=DF,

VAM//BC//EO,

：.OP=PQ=QE,ON=MN=MF,

•・F8CQ的面积为2,

S坦后QBNO=2s矩形18（。=4,

・・.W=4,

4

・••反比例函数的关系式为y二一，

x

；・L=4,

<h

•・.一次函数的关系式为y=-4八十A,即：F（O,b）,E-,0

\4

由题意得AEOR的面积为9,

力C

—1xZL?x—=9,

24

解得：b=65/2,b=—65/2（舍去），

故选：C.

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.计算：.

【答案】a-b

【解析】

【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可.

a-bab2

【详解】解：卜/力一〃/）.。8=a-b-

abab

12.如图，AB//CD,直线/平分N8OE,Nl=40。，则N2=

【答案】70。相70度

【解析】

【分析】由平行线的性质得出Nl=/3=40。，由邻补角的定义得出/80£=180。一/3二由角平

分线的定义得出NEO/7二!NBOE=70。，再根据三角形内角和定理即可得出N2.

2

【详解】解：•••48〃。。，

Zl=Z3=40°,

.­.Z^E=180o-Z3=140°,

♦.♦直线/平分N3OE,

：.ZEOF=-ZBOE=70°,

2

.•.Z2=180°-Zl-ZroF=70°.

13.下面是某校30名学生上学路上所花的时间(单位：分钟)：

30,20,15,20,20,25,3(),5,25,20,1(),15,20,45,1(),20,12,30,20,15,2(),20,1(),

5,8,20,20,5,20,15.

若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是分钟.

【答案】20

【解析】

【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可.

【详解】解：统计题中各上学时间的出现次数：5分钟出现3次，8分钟出现1次，10分钟出现3次，12分

钟出现1次，15分钟出现4次，20分钟出现12次，25分钟出现2次，30分钟出现3次，45分钟出现1

次，

可知这组数据的众数为20,

因此随机问一个学生上学路上所用时间，最可能得到的回答是20分钟.

14.已知A48C在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△WB'C与V44c关于V轴对称，那么点4的

对应点A的坐标为.

【答案】（4,2）

【解析】

【分析】本题考查关于V轴对称的点的坐标特征、轴对称图形的定义，根据两点关于歹轴对称，横坐标互为

相反数，纵坐标不变，据此解答即可，熟知上述性质是解题的关键.

【详解】解：与V48C关于V轴对称，

「•点彳与点力关于歹轴对称.

•・•朗-4,2）,

.・“'（4,2）.

故答案为：（4,2）.

15.老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确

的性质：

小张：函数图象不经过笫三象限：

小赵：函数图象经过第一象限：

小工：当JVV2时，y随x的增大而减小;

小马：当x>2时，y>0.

请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式.

【答案】y=(x-2)2

【解析】

【分析】根据增减性确定二次函数的对称轴和开口方向，再结合函数取值范围与图象经过的象限，确定顶

点纵坐标和常数项的范围，即可写出符合要求的解析式.

【详解】解：••・当x<2时，V随x的增大而减小，当工〉2时，y>0,

•••二次函数的对称轴为直线x=且开口向上，即。>0,

•••函数图象不经过第三象限，

•••二次函数与)'轴的交点纵坐标20,

取。=1,顶点纵坐标为0,则顶点坐标可为(2,0),

可得函数解析式为y=(x-2『，

验证该函数满足所有给出的性质，符合要求，

故答案为y=(x-2)2(答案不唯一).

16.如图，在矩形力中，/B=2,ZBOC=\20°,点、E是BC上一个点,连接OE,

NBOE=90。，若△OEC绕点O顺时针旋转,旋转角为a,点、£对应点G,点C对应点?①当0)<a<180°

时，a等于。时，AAOGWACOE：②当0。<a4360。且6G长度最大时，Z)歹的长度为

【答案】©.120②.瓜一五

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，旋转的性质.先求得△CM8是等边三角形，再求得

7/7

OE=—=CE^ZEOC=ZOCE=30°,根据全等三角形的性质可求得第一问：当点G在线段0。上

3

时，8G长度最大，画出图形，根据含3()度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】解：•・・N3OC=120。，

：.AAOB=60°,

•・•矩形43CQ,

・•・0A=OB,

:.△045是等边三角形，

：.OA=OB=4B=2,0C=0D=CD=2.

：・/ACB=/DBC=3。。,

,/ABOE=90°,

・•・05=08tan300=拽，/BEO=60。，

3

・•・/EOC=NOCE=3M,

。：^AOGqMOE,

・•・/40G=NC0E=30。，

・•・a=4E0G=180°-30°-30°=l20°：

・•・a等于120°时，△4OG0△COE；

当点G在线段0。上时，8G长度最大，如图,

・•・OG=OE=^=FG，

3

•・・。。=2,/。。/=30。，

・•・DG=2--

3

i同

：,HG=-DG=\~—

23

:・HD=CHG=6-\，HF=FG-HG=5-I，

•・•乙FHD=90°,

・•・DF7FH、DH2=&_也,

故答案为：120,V6-V2.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步

骤）

3x-2>l

17.解不等式组:

2.r+l<5

【答案】l<x<2

【解析】

【分析】利用解不等式组的步骤进行求解.

3x-2>l(i)

【详解】解:

2x+l<5②

解不等式①得，x>l；

解不等式②得，x<2；

・•・该不等式组的解集为1cx<2.

18.如图，4。和C8相交于点O,AB//CD,OB=OC,求记：OA=OD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行线得出相等的角，然后证明即可得出结论.

【详解】证明：•••力8〃。。，

：./A=4D/B=4C,

又•；OB=OC,

・•・ACMBC包OZ)C(AAS),

・•・OA=OD.

心「”b(h2-lab

19.已知P=-------+-------------+a

aa

(1)化简P：

(2)若|。-4=6,且点(。力)在第二象限，求P的值.

1

【答案】(1)

a-b

1

(2)——

6

【解析】

【分析】(1)先计算括号里面的，然后再把除法转化成乘法，最后约分即可.

(2)根据点(。力)在第二象限得出。―6<0,即可得出a-6=-6,然后化简绝对值，最后代入式子计算即

可.

【小问1详解】

a—blb2—2ab+a2\

1a)

a-b

aa

a—ba

—x

a(a-by

1

a-b

【小问2详解】

解：•••点(。/)在第二象限,

二a<0,Z?>0»

•,-a-b<0,

又；|a-b|=6,

:♦a-b=-6,

a-b6

20.台州某校七(1)班同学分三组进行数学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况、八年级300

名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇

形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据.根据以上信息，请回答下列问题:

九年级同学完成家庭作业时间情况统计表

时间1小时左右1.5小时左右2小时左右2.5小时左右

人数508012050

七年级同学最喜欢喝的饮料八年级同学零花钱最主要

种类情况统计图用途情况统计图

习资食具

料

（1）七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？

（2）补全八年级300名向学中零花钱的最主要用途情况频数分布直力图；

（3）九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时（结果保留一位小数）？

【答案】（1）160人

（2）见解析（3）1.8小时

【解析】

【分析】本题考查了统计表、条形统计图、扇形统计图、平均数，能够准确从统计图表中获取信息是解题

的关键.

（1）先求出喝红茶的百分比，再乘总数：

（2）先让总数减其它三种人数，再根据数值画直方图；

（3）用加权平均公式求即可.

【小问1详解】

解：1—25%—25%—10%=40%,

400x40%=160（人）.

答：七年级同学最喜欢喝“冰红茶”的人数是160人.

【小问2详解】

解：300-75-100-25=100（人），

补全频数分布直方图如图所示.

八年级同学零花钱最主要

用途情况统计图

【小问3详解】

习资食具

料

1x50+1.5x804-2x1204-2.5x50

解:«1.8（小时）.

50+80+120+50

答：九年级30（）名同学完成家庭俏业的平均时间约为1.8小时.

21.某商场在世博会上购置48两种玩具，其中〃玩具的单价比力玩具的单价贵25元，且购置2个4玩

具与1个/玩具共花费200元.

（1）求48玩具的单价；

（2）若该商场要求购置8玩具的数量是4玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商

场最多可以购置多少个“玩具？

【答案】（1）4、4玩具的单价分别为50元、75元；

（2）最多购置.1（）0个/玩具.

【解析】

【分析】（1）设月玩具的单价为工元每个，则8玩具的单价为（x+25）元每个；根据“购置2个8玩具与

1个/玩具共花费200元”列出方程即可求解；

（2）设力玩具购置y个，则8玩具购置2y个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可

得出答案.

【小问1详解】

解：设4玩具的单价为x元，则8玩具的单价为（x+25）元；

由题意得：2（x+25）+x=200；

解得：x=50,

则B玩具单价为x+25=75（元）；

答：力、8玩具的单价分别为50元、75元;

【小问2详解】

设,4玩具购置六个，则4玩具购置2少个,

由题意可得：50^+75x2^<20000,

解得：y<100,

・••最多购置100个力玩具.

本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题

目中的等量关系或不等关系.

22.气象台发布的卫星云图显示，代号为少的台风在某海岛（设为点。）的南偏东45。方向的6点生成，

测得08=\。诉km.台风中心从点B以40km//2的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C

处.因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/力的速度向北偏西60°方向继续移动，以。为原点建立

如图所示的直角坐标系.

（1）台风中心生成点8的坐标为（），台风中心转折点。的坐标为（）；（结果保留根号）

（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市（设为点力）位于点。的正北方向

且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？

【答案】（1）B（1005-10073）;C（1005200-10073）：（2）11小时.

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形中特殊角的三角函数值分别求出点4和点C的坐标；

（2）过点C作C7XLCM于点。，则乙4。。=30。，根据Rt^ACD中乙的余弦值得出AC的长度，从而求

出时间得出答案.

【详解】解：（1）过点C作CQ1O4于点。，则CQ=100ji，乙4c0=30。，

根据题意得：N8OC=45°,NOC8=90°,

•••△8OC是等腰直角三角形，

OB=\OOy[6km.

.•・0C=4C=l（）（）百cm,

V5C=40X5=200km,

.\(9Z>200-100V3»

A5(10073,-100V3),C(100V3,200-100V3)；

故答案为：100G，-100V3；1006，200-10073

CD

(2)在R/AJCZ)中，cosZACD=——

AC

则1=200,

cosZACDcos30

200-20

=6,6+5=11,

30

••・台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.

某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1,图14-2是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑

道I上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点。摆

动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的OO上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴

含的数学知识，过点O作OHL于点H,并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米.

解决问题

(1)点Q与点O间的最小距离是分米；点Q与点0「瓦的最大距离是分米；点Q在1上滑

到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米.

(2)

懒

如图14-3,小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与OO是相切的.”你认为他的判断对吗？为

什么？

(3)①小丽同学发现：“当点P运动到0H上时，点P至打的距离最小.”事实上，还存在着点P至打距离

最大的位置，此时，点P至打的距离是分米；

②当0P绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.

【答案】(1)456

(2)不对

(3)①3

②120。

【解析】

【详解】解：(1)456；

(2)不对.

•••OP=2,PQ=3,OQ=4,且42=32+22,即OQ2WPQ2+OP2,

.•.OP与PQ不垂直.‘PQ与不相切.

(3)①3：

②由①知，在OO上存在点P,P'至I"的距离为3,此时，。户将不能再向下转动，如图3.在绕点O

左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是FOP.

富科

连结FP，交。〃于点。.

•••P。,小丁均与/垂直，且PQ=P'0'=3,

•••匹边形PQ0'1是矩形..•.OHIPp'PD=f,D.

由OP=2,OD=OH-HD=i,得iDOP=60。.

••.zPOpr=120°.

••・所求最大圆心角的度数为120°.

4

24.已知点月（利,〃）在函数〉二一一（x<0）的图像上.

X

（1）若"7=-2,求〃的值;

⑵抛物线y=与X轴交于两点N（M在N的左边），与y轴交于点G,记抛物线的

顶点为£

25

①加为何值时，点E到x轴的距离为丁；

4

②若〃?+〃=蔡，平面内是否存在点凡使得以点加、N、G、”为顶点的四边形是平行四边形，若不存

在请说明理由，若存在，请直接写出点尸的坐标（说明理由）.

【答案】（1）2（2）①〃?二一4；②（7.5,4）、（-8.5,-4）、（8.5,—4）.

【解析】

【分析】本题属于反比例函数和二次函数综合运用，主要考查了二次函数的性质、解直角三角形、平行四

边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键.

4

（1）把加=—2代入>=一一（x<0）求得〃的值即可；

X

（2）①根据二次函数的对称性可求得对称轴，然后再根据二次函数的性质求得顶点坐标，再根据点上到

25

x轴的距离为——列方程求得，〃的值，最后根据反比函数图像所在的象限，确定符合题意的，〃值；②先根

4

据题意求得〃?〃=-4、MN=85、然后分为平行四边形的对角线和边两种情况，分别根据平行四边

形的性质解答即可.

即可求解；

【小问1详解】

解：。点P（m,〃）在函数y=--（x<0）的图像上,

X

4

,,n-----,

m

44

把〃7=-2代入〃=一一可得〃=——=2.

m-2

故〃的值为2.

【小问2详解】

解：①・・・y=(x_〃7)(x_〃),

m+n

・•・该函数图像开口方向向上，对称轴为:

ni+nm+nn-m

当工=-----时，抛物线有最小值：y=

2?~2~~T

m+nn-tn

・•・抛物线的顶点坐标上

~2~丁

25

•・•点E到x轴的距离为一,

4

\2

n-m25n-mY25

彳，即

r)=T

4

25

—,解得：m=±4,

4

4,、

'/y=——(X<0),

，函数图像在第二象限,即：m<0,

m=-4；

/.M(m,0),N(〃,0),G(0,mn\,

4

.*n=-----

m

:.mn=-4,

15

'：m+n=—

2

厚-4x(-4)=8.5»

・'・n-m=+〃)“-4mti=

・・・MN=8.5

口如图：当MV为平行四边形MfWG的对角线时，设

0+〃m4-n0+a15

2~22~44=7.5

则有：“，即

nm+b0+0八’-4:+ZL?八，解得：b=4

--------=-------=0--------=0

222

・・・5（7.5,4）；

8如图：当为平行四边形/WFNG的〜边时，设

由图可知：月，居分别为点G向左或右平移"N所得到的,

・"（-8.5,-4）,乙（8.5,-4）.

综上，点尸的坐标为（7.5,4）、（-8.5,-4）、（8.5,-4）.

25.如图，在菱形44C7）中，ZDAB=60°,44=4,点E为边8C上一个动点（不与点人。重

合）